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INTEGRAIS DUPLAS

VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS

Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.

Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado

R

y

= [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }

e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).

z

S

y

R

x

Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja,

S = {(x,y,z) IR3| (x,y) R, 0 < z < f(x,y)}

Nosso objetivo é determinar o volume de S.

O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi],de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos.

Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j }

c

y

ada um dos quais com área A = xy.

Rij

R

d

yj

(xij , yij)

y

yj-1

y2

y1

c

xi

b

a

x

x1

x2

xi-1

x

Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:

Vij = f(xij , yij)A.

Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:

V 

Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

z

S

Vij

f (xij , yij )

y

R

(xij , yij )

x

Nossa intuição diz que a aproximação V  melhora quando aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que:

V = .

Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f.

Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição:

A integral dupla de f sobre o retângulo R é

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