Baixe cap8 v5 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Caṕıtulo 8 Momento Angular Neste caṕıtulo vamos estudar os autovalores e autovetores do momento angular. Este problema também pode ser analisado com o uso do método de operadores, o que faremos na primeira parte deste caṕıtulo. Por outro lado, também é muito instrutivo estudar o problema de au- tovalores para o momento angular orbital já que isto não só fornece maiores informações sobre a solução obtida pelo método de operadores, mas também prepara o terreno para o estudo de problemas tridimen- sionais. 8.1 Álgebra do Momento Angular O momento angular orbital é uma quantidade importante para a análise de problemas clássicos e quânticos que contém potenciais centrais, dado que ele é uma quantidade conservada. O momento angular orbital é definido por L ≡ x ∧ p , (8.1) sendo que esta expressão não apresenta problema de ordenamento em Mecânica Quântica. As componentes do momento angular orbital são dadas por Lx = ypz − zpy , (8.2) Ly = zpx − xpz , (8.3) Lz = xpy − ypx . (8.4) 135 136 Caṕıtulo 8. Momento Angular Daqui podemos obter as seguintes relações de comutação: [Lx, Ly] = ih̄Lz , (8.5) [Ly, Lz] = ih̄Lx , (8.6) [Lz, Lx] = ih̄Ly , (8.7) as quais podem ser resumidas usando-se o tensor de Levi-Civita (kjn), [Lk, Lj ] = ih̄ kjnLn , (8.8) onde as componentes 1, 2 e 3 representam x, y e z respectivamente. Também é útil definir o quadrado do momento angular orbital L2 ≡ L · L = L2x + L 2 y + L 2 z . (8.9) Utilizando as relações (8.5) a (8.7) temos que L2 comuta com todas as componentes do momento angular orbital, i.e. [ L2, Li ] = 0 . (8.10) Como veremos logo abaixo, é conveniente definir as seguintes com- binações dos operadores Lx e Ly L+ = Lx + iLy , (8.11) L− = Lx − iLy , (8.12) as quais estão ligadas através de L†+ = L−. Mais ainda, podemos expressar L2 em termos dos operadores L± utilizando as seguintes relações: L+L− = L 2 − L2z + h̄Lz , (8.13) L−L+ = L 2 − L2z − h̄Lz , (8.14) onde o útil termo destas equações origina-se do comutador de Lx com Ly. É também fácil mostrar, usando as relações de comutação (8.5) a (8.7), que [ L2, L± ] = 0 , (8.15) [Lz, L±] = ±h̄L± . (8.16) 8.2. Solução Algébrica 139 Analogamente, o fato de L− abaixar de uma unidade o autovalor m juntamente com −` ≤ m de (8.24) conduzem a conclusão de que deve existir um valor mı́nimo para m (mmin) tal que L−Φ`mmin = 0. Pode-se mostrar utilizando (8.19) que mmin = −`. Logo, L−Φ`−` = 0 . (8.28) Uma vez que ações sucessivas de L+ devem eventualmente levar ao vetor nulo para que (8.24) não seja violada, sucessivas aplicações L+ a Φ`−` devem produzir a um estado proporcional a Φ``. Portanto, 2` deve ser um número inteiro: o de aplicações de L+ que conduzem de Φ`−` a Φ``. Com isso, temos que os valores posśıveis de ` são inteiros e semi-inteiros. ` = 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , 2 · · · , (8.29) enquanto que m é inteiro ou semi-inteiro conforme ` o seja e satisfaz −` ≤ m ≤ `. Autovetores Analogamente à solução por operadores do oscilador harmônico do caṕıtulo 6, podemos determinar os autoestados do momento angular partindo da equação (8.27) ou de (8.28), substituindo a forma expĺıcita do operador L+ ou L− respectivamente. Este procedimento conduz a uma equação simples que fornece como resultado Φ`` ou Φ`−`. De posse de um destes vetores, sucessivas aplicações de L+ ou L− permitem-nos construir todos os autoestados com |m| ≤ ` dado um valor de `. Uma vez que assumimos que os autovetores Φ`m estão normalizados e que L±Φ`m é um autoestado de Lz com autovalor h̄(m±1), as relações (8.19) e (8.20) permitem-nos escrever que Φ`m±1 = 1 h̄ √ `(` + 1) − m(m ± 1) L±Φ`m . (8.30) A seguir obteremos os autoestados do momento angular orbital re- solvendo explicitamente as equações de autovalores em vez de utilizar o método descrito acima. Todavia, recomendamos fortemente ao leitor que obtenha alguns autoestados do momento angular orbital utilizando o método acima. 140 Caṕıtulo 8. Momento Angular 8.3 Solução Expĺıcita A solução expĺıcita do problema de autovalores e autovetores do mo- mento angular orbital é mais direta quando escolhemos coordenadas esféricas (r, θ, ϕ). Neste sistema de coordenadas o operador momento angular orbital é dado por L = h̄ i r ∧∇ , (8.31) onde ∇ = er ∂ ∂r + eϕ 1 r sin θ ∂ ∂ϕ + eθ 1 r ∂ ∂θ . (8.32) Os versores do sistema de coordenadas esféricas estão relacionados com os versores cartesianos usuais (i, j,k) através de er = sin θ cos ϕ i + sin θ sin ϕ j + cos θ k , (8.33) eθ = cos θ cos ϕ i + cos θ sin ϕ j − sin θ k , (8.34) eϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j . (8.35) Portanto, temos que L = h̄ i ( eϕ ∂ ∂θ − eθ 1 sin θ ∂ ∂ϕ ) , (8.36) o que nos permite obter as seguintes expressões expĺıcitas: L2 = −h̄2 [ 1 sin2 θ ∂2 ∂ϕ2 + 1 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ ∂θ )] , (8.37) Lz = h̄ i ∂ ∂ϕ , (8.38) L± = h̄e ±iϕ ( ∂ ∂θ ± i cotan θ ∂ ∂ϕ ) . (8.39) Substituindo as expressões acima no problema de autovetores si- multâneos de L2 e Lz (8.17) e (8.18) obtemos as seguintes equações diferenciais acopladas [ 1 sin2 θ ∂2 ∂ϕ2 + 1 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ ∂θ )] Y`m = −`(` + 1) Y`m ,(8.40) ∂ ∂ϕ Y`m = imY`m , (8.41) 8.3. Solução Expĺıcita 141 onde os autoestados Φ`m são dados pelas funções Y`m(θ, ϕ). Para faci- litar a análise, usaremos o resultado da seção anterior que |m| ≤ ` va- riando em passos de uma unidade. Para especificarmos completamente o problema devemos adotar uma condição de contorno. Neste pro- blema é natural impor que o valor de Y`m seja o mesmo para (θ, ϕ = 0) e (θ, ϕ = 2π), uma vez que estas duas escolhas representam o mesmo ponto do espaço. Y`m(θ, 0) = Y`m(θ, 2π) (8.42) A solução de (8.41) pode ser facilmente obtida, sendo dada por Y`m = H(θ) e imϕ , (8.43) onde H é um função apenas de θ. Impondo a condição de contorno (8.42) temos que m deve ser um inteiro, ou seja, a condição de contorno não é compat́ıvel com valores semi-inteiros para m. Com isso, temos que m e ` podem apenas ser inteiros no caso do momento angular orbital. Para maiores informações, veja a próxima seção. Para determinarmos H(θ) substitúımos (8.43) em (8.40), resultando em 1 sin θ d dθ ( sin θ dH dθ ) − m2 sin2 θ H + `(` + 1)H = 0 . (8.44) É conveniente neste ponto fazer a substituição de variáveis ξ = cos θ, que nos permite escrever d dξ [ (1 − ξ2) dH dξ ] − m2 1 − ξ2 H + `(` + 1)H = 0 . (8.45) Esta é a equação diferencial de Legendre cujas soluções bem compor- tadas (não divergentes) no intervalo |ξ| ≤ 1 são as funções associadas de Legendre P m` (ξ). P m` (ξ) = (−1)m(` + m)! 2``!(` − m)! (1 − ξ2)− m 2 d`−m dξ`−m (1 − ξ2)` (8.46) Portanto, a solução do problema de autovetores é dada por Y`m(θ, ϕ) = C`m e imϕ P m` (cos θ) , (8.47)