17417 Caderno Coordena o Disciplina Pr C lculo Gabarito Volume 01

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(Parte 1 de 6)

Gabarito das Atividades Propostas

Semana 01

1) Quais dos seguintes numeros sao inteiros?

a) 1

Solucao: Todos! Esses numeros sao iguais a 2, 1, 4 e 1, respectivamente.

Solucao: Neste caso, fazemos uma pequena modificacao algebrica para obter a equacao

d) 2

Solucao: De maneira analoga voce pode descobrir que a = 1 ou a = 2.

3) Resolva as equacoes a seguir na variavel indicada. 1

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c) K

4) Considere os numeros naturais em cujas representacoes decimais se usa apenas um algarismo, assim como o 1, o 3 ou 7. Quais desses numeros sao divisıveis por 9?

Solucao: Voce deve ter se lembrado do criterio de divisibilidade por 9, que e simples: um numero e divisıvel por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisıvel por 9.

Comecemos com os numeros formados apenas com o dıgito 1, como 1 e 1111. Para que um numero desse tipo seja divisıvel por 9, precisamos de um numero multiplo de 9 de algarismos. O menor desses numeros e 1, cento e onze milhoes, cento e onze mil e cento e onze. Isso e o que ocorre com os numeros formados apenas com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, e 8.

Precisamos ter gomos de 9 algarismos, como os numeros 2 ou 5.

Para os numeros formados apenas com o algarismo 3 ou com o algarismo 6, basta que eles sejam formado por gomos de tres algarismos, assim como 3 ou 6.

Finalmente, todos os numeros formados apenas com o dıgito 9 sao divisıveis por 9. Bem, o exercıcio acabou e a resposta e essa. Mas, ha uma coisa que eu acho bonita. Veja o resultado das divisoes desses numeros por 9 e me descubra algo que elas tem em comum.

5) (O problema do cade) Para quais algarismos k e d o numero k6d3 e divisıvel por 1?

Solucao: Voce sabe qual e o criterio de divisibilidade por 1?

Um numero e divisıvel por 1 se a soma dos algarismos em posicao par menos a soma dos algarismos em posicao ımpar e um numero divisıvel por 1.

Assim, 121, que e 112, satisfaz esse criterio. O algarismo 1 ocupa a primeira e a terceira posicoes, contando da direita para a esquerda, enquanto que o algarismo 2 ocupa a segunda posicao. Assim, 1 + 1 = 2, a diferenca e zero, divisıvel por 1. Mais um exemplo, o numero 9372. A soma dos algarismos nas posicoes pares e 9+7 = 16, enquanto a soma dos algarismos

Caderno de PC Pre-Calculo verificar. Voce ja sabe distinguir quando um numero de quatro algarismos e divisıvel por 1?

Para terminar, tente detectar entre os cinco numeros a seguir, o unico que nao e divisıvel por 1: 1782 143 1595 1432 1078

6) Use o algoritmo que determina o mdc(a,b) para determinar a fracao irredutıvel equivalente a fracao 13068

Solucao: Se voce usou a decomposicao em fatores primos para encontrar a fracao irredutıvel equivalente a fracao dada no exercıcio teve um bocado de trabalho. Ao fazer o exercıcio com o algoritmo do mdc percebeu como ele e vantajoso em casos como esse. Aqui esta:

O algoritmo termina no segundo passo. mdc(15246,13068) = 2178. Assim,

7) Por que e difıcil decompor o numero 97343 em fatores primos?

Solucao: Quanto tempo voce gastou com esse exercıcio? Bem, a ideia aqui e colocar a teoria e a pratica em contato. A teoria e o maravilhoso Teorema Fundamental da Aritmetica que afirma que todo natural admite uma unica decomposicao em fatores primos. A pratica e o ganha-pao de muitos matematicos: pode ser muito, muito difıcil decompor um numero em fatores primos. Determinar se um dado numero e primo ou nao ja e uma tarefa titanica. Procure saber sobre os chamados primos de Mersenne e voce tera uma ideia melhor do que isso quer dizer. Mas, voltemos a nossa vaca fria: por que e difıcil decompor o numero 97343 em fatores primos?

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A pergunta tem um certo subjetivismo e voce poderia ter respondido: mas nao e difıcil decompor este numero, veja: 97343 = 311 × 313.

A eventual dificuldade reside no fato de que para decompor terıamos que tentar a sua divisibilidade por todos os primos menores do que 311.

Moral da Historia: se os fatores primos de um numero forem relativamente grande, e difıcil obter sua decomposicao em fatores primos.

8) Determine quais das afirmacoes a seguir sao falsas e quais sao verdadeiras, justificando a sua resposta.

• Em cada sequencia (sucessiva) de 5 numeros inteiros ha dois que sao divisıveis por 3.

Solucao: a) Em cada sequencia (sucessiva) de 5 numeros inteiros ha dois que sao divisıveis por 3.

Essa e verdadeira. De uma certa forma, quanto menor for o mdc, tanto maior sera o mmc. Se mdc(a,b) = 1, nao ha fatores comuns em a e b e mmc(a,b) = a × b. Por outro lado, se mmc(a,b) = a × b, entao a e b nao tem fatores primos comuns.

c) Se um numero n e divisıvel por 858, entao n e divisıvel por 1.

Outra verdadeira. Como 858 e divisıvel por 1, qualquer numero divisıvel por ele tambem o sera por 1. (Mais uma vez a divisibilidade por 1.)

9) Uma certa pessoa tem R$ 1.314, 47 em uma conta bancaria e pretende fazer uma retirada de modo que, na proxima sexta-feira, quando o CPMF incidir sobre o valor retirado, a conta ficara com saldo zero. De quanto deve ser esta retirada? Solucao: Em geral, se voce for a um banco e formular a pergunta: quanto preciso retirar de minha conta corrente para zera-la na sexta-feira, apos a incidencia do CPMF, o atendente da vırgula) e aproximando o resultado (uma vez que a unidade mınima usada para dinheiro e o centavo, apesar dos postos de gasolina insistirem no absurdo de R$ 2,599 para o litro de gasolina) diz: o CPMF e de R$ 4,9, retire R$ 1309,48.

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Bem, essa conta pode ser melhorada, pois o CPMF so incide sobre o valor retirado. Uma conta mais precisa seria: suponha que o valor a ser retirado seja x. Assim, queremos que na sexta-feira, apos a incidencia do CPMF, o saldo da conta seja seja, a diferenca e de um centavo. Apesar das necessarias aproximacoes para que o valor seja expresso em reais (e centavos de reais), se o valor inicial fosse maior, a diferenca seria mais visıvel, digamos assim. Para terminar, faca os dois procedimentos para a quantia R$ 132 214, 78, por exemplo.

Comentarios Finais

Em dois momentos nessa lista mencionamos os Criterios de Divisibilidade. Esse e um tema fascinante e pode ser muito bem explorado para despertar o interesse das pessoas pelos numeros e, por consequencia, por Matematica. O criterio de divisibilidade por 9, por exemplo, e muito simples de ser explicado. Cada

e assim por diante. Portanto, se n = akak−1a2a1a0 = ak×10k+ak−1×10k−1+·+a2×100+

Semana 02

Desenvolver uma especie de olho clınico na Matematica e muito importante. Uma boa maneira de fazer isso consiste em trabalhar com exercıcios do tipo falso ou verdadeiro. Devemos decidir

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(primeiro) se a afirmacao e ou nao verdadeira e (segundo) demonstra-la caso seja verdadeira ou exibir um contra-exemplo caso contrario. Sempre que possıvel praticaremos esse saudavel exercıcio.

1) Quais das afirmacoes a seguir sao falsas e quais sao verdadeiras, justificando sua resposta.

Verdadeira, pois 17

Veja, esses numeros medem os comprimentos dos catetos e da hipotenusa de um triangulo retangulo e a soma dos comprimentos dos catetos e maior do que o comprimento da hipotenusa.

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