Uso da Supersimetria e Método Variacional no Estudo do Potencial de Lennard-Jones (12,6), Notas de estudo de Química

Baixe Uso da Supersimetria e Método Variacional no Estudo do Potencial de Lennard-Jones (12,6) e outras Notas de estudo em PDF para Química, somente na Docsity! Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, v. 28, n. 1, p. 41 - 44, (2006) www.sbfisica.org.br Supersimetria, método variacional e potencial de Lennard-Jones (12,6) (Supersymmetry, variational method and Lennard-Jones (12,6) potential) João Cesar Boreggio de Araujo, Gláucia R.P. Borges e Elso Drigo Filho1 Departamento de F́ısica, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista ‘Júlio de Mesquita Filho’, São José do Rio Preto, SP, Brasil Recebido em 16/11/2005; Aceito em 6/1/2006 Neste artigo é feito uma revisão sobre o uso do formalismo da supersimetria em mecânica quântica aliado ao método variacional. Esta abordagem permite obter soluções numéricas dos autovalores de energia da equação de Schrödinger. Como exemplo, o potencial de Lennard-Jones (12,6) é estudado e determina-se autovalores para este potencial. Os resultados obtidos são comparados com os valores encontrados através de outros métodos aproximativos. Palavras-chave: mecânica quântica, supersimetria, método variacional, potencial de Lennard-Jones. In this work a review of the supersymmetric quantum mechanics formalism combined with the variational method is done. This approach is useful in order to obtain numerical values for the energy eigenvalues from Schrödinger equation. As an example, the energy eigenvalues from the Lennard-Jones (12,6) potential are de- termined and the results are compared with other ones obtained from different methods. Keywords: quantum mechanics, supersymmetry, variational method, Lennard-Jones potential. 1. Introdução O formalismo supersimétrico vem sendo amplamente utilizado no contexto da mecânica quântica [1-4], em particular, ele pode ser usado para solucionar a equação de Schrödinger. Neste sentido, a supersimetria pode ser entendida como uma generalização do método de fatorização [3-4]. Em problemas envolvendo potenci- ais exatamente solúveis as autofunções e autovalores podem ser determinados analiticamente através da su- perálgebra. Ela também pode ser útil em abordagens aproximativas, como, por exemplo, o método varia- cional. Pela sua simplicidade alguns autores tem su- gerido a inclusão deste formalismo em livros textos e cursos de mecânica quântica [5]. Por outro lado, o método variacional(6) constitui um tratamento bastante útil no estudo de sistemas em que os autovalores de energia não podem ser exatamente de- terminado. A escolha adequada de uma função de onda teste constitui ingrediente fundamental para a obtenção de bons resultados variacionais. Esta escolha é um pon- to delicado da aplicação do método. A respeito deste assunto L.I. Schiff em seu livro escreve [6]: Thus it is important to make use of any available information or physical intuition in choosing the trial function. A mecânica quântica supersimétrica fornece uma abordagem matemática clara, permitindo uma análise de problemas via método variacional melhor que o tratamento usual, focado no estudo direto das funções de onda. A nova abordagem sugerida é baseada no uso do superpotencial e permite estudar o potencial efetivo que gera a função de onda teste, além da função de onda em si. A forma do potencial efetivo, comparada ao potencial original, fornece uma informação adicional sobre a aplicabilidade da função teste [7-10]. Como exemplo da abordagem sugerida são determi- nados autovalores para o potencial de Lennard-Jones. Este potencial é muito utilizado em vários ramos da F́ısica, como, por exemplo, f́ısica molecular [11] e es- tado sólido [12]. Como a equação de Schrödinger não pode ser resolvida analiticamente para este potencial, métodos aproximativos são freqüentemente usados para analisá-lo [13-16]. Isto permite que os resultados encon- trados via método variacional sejam comparados com valores obtidos por outros métodos. A seção 2 apresenta sucintamente o formalismo da mecânica quântica supersimétrica. Na seção 3 o método variacional é revisado. Como um exemplo, na seção 4 o potencial de Lennard-Jones (12,6) é estudado através da associação da supersimetria com o método varia- cional. Finalmente, na seção 5 são colocadas as con- clusões. 1E-mail: elso@df.ibilce.unesp.br. Copyright by the Sociedade Brasileira de F́ısica. Printed in Brazil. 42 Araujo et al. 2. Formalismo da mecânica quântica supersimétrica Uma introdução ao formalismo da mecânica quântica supersimétrica pode ser encontrada, por exemplo, na Ref. [17]. Em resumo o método de solução da equação de Schrödinger pode ser introduzido a partir de um Hamiltoniano da forma: H0 = − ~ 2 2m d2 dx2 + V0(x). (1) Pode-se escrever este Hamiltoniano em termos dos operadores “bosônicos” a+1 e a − 1 , tendo a seguinte forma: a±1 = ∓ d dx + w1(x), (2) onde w1(x) é chamado de superpotencial, por simplici- dade adotou-se ~ = 2m = 1. Esta escolha não afeta os resultados obtidos e não sobrecarrega a notação. Desta forma, H1 pode ser escrito da forma: H1 = a+1 a − 1 +E (1) 0 = − d2 dx2 +w21(x)−w′1(x)+E(1)0 , (3) onde E(1)0 é o autovalor do ńıvel mais baixo de energia (estado fundamental). Para que o Hamiltoniano fatorizado (3) seja igual ao Hamiltoniano original (1), a seguinte condição tem que ser satisfeita: w21(x)− w′1(x) + E(1)0 = V0(x). (4) Esta equação é conhecida como equação de Riccati e sua solução implica na determinação de E(1)0 e do super- potencial w1(x) que está ligado a autofunção do estado fundamental (ψ0(x)). A relação entre w1(x) e ψ0(x) pode ser obtida aplicando o operador a−1 na função de onda do estado fundamental,ou seja: a−1 ψ0(x) = 0 ⇒ ψ0(x) ∝ exp [ − ∫ w1(x)dx ] . (5) O processo de determinação dos autovalores e auto- funções pode ser continuado até o problema ser comple- tamente resolvido, como indicado na Ref. [18], através da chamada hierarquia de Hamiltonianos. Entretanto, apenas uma classe restrita de potenciais permite a de- terminação exata/anaĺıtica do problema. Quando is- to não for posśıvel o formalismo permite pesquisar uma forma aproximada para o superpotencial (wef (x)) [7]. Este tipo de abordagem permite encontrar funções anaĺıticas aproximadas para as autofunções do pro- blema original. Isso é feito seguindo a Eq. (5), subs- tituindo o superpotencial exato pelo aproximado, isto é: ψef (x) = exp [ − ∫ wef (x)dx ] . (6) Além disto, pode-se conhecer a expressão anaĺıtica, a menos de constante aditiva, dos potenciais efetivos usando a Eq. (4): Vef (x) = w2ef (x)− w′ef (x). (7) Esta expressão pode ser usada para a comparação gráfica com o potencial original, testando assim a forma escolhida para o superpotencial [10]. Por outro lado, as autofunções efetivas (6) podem ser usadas no método variacional para a obtenção aproximada dos ńıveis de energia. 3. O método variacional A fim de desenvolver o método variacional [6] vamos considerar uma função de onda ψ normalizada, ou seja, ∫ ∣∣ψ ∣∣2dx = 1. Podemos expandir essa função em uma série de autofunções de energia, ou seja: ψ = ∑ n Anψn. (8) Lembrando que ψn é uma autofunção, ela deve sa- tisfazer a equação de Schrödinger: Hψn = Enψn. (9) Nestas condições, o valor esperado de H para a função ψ é dado por: < H >= ∫ ψ ∗Hψdx = ∑ n ∑ m A∗n( ∫ ψnHψmdx)Am = ∑ n ∑ m A∗nAmEm ∫ ψnψm. (10) A condição de ortonormalidade indica que para n 6= m temos ∫ ψnψm = 0 e para n = m temos∫ ψnψm = 1, então, a Eq. (10) fica reduzida a: < H >= ∑ n En |An|2. (11) Na seqüência substitui-se cada autovalor En em (11) pelo autovalor de mais baixa energia, E0, obtendo assim a seguinte desigualdade: < H >> ∑ n E0 |An|2 =E0 ∑ n |An|2. (12) Uma vez que ∑ n |An|2 = 1, pois a função de onda é normalizada, chega-se a seguinte expressão: E0 6 〈H〉 = ∫ ψ ∗Hψdx. (13)