Baixe Lista de Exercícios Resolvidos de Óptica Geométrica e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity! 237Tópico 2 – Refl exão da luz 1 E.R. Um raio luminoso incide sobre um espelho plano forman- do um ângulo de 30° com sua superfície ref letora. Qual o ângulo for- mado entre os raios incidente e ref letido? Resolução: A f igura a seguir ilustra a situação proposta: ri 30° N O ângulo procurado é α , dado por: α = i + r. Porém, conforme a 2a Lei da Ref lexão, r = i (o ângulo de ref lexão é igual ao ângulo de incidência). Logo: α = i + i ⇒ α = 2i Observando que 30° + i = 90°, temos: i = 60° Portanto: α = 2 · 60° ⇒ α = 120° 2 O esquema representa a ref lexão de um raio luminoso em um espelho plano: 60° Determine: a) o ângulo de incidência da luz; b) o ângulo formado entre o raio ref letido e o espelho. Resolução: a) i r α i + r = 60º 2a Lei da Ref lexão: r = i i + i = 60º ⇒ 2i = 60º i = 30º b) r + α = 90º i + α = 90º ⇒ 30º + α = 90º α = 60º Respostas: a) 30°; b) 60 3 (Esam-RN) Na f igura a seguir, considere: E 1 – espelho plano vertical E 2 – espelho plano horizontal r 1 , r 2 e r 3 – segmentos de um raio luminoso que incide sucessiva- mente em E 1 e E 2 θ2r2 r1 r3 60° E2 E1 θ1 Nas condições indicadas, quanto valem, respectivamente, os ângulos θ 1 e θ 2 ? Resolução: θ 1 + 60º + 60° = 180º ⇒ θ 1 = 60º θ 2 + 30º + 30° = 180º ⇒ θ 2 = 120º É interessante chamar a atenção para o fato de que, sendo E 1 e E 2 per- pendiculares, r 3 é paralelo a r 1 . Respostas: θ 1 = 60° e θ 2 =120° 4 Observe a f igura: P 10 m 10 m Nascente M Em um dia de céu claro, o Sol estava no horizonte (0°) às 6 h da manhã. Às 12 h, ele se encontrava no zênite (90°). A que horas a luz solar, ref le- tida no espelhinho plano M deitado sobre o solo, atingiu o ponto P? Resolução: 45º 10 m 10 m P M 45º 90º 6 h 45º Δt Δt = 3 h Δt = t – t0 3 = t – 6 t = 9 h Resposta: 9 h Tópico 2 238 PARTE III – ÓPTICA GEOMÉTRICA 5 Dois espelhos planos formam entre si um ângulo de 60°. Um raio de luz monocromática incide no espelho E 1 , ref lete-se, incide no espelho E 2 , ref lete-se e emerge do sistema conforme ilustra a f igura. Qual o valor do ângulo α? O valor de α depende do ângulo de incidên- cia da luz em E 1 ? E1 α 60° E2 Resolução: E1 α δ ϕ γ γ β β 60° E2 2β + 2γ + α = 180° ⇒ 2 (β + γ) + α = 180° (I) β + δ = 90° ⇒ δ = 90° – β (II) γ + ϕ = 90° ⇒ ϕ = 90 – γ (III) δ + ϕ + 60° = 180° (IV) (II) e (III) em (IV): 90° – β + 90° – γ + 60° = 180° β + γ = 60° (V) (V) em (I): 2 · 60° + α = 180° ⇒ α = 180° – 120° ⇒ α = 60° O valor de α independe do valor de β. Respostas: α = 60° e O valor de α independe do valor de β. 6 Na f igura, os espelhos planos E 1 e E 2 são perpendiculares. Um raio luminoso incide no espelho E 1 formando 30° com a superfície re- f letora, conforme está indicado: E1 30° E2 Copie a f igura em seu caderno e represente a trajetória da luz até que esta deixe o sistema de espelhos. Resolução: Comentar que, sendo os espelhos perpendiculares, o raio emergente do sistema é paralelo ao raio incidente. Resposta: E2 E1 60° 60° 30° 30° 7 Considere a caixa cúbica representada abaixo, em que a face ABCD é espelhada, de tal modo que a superfície ref letora seja voltada para dentro da caixa. Suponha que um raio luminoso penetre na caixa pelo vértice E e incida no ponto O, centro do espelho. C D G H E B O F A Você poderá, então, af irmar que o correspondente raio ref letido sairá da caixa pelo vértice: a) C; d) H; b) G; e) A. c) F; Resolução: C D G H N E B O F A Pela 1a Lei da Ref lexão, o raio incidente, o raio ref letido e a reta normal no ponto de incidência devem ser coplanares. Resposta: b 241Tópico 2 – Refl exão da luz 14 (Ufal) Um espelho plano está no piso horizontal de uma sala com o lado espelhado voltado para cima. O teto da sala está a 2,40 m de altura e uma lâmpada está a 80 cm do teto. Com esses dados, pode- -se concluir que a distância entre a lâmpada e sua imagem formada pelo espelho plano é, em metros, igual a: a) 1,20. b) 1,60. c) 2,40. d) 3,20. e) 4,80. Resolução: 2,40 m 0,80 m 1,60 m 1,60 m d = 1,60 + 1,60 d = 3,20 m Resposta: d 15 (UFF-RJ) Dois espelhos planos paralelos, E 1 e E 2 , estão frente a frente separados pela distância de 20 cm. Entre eles há uma fonte luminosa F, de pequenas dimensões, na posição indicada na f igura: 20 cm F E1 E2 a) Calcule a distância entre a primeira imagem fornecida pelo espelho E 1 e a primeira imagem fornecida pelo espelho E 2 . b) A distância calculada no item a depende da posição de F em rela- ção a E 1 e E 2 ? Resolução: 20 cm x bbaa FF2 F1 E1 E2 a) x = 2a + 2b = 2 · (a + b) x = 2 · 20 cm ⇒ x = 40 cm b) x independe da posição de F em relação a E 1 e E 2 . Respostas: a) 40 cm; b) não depende. 16 E.R. No esquema da f igura, P é um ponto luminoso, E é um espelho plano e O é o olho de um observador: O P E Trace o caminho óptico da luz, que, partindo de P, sofre ref lexão em E e atinge O. Resolução: Traçado do raio ref letido: Determina-se, por simetria, a imagem P’, que o espelho conjuga a P. A partir de P’, traça-se a reta P’O. O cruzamento dessa reta com o espelho def ine o ponto de incidência I, e o raio ref letido corres- ponde ao segmento IO. O raio incidente correspondente ao segmento PI. O P E P‘ I αα 17 (Fuvest-SP) A f igura representa um objeto A, colocado a uma distância de 2,0 m de um espelho plano S, e uma lâmpada L, colocada à distância de 6,0 m do espelho: 2,0 m A S L 6,0 m 6,0 m a) Copie a f igura e desenhe o raio emitido por L e ref letido por S que atinge A. Explique a construção. b) Calcule a distância percorrida por esse raio. 242 PARTE III – ÓPTICA GEOMÉTRICA Resolução: a) α α α α A 2,0 m 6,0 m L L’ S 6,0 m 6,0 m b) Δs 8,0 m 6,0 m Pitágoras: Δs2 = (6,0)2 + (8,0)2 Δs = 10 m Respostas: a) 2,0 m 6,0 m L L‘ A S α α 6,0 m 6,0 m b) 10 m 18 (Vunesp-SP) Um estudante veste uma camiseta em cujo peito se lê a inscrição seguinte: UNESP a) De que forma a imagem dessa inscrição aparece para o estudante quando ele se encontra frente a um espelho plano? b) Suponha que a inscrição esteja a 70 cm do espelho e que cada letra da camiseta tenha 10 cm de altura. Qual a distância entre a inscri- ção e sua imagem? Qual a altura de cada letra da imagem? Resolução: a) Estudante Espelho Simetria b) 10 cm 10 cm 70 cm70 cm Objeto Imagem d = 70 + 70 (cm) d = 140 cm Respostas: a) UNESP ; b) 140 cm; 10 cm 19 O esquema representa um espelho plano diante do qual se en- contram cinco objetos luminosos: A, B, C, D e E. O ponto O correspon- de à posição do globo ocular de um observador. A B D C E O Que ponto (ou pontos) o observador não poderá ver pela ref lexão da luz no espelho? Resolução: O observador não poderá vislumbrar os pontos D e E nem seu próprio olho, pois eles estão fora do campo visual do espelho para a posição do observador. Resposta: Ele não poderá ver os pontos D e E, da mesma maneira que não verá a imagem do seu olho. A B C D E Campo x x‘ O O‘ 243Tópico 2 – Refl exão da luz 20 (UFPR) Um espelho plano fornece, de um dado objeto em re- lação ao espelho, uma imagem real, projetável sobre um anteparo. Pode-se, então, af irmar, sobre o objeto e sobre o feixe incidente que o def ine, respectivamente, que: a) é real e divergente. b) é virtual e convergente. c) é virtual e divergente. d) é real e convergente. e) é real e paralelo. Resposta: b 21 (UFPI) Dois espelhos planos, paralelos, um defronte ao outro, estão separados por uma distância D = 2,0 m. O objeto O está situa- do entre eles, a uma distância d = 0,50 m de B (veja a f igura a seguir). A distância que separa as duas primeiras imagens formadas em A e a distância que separa as duas primeiras imagens formadas em B são, respectivamente: D O A B d a) 0,50 m e 1,5 m. b) 1,5 m e 3,5 m. c) 2,0 m e 4,0 m. d) 1,0 m e 3,0 m. e) 2,0 m e 2,0 m. Resolução: A B O D = 2,0 m 1,5 m x 1,5 m y 0,50 m IA2 IB2 IA1 IB1 I A2 é a imagem que A conjuga a I B1 . Logo: x = 2 · 0,5 ⇒ x = 1,0 m I B2 é a imagem que B conjuga a I A1 . Logo: y = 2 · 1,5 ⇒ y = 3,0 m Resposta: d 22 (UEL-PR) A f igura representa um espelho plano E vertical e dois segmentos de reta AB e CD perpendiculares ao espelho: 25 cm A E 48 cm 50 cm B C D Supondo que um raio de luz parta de A e atinja C por ref lexão no es- pelho, o ponto de incidência do raio de luz no espelho dista de D, em centímetros: a) 48. d) 24. b) 40. e) 16. c) 32. Resolução: A α α α α B E x DC 25 cm 50 cm 25 cm 48 – x A‘ Os triângulos destacados são semelhantes. Logo: x 48 – x = 50 25 x = 2 (48 – x) x = 96 – 2x ⇒ 3x = 96 ⇒ x = 32 cm Resposta: c 23 E.R. Um observador de altura H deseja mirar-se de corpo in- teiro, utilizando para tanto um espelho plano circular disposto verti- calmente. Sendo h a altura de seus olhos em relação ao solo, plano e horizontal: a) calcule o mínimo diâmetro d que o espelho deve ter para que o observador realize seu intento; b) obtenha a distância do extremo inferior do espelho ao solo; c) responda: as dimensões d e dependem ou não da distância x do observador em relação ao espelho? 246 PARTE III – ÓPTICA GEOMÉTRICA Resolução: a) O E I A IA b) O E B IBI Respostas: a) O E I A IA b) O E B IBI 29 No esquema seguinte, PQ é um espelho plano, AB é um objeto linear e A’B’ é a imagem de AB conjugada pelo espelho: QP II A B III I A' B' Para que um observador de dimensões desprezíveis veja a imagem A’B’ inteira, deve colocar-se: a) nas regiões I, II ou III, indiferentemente; b) nas regiões I ou II, indiferentemente; c) exclusivamente na região I; d) exclusivamente na região II; e) exclusivamente na região III. Resolução: O observador deve colocar-se na região da intersecção dos campos do espelho correspondentes às extremidades A e B do objeto. Resposta: d 30 Juliana está parada no ponto A, indicado na f igura a seguir, contemplando sua imagem num espelho plano vertical E, de largura 3,0 m. Rodrigo, um colega de classe, vem caminhando ao longo da reta r, paralela à superfície ref letora do espelho, com velocidade de intensi- dade 2,0 m/s. A B 1,5 m 1,0 m4,5 m 3,0 m r E Desprezando-se as dimensões de Juliana e de Rodrigo, responda: a) Por quanto tempo Juliana poderá observar a imagem de Rodrigo em E? b) Se Juliana estivesse na posição B, qual seria o tempo de observação da imagem de Rodrigo? Resolução: a) 1,5 m 1,5 m 4,5 m L A‘ A V E 3,0 m Campo do espelho (I) Semelhança de triângulos: L 3,0 m = (4,5 + 1,5) m 1,5 m ⇒ L = 12 m (II) Juliana poderá observar a imagem de Rodrigo em E, enquanto Rodrigo estiver no campo do espelho representado na f igura ante- rior, isto é, enquanto ele estiver percorrendo o comprimento L. V = ΔsΔt = L Δt ⇒ Δt = L V ⇒ Δt = 12 m 2 m/s Donde: Δt = 6,0 s 247Tópico 2 – Refl exão da luz b) Se Juliana estivesse na posição B, o comprimento L a ser percor- rido por Rodrigo dentro do campo do espelho não se modif icaria (L = 12 m) e o mesmo ocorreria com o tempo de visualização da imagem, que continuaria igual a Δt = 6,0 s. Respostas: a) 6,0 s; b) 6,0 s 31 (UEL-PR) A f igura representa um espelho plano vertical e um eixo horizon- tal onde estão os pontos A, B, C, D, E, F, G e H, equidistantes entre si: Se o espelho plano sofrer uma transla- ção, passando do ponto C ao ponto D, a imagem de A vai passar do ponto: a) D para o ponto E. d) E para o ponto H. b) E para o ponto G. e) F para o ponto G. c) E para o ponto F. Resolução: A transformação da imagem será o dobro da do espelho. Resposta: d 32 E.R. Dois espelhos planos são associados de modo que suas superfícies ref letoras formem um ângulo diedro de 45°. Um objeto luminoso é colocado diante da associação. Determine: a) o número de imagens que os espelhos conjugam ao objeto; b) o número de imagens enantiomorfas e o número de imagens iguais ao objeto. Resolução: a) O número de imagens que a associação conjuga ao objeto é calculado pela fórmula: n = 360° α – 1 Sendo α = 45°, determinemos n: n = 360° 45° – 1 ⇒ n = 7 imagens b) 1a e 2a imagens: simples ref lexão ⇒ enantiomorfas 3a e 4a imagens: dupla ref lexão ⇒ iguais ao objeto 5a e 6a imagens: tripla ref lexão ⇒ enantiomorfas 7a imagem: quádrupla ref lexão ⇒ igual ao objeto Portanto, temos: 4 imagens enantiomorfas 3 imagens iguais ao objeto 33 Diante de dois espelhos planos que formam entre suas super- fícies ref letoras um ângulo de 90°, um rapaz coloca um relógio, cujo painel é dotado de traços no lugar dos números. Sabendo que o expe- rimento é realizado às 4 h 10 min, determine: a) o número de imagens que os espelhos conjugam ao relógio; b) quantas imagens têm o aspecto da f igura I e quantas têm o aspecto da f igura II. Figura I Figura II Resolução: a) n = 360 º α – 1 ⇒ n = 360º 90º – 1 n = 3 imagens b) F igura I: uma imagem F igura II: duas imagens Respostas: a) Três imagens; b) F igura I: uma imagem; F igura II: duas imagens. 34 (Fuvest-SP) Na f igura, F indica um ladrilho colocado perpendi- cularmente a dois espelhos planos que formam um ângulo reto: F Espelhos Indique a alternativa que corresponde às três imagens formadas pelos espelhos. FF FF FF FF FFF F FF F F a) FF FF d)b) e)c) Resolução: As duas imagens formadas por simples ref lexão são simétricas em re- lação ao objeto (ladrilho) e a imagem, formada por dupla ref lexão, é simétrica em relação às imagens que lhe deram origem. Resposta: c 35 (UFC-CE) A f igura abaixo mostra um objeto O diante do espelho plano E, em posição vertical. Originalmente, o espelho está na posi- ção P, a uma distância d do objeto. Deslocando-se o espelho para a posição P 1 , a distância da imagem de O até o espelho é de 7 cm. Se o espelho é deslocado para a posição P 2 , a distância da imagem de O até o espelho passa a ser de 11 cm. P 1 e P 2 estão à igual distância de P. A distância original, d, entre o espelho e o objeto vale: E O d P P1P2 a) 4 cm. d) 18 cm. b) 9 cm. e) 22 cm. c) 14 cm. A B D E GF HC 248 PARTE III – ÓPTICA GEOMÉTRICA Resolução: d x x OI0 I1 E x x 7 cm7 cm4x O E x xP2 P1 11 cm P O E P2 P P1 P2 P P1 11 cm (I) 4x = 2 · 11 – 2 · 7 (cm) ⇒ x = 2 m (II) d = 7 + x d = 7 + 2 (cm) d = 9 cm Resposta: b 36 Um caminhão trafega em uma estrada retilínea com veloci- dade de 40 km/h. Olhando no espelho retrovisor plano, o motorista contempla a imagem de um poste vertical f ixo na estrada. a) Qual a velocidade da imagem do poste em relação ao solo? b) Qual a velocidade da imagem do poste em relação ao motorista do caminhão? Respostas: a) 80 km/h; b) 40 km/h 37 E.R. A f igura a seguir representa um espelho plano que pode girar em torno de um eixo contendo seu centro C. A α E1 B E2 C Estando na posição E 1 , o espelho capta a luz proveniente de uma fon- te pontual A, f ixa no anteparo, ref letindo-a de volta ao ponto de par- tida. O espelho sofre, então, uma rotação equivalente a um ângulo α, passando para a posição E 2 . Nesse caso, ao receber a luz emitida por A, ref lete-a para o ponto B. Sabendo que AB = 3 AC, calcule o ângulo α. Resolução: A f igura a seguir representa os raios ref letidos r 1 e r 2 , que correspon- dem, respectivamente, às posições E 1 e E 2 do espelho: A α E1 E2 C 2α r1 r2 B No triângulo ABC, temos: tg 2α = AB AC Mas, sendo AB = 3 AC, vem: tg 2α = 3 AC AC ⇒ tg 2α = 3 Portanto: 2α = 60° ⇒ α = 30° 38 O esquema a seguir representa um pêndulo. Na extremidade do f io, está preso um espelho plano. Incrustada no anteparo há uma lâmpada pontual F que emite um pincel luminoso cilíndrico na direção horizontal para a esquerda. O pêndulo é posto a oscilar, fazendo com que o espelho passe pelas posições E 1 e E 2 e varra, de uma para a outra, um ângulo θ = 30° no plano da f igura: 2 m F E1 E2 θ Calcule a extensão do anteparo percorrida pelo pincel luminoso proveniente de F e ref letido pelo espelho, quando o espelho vai de E 1 para E 2 . Resolução: 2 m F L E1 E2 θ θ θ 251Tópico 2 – Refl exão da luz 46 Diante de uma bola de Natal que tem a superfície externa espe- lhada, um observador dispõe um lápis, que é aproximado e afastado da superfície ref letora. A respeito da imagem que a bola conjuga ao lápis, podemos af irmar que: a) é virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do lápis; b) pode ser real ou virtual, dependendo da posição do lápis; c) é real, invertida e aumentada, qualquer que seja a posição do lápis; d) é simétrica do lápis em relação à superfície ref letora; e) nenhuma proposição anterior é correta. Resolução: Construção gráf ica da imagem: V F Objeto α α y y Imagem Resposta: a 47 (UFRJ) Um espelho côncavo de raio de curvatura 50 cm e um pequeno espelho plano estão frente a frente. O espelho plano está disposto perpendicularmente ao eixo principal do côncavo. Raios lu- minosos paralelos ao eixo principal são ref letidos pelo espelho côn- cavo; em seguida, ref letem-se também no espelho plano e tornam-se convergentes num ponto do eixo principal distante 8 cm do espelho plano, como mostra a f igura. V 8 cm Calcule a distância do espelho plano ao vértice V do espelho côncavo. Resolução: V F‘ F f d 8 cm 8 cm f = R 2 = 50 cm 2 ⇒ f = 25 cm d + 8 = f d = f – 8 ⇒ d = 25 – 8 (cm) ⇒ d = 17 cm Resposta: 17 cm 48 (Fatec-SP) Desloca-se uma pequena lâmpada acesa ao longo do eixo principal de um espelho esférico côncavo, até que a posição da imagem formada pelo espelho coincida com a posição do objeto. Nesse caso, a imagem é invertida e a distância da lâmpada ao espelho é de 24 cm. Qual a distância focal do espelho? Resolução: A lâmpada e sua imagem estão situadas no plano frontal que contém o centro de curvatura do espelho; logo: f = R 2 ⇒ f = 24 cm 2 f = 12 cm Resposta: 12 cm 49 No esquema a seguir, E é um espelho esférico côncavo de centro de curvatura C, foco principal F e vértice V. AB é um objeto luminoso posicionado diante da superfície ref letora. Levando em conta as con- dições de Gauss, construa graf icamente, em seu caderno, a imagem de AB considerando as posições 1, 2, 3, 4 e 5. Em cada caso, dê a classi- f icação da imagem obtida. E V F 4 532 A B C 1 Respostas: Posição 1: real, invertida e menor; Posição 2: real, inver- tida e igual; Posição 3: real, invertida e maior; Posição 4: imprópria; Posição 5: virtual, direita e maior. 50 (UFPE) A concha de aço ino- xidável representada na f igura pode ser usada para demonstrar proprie- dades dos espelhos esféricos. Uma dessas propriedades consta de uma das alternativas abaixo. Indique: a) Para objetos colocados à direita, num afastamento inferior a um quarto do diâmetro, as imagens são invertidas. b) Para objetos colocados à esquerda, num afastamento inferior a um quarto do diâmetro, as imagens são invertidas. c) Imagens virtuais só podem ser obtidas para objetos colocados à esquerda. d) Para objetos colocados à direita, num afastamento inferior a um quarto do diâmetro, as imagens são direitas. e) Imagens virtuais só podem ser obtidas para objetos colocados à direita. 252 PARTE III – ÓPTICA GEOMÉTRICA Resolução: a) Falsa. Nesse caso, a concha funciona como espelho esférico côncavo. Para distâncias menores que 1 4 do diâmetro (d f), as imagens são vir- tuais, direitas e maiores que o objeto. b) Falsa. Nesse caso, a concha funciona como espelho esférico convexo. As imagens obtidas são virtuais direitas e menores que o objeto. c) Falsa. Para objetos colocados à direita da concha em um afastamento in- ferior a 1 4 do diâmetro (d f), as imagens são virtuais. d) Verdadeira. e) Falsa. Para objetos colocados à esquerda da concha, as imagens obtidas são virtuais, direitas e menores que o objeto. Resposta: d 51 E.R. No esquema seguinte, ab é o eixo principal de um espe- lho esférico gaussiano, PQ é um objeto luminoso contido em um plano frontal e P’Q’ é a imagem que o espelho conjuga ao objeto considerado: a P Q b Q‘ P‘ Reproduza essa f igura no seu caderno e obtenha graf icamente a po- sição e o tipo do espelho, bem como as posições de seu centro de curvatura e de seu foco principal. Resolução: Posição do espelho: Inverte-se o objeto, obtendo-se seu simétrico QR em relação ao eixo principal. Liga-se R a P’ (raio 1). Onde o segmento RP’ intercep- ta o eixo principal, tem-se o vértice V do espelho. Natureza do espelho: O espelho é convexo, pois a um objeto real está conjugando uma imagem virtual, direita e menor que o objeto. Posição do centro de curvatura: A partir de P, traça-se uma reta passando por P’ (raio 2). Na inter- secção dessa reta com o eixo principal, tem-se a posição do centro de curvatura. Posição do foco principal: a P Q b Q' P' R CFV 3 2 1 A partir de P, traça-se um segmento paralelo ao eixo principal (raio 3). Do ponto em que esse segmento toca o espelho, traça- -se uma reta passando por P’. Ao cruzar o eixo principal, essa reta determina a posição do foco principal. 52 No esquema, xx’ é o eixo principal de um espelho esférico gaus- siano que conjuga a imagem A’B’ ao objeto real AB: x x‘ A B B‘ A' Reproduza essa f igura no seu caderno e obtenha graf icamente a posi- ção e o tipo do espelho, bem como as posições de seu centro de curva- tura e de seu foco principal. Resposta: Espelho côncavo x C B A F V B‘ A‘ x‘ 53 E.R. Um homem situado a 2,0 m do vértice de um espelho es- férico visa sua imagem direita e ampliada três vezes. Determine: a) a distância focal do espelho; b) sua natureza (côncavo ou convexo). Resolução: a) O aumento linear transversal vale A = +3 (A > 0, porque a imagem é direita). Sendo a distância do objeto ao espelho p = 2,0 m, calculemos p’, que é a distância da imagem ao espelho: A = – p’ p 3 = – p’ 2,0 Donde: p’ = – 6,0 m (imagem virtual) A distância focal f pode ser obtida pela função dos pontos conju- gados (equação de Gauss): 1 f = 1 p + 1 p’ 1 f = 1 2,0 – 1 6,0 1 f = 3 – 1 6,0 = 2 6,0 f = 3,0 m b) Como f > 0, o foco é real e o espelho é côncavo. 253Tópico 2 – Refl exão da luz 54 Considere um espelho côncavo de aumento, com distância fo- cal f = 1,0 m, usado para uma pessoa fazer a barba. Calcule a distância do rosto ao espelho para que a imagem dele esteja ampliada 2 vezes. Resolução: A = – p’ p ⇒ 2 = – p’ p ⇒ p` = –2p 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 1,0 = 1 p – 1 2 p Donde: p = 0,50 m = 50 cm Resposta: 50 cm 55 (Ufal) Considere os pontos M e N, situados sobre o eixo principal de um espelho esférico côncavo, respectivamente a 30 cm e 40 cm do vértice do espelho. NFV M Esse espelho côncavo, que tem foco em F e distância focal de 20 cm, conjuga aos pontos M e N, respectivamente, as imagens M’ e N’. Deter- mine o valor absoluto da distância entre as imagens M’ e N’. Resolução: 1 f = 1 p + 1 p’ Ponto M: 1 20 = 1 30 + 1 p’ M ⇒ p’ M = 60 cm Ponto N: 1 20 = 1 40 + 1 p’ N ⇒ p’ N = 40 cm d = p’ M – p’ N ⇒ d = 60 – 40 ⇒ d = 20 cm Resposta: 20 cm 56 Diante de um espelho esférico, perpendicularmente ao seu eixo principal, é colocado um objeto luminoso a 15 cm do vértice. Deseja-se que a imagem correspondente seja projetada num anteparo e tenha quatro vezes o comprimento do objeto. Determine: a) se a imagem é real ou virtual, direita ou invertida; b) a distância do anteparo ao vértice do espelho para que a imagem seja nítida; c) a distância focal do espelho. Resolução: a) Se a imagem deve ser projetada em um anteparo, sua natureza é real e p’ > 0. Como p > 0 e p’ > 0 ⇒ A < 0 e a imagem é invertida. b) A = – p’ p ⇒ – 4 = – p’ 15 ⇒ p’ = 60 cm c) 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 f = 1 15 + 1 60 Donde: f = 12 cm Respostas: a) Real e invertida; b) 60 cm; c) 12 cm 57 (Vunesp-SP) Um espelho esférico côncavo tem raio de curvatu- ra igual a 80 cm. Um objeto retilíneo, de 2,0 cm de altura, é colocado perpendicularmente ao eixo principal do espelho, a 120 cm do vérti- ce. Essa posição resulta em uma imagem: a) real e invertida de 1,0 cm de altura e a 60 cm do espelho. b) virtual e direita de 1,0 cm de altura e a 10 cm do espelho. c) virtual e invertida de 1,0 cm de altura e a 10 cm do espelho. d) real e direita de 40 cm de altura e a 60 cm do espelho. e) virtual e direita de 40 cm de altura e a 10 cm do espelho. Resolução: f = R 2 = 80 cm 2 ⇒ f = 40 cm 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 40 = 1 120 + 1 p’ p’ = 60 cm p’ 0 ⇒ imagem real A = – p’ p = – 60 cm 120 cm ⇒ A = – 1 2 (A 0 ⇒ imagem invertida) i o = |A| ⇒ i 2,0 = – 1 2 ⇒ |i| = 1,0 cm Resposta: a 58 A distância entre um objeto luminoso e sua respectiva imagem conjugada por um espelho esférico gaussiano é de 1,8 m. Sabendo que a imagem tem altura quatro vezes a do objeto e que está projetada em um anteparo, responda: a) O espelho é côncavo ou convexo? b) Qual o seu raio de curvatura? Resolução: a) O objeto luminoso é real e sua imagem também é real, já que está projetada em um anteparo. Assim, p e p’ são positivos, o que torna f também positivo, tendo em conta que 1 f = 1 p + 1 p’ . Logo, o espelho é côncavo. b) p’ – p = 180 cm ⇒ p’ = 180 + p (I) A = – p’ p ⇒ –4 = – p’ p ⇒ p’ = 4p (II) Comparando (I) e (II): 4p = 180 + p p = 60 cm e p’ = 240 cm 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 R 2 = 1 60 + 1 240 Do qual: R = 96 cm Respostas: a) Côncavo; b) 96 cm 256 PARTE III – ÓPTICA GEOMÉTRICA 67 (ITA-SP) Seja E um espelho côncavo cujo raio de curvatura é de 60,0 cm. Qual tipo de imagem obteremos se colocarmos um objeto real de 7,50 cm de altura, verticalmente, a 20,0 cm do vértice de E? Resolução: f = R 2 = 60,0 cm 2 ⇒ f = 30,0 cm A = – f f – p = 30,0 30,0 – 20,0 ⇒ A = +3 (A 0 ⇒ imagem direita) A = – p’ p ⇒ Sendo A 0, p 0 e tendo p e p’ sinais opostos, tem-se p 0 ⇒ imagem virtual A = i o ⇒ 3 = i 7,50 ⇒ i = 22,5 cm Resposta: A imagem é virtual, direita e com 22,5 cm de altura. 68 Um toco de vela é colocado frontalmente a 12 cm do vértice de um espelho esférico que obedece às condições de Gauss, obtendo-se, nesse caso, uma imagem direita e de comprimento igual a um terço do comprimento da vela. Determine: a) o tipo do espelho utilizado (côncavo ou convexo), bem como seu raio de curvatura; b) a distância da imagem ao vértice do espelho. Resolução: a) Imagem direita: A 0 A = + 1 3 A = f f – p ⇒ 1 3 = f f – 12 ⇒ 3f = f – 12 f = –6,0 cm (f 0 ⇒ espelho convexo) R = 2 |f| ⇒ R = 2 |–6,0| ⇒ R = 12 cm b) A = – p’ p ⇒ 1 3 = – p’ 12 ⇒ Donde: p’ = –4,0 cm (p’ 0 ⇒ imagem virtual) d = |p’| ⇒ d = 4,0 cm Respostas: a) Convexo; 12 cm; b) 4,0 cm 69 Em um espelho côncavo, a distância entre um objeto real e sua imagem é de 60 cm. Sabendo-se que a imagem é invertida e de compri- mento igual à metade do comprimento do objeto, qual o raio de curva- tura do espelho? Resolução: p – p’ = 60 ⇒ p = 60 + p’ (I) A = – p’ p ⇒ – 1 2 = – p’ p ⇒ p = 2p’ (II) Comparando (I) e (II), vem: 2p’ = 60 + p’ ⇒ p’ = 60 cm e p = 120 cm 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 R 2 = 1 60 + 1 120 Da qual: R = 80 cm Resposta: 80 cm 70 (UFSC) A distância entre a imagem e um objeto colocado em fren- te a um espelho côncavo é de 16 cm. Sabendo que a imagem é direita e 3 vezes maior, determine o raio de curvatura do espelho, em centímetros. Resolução: p + |p’| = 16 cm ⇒ |p’| = 16 – p ⇒ p’ = –(16 –p) (I) A = – p’ p ⇒ 3 = – p’ p = p’ = –3p (II) Comparando (I) e (II), vem: –3p = –(16 – p) ⇒ p = 4 cm e p’ = –12 cm 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 R 2 = 1 4,0 – 1 12 Da qual: R = 12 cm Resposta: 12 cm 71 (Mack-SP) Um objeto real O encontra-se diante de um espelho esférico côncavo, que obedece às condições de Gauss, conforme o es- quema abaixo. F C o V 10 cm x 21 cm i Sendo C o centro da curvatura do espelho e F seu foco principal, a dis- tância x entre o objeto e o vértice V do espelho é: a) 6,0 cm. b) 9,0 cm. c) 10,5 cm. d) 11,0 cm. e) 35,0 cm. Resolução: Do desenho, temos: p = +x cm p’ = –(21 – x) cm f = +10 cm Logo, a imagem é virtual. Aplicando a Equação de Gauss, vem: 1 p + 1 p’ = 1 f ⇒ 1 x – 1 21 – x = 1 10 ⇒ 21 – x – x x(21 – x) = 1 10 210 – 20x = 21x – x2 ⇒ x2 –41x + 210 = 0 Resolvendo a equação, temos: x = 41 ± (–41) 2 – 4 · 210 2 ⇒ x = 41 ± 1 681 – 840 2 ⇒ x = 41 ± 29 2 Da qual: x 1 = 35 cm e x 2 = 6 cm Como x f = 10 cm, conclui-se que: x = 6,0 cm Resposta: a 257Tópico 2 – Refl exão da luz 72 Lua cheia sobre o Pacíf ico Considere a situação esquematizada a seguir, fora de escala e em cores-fantasia, em que os centros da Lua e da Terra estão separados por uma distância d. Admita que o raio da Terra seja igual a R e que o Oceano Pacíf ico, ref letindo a luz da lua cheia, comporte-se como um espelho esférico gaussiano. Lua L P R d Terra Sendo L o diâmetro da Lua, determine em função de d, R e L: a) a distância entre a imagem da Lua e o ponto P; b) o diâmetro da imagem da Lua. Resolução: a) Considerando p = d – R e f = – R 2 , calculamos p’ pela Equação de Gauss: 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 – R 2 = 1 d – R + 1 p’ 1 p’ = – 2 R – 1 d – R ⇒ 1 p’ = –2 (d – R) – R R(d – R) Da qual: p’ = R (d – R) R – 2d Observe que, como a imagem é virtual, p’ é um número negativo. Sendo x a distância entre a imagem da Lua e o ponto P, temos: x = –p’ ⇒ x = R (d – R) 2d – R b) i o = – p’ p ⇒ i L = – R(d –R) R – 2d d – R Donde: i = LR 2d – R Respostas: a) R (d – R) 2d – R ; b) LR 2d – R 73 (UFPE – mod.) A f igura representa um feixe paralelo de luz in- cidente em um prisma que tem suas superfícies externas ref letoras. Parte do feixe é ref letida por uma face e parte por outra. Se o ângu- lo entre cada face do prisma e a direção do feixe é α, determine o ângulo θ entre as direções dos feixes ref letidos. α α θ Resolução: α δ δ δ β β β β α θ 2 2 β + 2 δ = 180° ⇒ β + δ = 90° (I) Triângulo destacado à direita: 2 β + θ 2 = 180° ⇒ β = 90° – θ 4 (II) (II) em (I): 90° – θ 4 + δ = 90° ⇒ δ = θ 4 (III) Triângulo destacado à esquerda: α + δ = θ 2 (IV) (III) em (IV): α + θ 4 = θ 2 ⇒ θ = 4 α Resposta: θ = 4α 74 Uma pessoa cujos olhos se encontram a 1,8 m do chão está em repouso diante de um espelho plano vertical E, a 50 cm dele. A pessoa visualiza, por ref lexão em E, a imagem de um poste AB, de 6,0 m de altura, situado atrás de si e a 2,5 m de E. h y 1,8 m 6,0 m A B 2,5 m 50 cm E Determine: a) a mínima dimensão vertical h que deve ter o espelho para que a pessoa possa ver inteiramente a imagem do poste. b) a distância y da borda inferior do espelho ao chão nas condições do item anterior. Resolução: h y 1,8 m A B A‘ B‘ 2,5 m 6,0 m 6,0 m 0,50 m E a) h 6,0 = 0,50 2,5 + 0,5 ⇒ h = 1,0 m b) y 2,5 = 1,8 2,5 + 0,50 ⇒ y = 1,5 m Respostas: a) h = 1,0 m; b) y = 1,5 m 258 PARTE III – ÓPTICA GEOMÉTRICA 75 (Fuvest-SP – mod.) Um observador O olha-se em um espelho plano vertical pela abertura de uma porta com 1 m de largura, paralela ao espelho, conforme a f igura e o esquema a seguir. Segurando uma régua longa, ele a mantém na posição horizontal, pa- ralela ao espelho e na altura dos ombros, para avaliar os limites da re- gião que consegue enxergar através do espelho (limite D, à sua direita, e limite E, à sua esquerda). Observador D E Lado de trás do espelho Porta aberta Régua Parede O g a) Copie a f igura e trace os raios que, partindo dos limites D e E da re- gião visível da régua, atingem os olhos do observador O. Construa a solução, utilizando linhas cheias para indicar esses raios e linhas tracejadas para prolongamentos de raios ou outras linhas auxilia- res. Indique, com uma f lecha, o sentido do percurso da luz. Parede Espelho Escala 0 1 m Régua O Vista de cima b) Copie o esquema e identif ique D e E, estimando, em metros, a dis- tância L entre esses dois pontos da régua. Respostas: a) Parede Espelho Escala 0 1 m Régua (Imagem do observador) O O‘ L E D E‘ D‘ B A b) L = 1,5 m 76 (Vunesp-SP) Um observador O encontra-se no vértice P de uma sala, cuja planta é um triângulo equilátero de lado igual a 6,0 m. Em um dos cantos da sala, existe um espelho vertical de 3,0 m de largura ligando os pontos médios das paredes PQ e QR. P RQ O Nessas condições, olhando através do espelho, o observador vê (no plano horizontal que passa pelos seus olhos): a) metade de cada parede da sala. b) um terço de PR e metade de QR. c) um terço de PR e um terço de PQ. d) metade de QR e metade de PR. e) PR inteira e metade de QR. Resolução: O campo visual do espelho para a posição do observador (ponto O) está esboçado na f igura: P R Campo visual Q O O‘ Resposta: d 77 (Faap-SP) Um cilindro de 25 cm de altura e de diâmetro despre- zível foi abandonado de uma posição tal que sua base inferior estava alinhada com a extremidade superior de um espelho plano de 50 cm de altura e a 20 cm deste. Durante sua queda, ele é visto, assim como sua imagem, por um observador, que se encontra a 1 m do espelho e a meia altura deste (ver f igura). 25 cm 25 cm 20 cm Cilindro Espelho 1,0 m 50 cm Calcule por quanto tempo o observador ainda vê a imagem do cilin- dro (total ou parcial), que permanece vertical durante a queda. Adote g = 10 m/s2. Resolução: No esquema seguinte, delimitamos o campo visual do espelho plano em relação ao observador O: 50 cm O O‘ Campo visual N Y M A 100 cm 20 cm B X Da semelhança de triângulos O’AB e O’XY, obtemos: XY = 60 cm. Devido à simetria, concluímos que: XM = 5,0 cm ⇒ MY = 55 cm, mas YN= 25 cm ⇒ MN= 80 cm. 261Tópico 2 – Refl exão da luz Resolução: V L i r i‘ r‘ R C r = i = 45°; r’ = i’ = 45° cos 45° = L 2 R ⇒ 2 2 = L 2 R ⇒ L = 2,0 m Resposta: 2,0 m 84 (Cesgranrio-RJ) A distância mínima entre seu olho e um objeto, para que você o veja nitidamente, é de 24 cm. Tendo um espelho côncavo de distância focal igual a 16 cm, e querendo se olhar nele, a que distância mínima do espelho deverá f icar seu olho para que você o veja ampliado? Resolução: p + |p’| = 24 cm ⇒ |p’| = 24 – p ⇒ p’ = –(24 –p) Equação de Gauss 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 16 = 1 p – 1 24 – p 1 16 = 24 – p – p p(24 – p) ⇒ 24p – p2 = 384 – 32p p2 – 56p + 384 = 0 p 1 = 8,0 cm p 2 = 48 cm p mín = 8,0 cm Resposta: 8,0 cm 85 No esquema seguinte, E representa um espelho esférico que obedece às condições de aproximação de Gauss: E P' P 1,0 cm 1,0 cm Considerando os elementos do esquema, podemos af irmar que: a) o espelho é côncavo e sua distância focal tem módulo 10 cm; b) o espelho é côncavo e sua distância focal tem módulo 7,5 cm; c) o espelho é côncavo e sua distância focal tem módulo 5,0 cm; d) o espelho é convexo e sua distância focal tem módulo 10 cm; e) o espelho é convexo e sua distância focal tem módulo 5,0 cm. Resolução: Da f igura: p = –10 cm e p’ = 5,0 cm Equação de Gauss 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 f = – 1 10 + 1 5,0 Da qual: f = 10 cm (f > 0 ⇒ espelho côncavo) Resposta: a 86 Um objeto linear é colocado diante da superfície ref letora de um espelho esférico côncavo, de raio de curvatura igual a 120 cm e que obe- dece às condições de Gauss. Sabendo que a imagem tem tamanho quatro vezes o tamanho do objeto, calcule a distância do objeto ao espelho. Resolução: 1a solução: Objeto situado entre o foco e o vértice. A = f f – p ⇒ +4 = 60 60 – p ⇒ p = 45 cm 2a solução: Objeto situado entre o centro de curvatura e o foco. A = f f – p ⇒ –4 = 60 60 – p ⇒ p = 75 cm Resposta: 45 cm ou 75 cm 87 No esquema a seguir, E 1 é um espelho plano e E 2 é um espelho esférico côncavo de raio de curvatura R = 60 cm. C, F e V são, respectivamente, em relação a E 2 , o centro de curvatura, o foco e o vértice. Em F, é colocada uma fonte pontual de luz. Determine a distância da fonte à sua ima- gem, considerando que a luz sofre dupla ref lexão, primeiro em E 1 e posteriormente em E 2 . Resolução: C F P‘ d 30 cm 30 cm 30 cm I2I1 V E2 E1 (I) 1 f = 1 p + 1 p’ 1 30 = 1 90 + 1 p’ ⇒ p’ = 45 cm (II) d = p’ – f ⇒ d = 45 – 30 (cm) ⇒ d = 15 cm Resposta: 15 cm C F V E2E1 262 PARTE III – ÓPTICA GEOMÉTRICA 88 (ITA-SP) Um espelho plano está colocado em frente de um es- pelho côncavo, perpendicularmente ao eixo principal. Uma fonte lumi- nosa pontual A, colocada sobre o eixo principal entre os dois espelhos, emite raios que se ref letem sucessivamente nos dois espelhos e for- mam, sobre a própria fonte A, uma imagem real desta. O raio de curvatura do espelho é 40 cm e a distância do cen- tro da fonte A até o vértice do espelho esférico é de 30 cm. A distância d do espelho plano até o vértice do espelho côn- cavo é, então: a) 20 cm. c) 40 cm. e) 50 cm. b) 30 cm. d) 45 cm. Resolução: Determinemos, inicialmente, a posição da imagem conjugada pelo es- pelho côncavo em relação a este espelho. Equação de Gauss: 1 p + 1 p’ = 1 f Sendo f = R 2 = 40 2 cm = 20 cm e p = 30 cm, calculemos p’: 1 30 + 1 p’ = 1 20 ⇒ 1 p’ = 1 20 – 1 30 ⇒ 1 p’ = 3 – 2 60 Da qual: p’ = 60 cm Para que a imagem f inal, formada sobre o objeto A, seja de natureza real, a imagem fornecida pelo espelho côncavo deve comportar-se como objeto virtual em relação ao espelho plano. A trajetória dos raios de luz pode ser observada no esquema a seguir: p = 30 cm p‘ = 60 cm x F d A A‘ V x Lembrando que no espelho plano a imagem é simétrica do objeto em relação à superfície ref letora, temos: 2x = p’ – p ⇒ 2x = 60 – 30 ⇒ x = 15 cm A distância d pedida f ica, então, determinada por: d = p + x ⇒ d = 30 + 15 (cm) ⇒ x = 45 cm Resposta: d 89 Um espelho convexo cuja distância focal tem módulo igual a 10 cm está situado a 20 cm de um espelho côncavo de distância focal 20 cm. Os espelhos estão montados coaxialmente e as superfícies re- f letoras se defrontam. Coloca-se um objeto luminoso no ponto médio do segmento que une os vértices dos dois espelhos. Localize a imagem fornecida pelo espelho convexo ao receber os raios luminosos que par- tem do objeto e são ref letidos pelo espelho côncavo. Resolução: A imagem fornecida pelo espelho convexo pode ser obtida graf ica- mente como a seguir: F2F1 O Ponto médio 20 cm E2E1 i1 i2 Equação de Gauss: 1 p + 1 p’ = 1 f 1 ⇒ 1 10 + 1 p 1 ’ = 1 20 ⇒ p 1 ’ = –20 cm A imagem virtual i 1 produzida por E 1 comporta-se como objeto real em relação ao espelho convexo E 2 . Equação de Gauss: 1 p + 1 p’ = 1 f ⇒ 1 (20 + 20) + 1 p 2 ’ = 1 –10 Da qual: p’ 2 = –8,0 cm Resposta: A imagem é de natureza virtual e está a 8,0 cm do vértice do espelho convexo. 90 Uma partícula pontual realiza, na vertical, um movimento harmônico simples (MHS) cuja elongação y é dada em função do tempo t por: y = a cos (ω t) O plano de oscilação da partícula é perpendicular ao eixo principal (eixo 0x) de um espelho esférico côncavo gaussiano e está a uma dis- tância do vértice igual a três vezes a distância focal do espelho. C F V0 x y a a Determine: a) a frequência angular de oscilação da imagem da partícula; b) a amplitude de oscilação da imagem; c) a diferença de fase Δφ entre o movimento de oscilação da partícula e o da sua imagem. Resolução: a) Enquanto a partícula realiza uma oscilação completa, o mesmo ocorre com sua imagem (períodos iguais). Logo: ω i = ω Observar que ω i = ω = 2π T b) 1 f = 1 p + 1 p’ ⇒ 1 f = 1 3f + 1 p’ ⇒ 1 p’ = 1 f – 1 3f ⇒ p’ = 3 2 f i o = – p’ p ⇒ i a = – 3 2 f 3f ⇒ i = – a 2 Donde: ai = |i| = a 2 A30 cm d 263Tópico 2 – Refl exão da luz c) A partícula e sua imagem oscilam em oposição de fase, o que f ica evidenciado pela oposição dos sinais de i e o. Assim, a diferença de fase pedida é: Δφ = π rad Respostas: a) ω; b) a 2 ; c) Δφ = π rad 91 Considere um corredor delimitado por duas paredes planas, verticais e paralelas entre si. Numa das paredes (A) está incrustada uma lâmpada puntiforme (L) acesa. Na outra parede (B) está f ixado um espelho plano (MN), que ref lete luz proveniente de L, iluminando a re- gião M’N’ da parede A. M' N' L A B M N Admitindo-se que a parede A passe a se aproximar da parede B com velocidade constante de módulo V, permanecendo, porém, paralela a B, pode-se af irmar que a velocidade de M’ em relação a N’ terá: a) módulo nulo; b) módulo V/2; c) módulo V; d) módulo 2V; e) um outro valor. Resolução: M‘ N‘ M a c c N B A L L‘ b b a = 2c c Logo: b = 2a A distância b entre M’ e N’ permanece constante, independentemente da distância c entre as paredes. Observe que b só depende do comprimento a do espelho. Assim, a velocidade de M’ em relação a N’ terá módulo nulo. Observe também que a região iluminada na parede A não se desloca em relação a essa parede à medida que ela se aproxima da parede B. Resposta: a 92 (Olimpíada Brasileira de Física – mod.) A f igura a seguir ilustra uma pessoa de altura H posicionada diante de um espelho plano f ixa- do em uma parede inclinada de um ângulo θ em relação ao solo. θ d L H Supondo-se conhecida a distância d entre o topo da cabeça da pessoa e o espelho e desprezando-se a distância entre seus olhos e o topo de sua cabeça, pede-se determinar: a) o comprimento mínimo L do espelho para que a pessoa possa se ver de corpo inteiro; b) o valor de L para o caso particular em que θ = 90°; c) a distância Y entre a borda inferior do espelho e o solo na situação do item b. Resolução: a) Na f igura a seguir, a pessoa está se vendo de corpo inteiro no espe- lho plano considerado. É importante notar a simetria entre o objeto e sua imagem em relação ao espelho. θ θ θH B 90° – θ A d dL D C E A‘ H cos θ H sen θ B' Os triângulos ACE e ADB’ são semelhantes. Logo: L d = H sen θ 2d + H cos θ ⇒ L = d H sen θ 2d + H cos θ b) Fazendo-se: θ = 90° (parede perpendicular ao solo), vem: L = d H sen 90° 2d + H cos 90° ⇒ L = d H 2d Portanto: L = H 2 Nota: Nesse caso particular, L independe de d.