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que e a relacao de York que denota a evolucao da metrica deformada da Brana-mundo sob o parametro perturbativo ya. O teorema de Nash parte dessa relacao como princıpio para mostrar que toda geometria pode ser imersa diferencialmente. A expressao anterior pode ser escrita de modo diferencial como a qual nos mostra que em primeira aproximacao as perturbacoes Nash de fato podem ser produzidas a partir de pequenos incrementos somados a metrica, i.e.,

gµν = gµν + δgµν +Assim, recuperamos a nocao de

definicao de forma local de uma variedade Riemanniana imersa quando comparada ao espaco dimensionalmente maior a qual foi imersa. Vemos assim que o postulado de Branas-mundo sobre a propagacao da gravidade nas dimensoes extras e na verdade a essencia do processo perturbativo de Nash com a propagacao da curvatura extrınseca que pode vir a ser interpretada como um campo independente.

3.3. As equacoes de Gauss-Codazzi-Ricci e princıpio de Einstein-Hilbert

O processo perturbativo de Nash por si so nao e capaz de fornecer equacoes de movimento da variedade imersa. Para tanto, precisamos das equacoes de Gauss-Codazzi-Ricci que nos fornecerao naturalmente um escalar de Curvatura tal que possamos escrever o princıpio variacional Einstein-Hilbert. Podemos comecar fazendo uso da Eq. (12), tal que gµν = ZA,µZB,νGAB −→ gµνgµν = gµνZA,µZB,νGAB . Tendo em vista que gµνgµν = GABGAB − gabgab , logo, temos que gµνgµν = GABGAB − gabgab = gµνZA,µZB,νGAB , e de posse da Eq. (14), temos entao

GABGAB − gabηAa ηBb GAB = gµνZA,µZB,ν , que resulta na relacao gµνZA,µZB,ν = GAB − gabηAa ηBb . (24)

Para assegurarmos de forma completa a imersao com a deformacao da Brana-mundo no mesmo bulk, i.e., garantir que tal deformacao continue uma subvariedade do bulk, devemos tomar as componentes do tensor de

Riemann RABCD do bulk definidas em termos das bases de imersao da geometria perturbada {ZA,µ,ηAa } [20–2] que correspondem as equacoes de Gauss-Codazzi-Ricci

[12], dadas respectivamente por

RABCDZA,µZB,νZC,ρZD,σ = Rµνρσ − 2gcdkµ[ρ|ckν]σd (25a) RABCDZA,µηBa ZC,νZD,ρ = 2kµ[ν|a;ρ] − 2gcdA[ρ|cakµ|ν]d (25b) RABCDηAa ηBb ZC,µZD,ν = −2A[µ|ab;ν] − 2gcdA[µ|caAν]db − 2gαβk[µ|αakν]βb (25c) as quais representam as condicoes de integrabilidade da imersao. Esta integrabilidade diz respeito a possibilidade de adicao de hipersuperfıcies de espaco-tempo que ao serem integradas podemos extrair as equacoes de movimento. Como ja comentamos, com uso da analiticidade das funcoes como proposto por Janet, Burstin e Cartan, e possıvel obter as solucoes do sistema. Porem, do ponto de vista fısico, essa e uma hipotese muito forte para o estudo de processos em que a origem e o fim nao sao bem conhecidos, como e no caso da cosmologia. Por outro lado, o teorema de Nash foi o primeiro a resolver as equacoes de Gauss-Codazzi-Ricci usando apenas a regularidade e diferenciabilidade das funcoes.

O proximo passo sera deduzir a equacao de Einstein

1305-8 Capistrano e Odon para o bulk partindo do princıpio de Einstein-Hilbert, via construcao de uma lagrangiana. Denotamos entao a quantidade

K2 = gabkµνakµνb , (26) e a curvatura media onde denotamos ha = gµνkµνa . Tomemos entao a equacao de Gauss contraindo-a com a metrica gρσ gρσRµνρσ = 2gcdgρσkµ[ρ|ckν]σd + gρσRABCDZA,µZB,νZC,ρZD,σ ,

Rµν = gcd (gρσkµρckνσd − kµνcgρσkρσd) + gρσRABCDZA,µZB,νZC,ρZD,σ ,

= gcd (gρσkµρckνσd − kµνchd) + RABCDZA,µZB ,ν ( gρσZC,ρZD ,σ) e usando a Eq. (24), temos

Rµν = gcd (gρσkµρckνσd − kµνdhc) + RABCDZA,µZB ,ν (GCD − gabηCa ηD b )

= gcd (gρσkµρckνσd − kµνdhc) + GCDRABCDZA,µZB,ν − gabRABCDZA,µZB,νηCa ηDb , que resulta em

Rµν = gcd (gρσkµρckνσd − kµνdhc) + RABZA,µZB,ν (30) −gabRABCDηAa ZC,νZB,µηDb .

Assim, ao tomarmos a Eq. (30) contraıda novamente com uma metrica gµν

gµνRµν = gµνgcdgρσkµρckνσd − gµνkµνdgcdhc

+gµνRABZA,µZB,ν −gabRABCDηA a ( gµνZC,νZB ,µ) ηDb .

R = gcdkνσckνσd − gcdhchd + RAB (GAB − gabηAa ηB b

−gabRABCDηAa ηD b (GBC − gcdηBc ηC d

K2 −H2)+RABGAB −gabRABηAa ηB b

−gabGBCRABCDηAa ηDb + gabgcdRABCDηAa ηBc ηCd ηDb ,

em que obtemos a uma equacao para o escalar de curvatura

+gadgbcRABCDηAa ηBb ηCc ηDd .

O princıpio Einstein-Hilbert para a geometria do bulk

diz que a curvatura deve ser a mais suave possıvel. Pela Eq. (31) podemos escrever

)√−G dDV+∫ 2gabRABηAa ηB

gadgbcRABCDηAa ηBb ηCc ηD d √−GdDV .

Assim, podemos escrever a acao onde α∗ e um parametro associado com a energia de escala do bulk e S∗ e a lagrangiana confinada na Brana- mundo. Tomando a variacao da acao Einstein-Hilbert do bulk δS temos as equacoes de Einstein para o bulk onde T∗AB e o tensor energia-momento do bulk. Assim, vemos que o postulado de Branas-mundo sobre a adocao da metrica GAB do bulk como solucao das equacoes de Einstein e na verdade uma consequencia natural da imersao. E importante notar que as transformacoes de difeomorfismo bem como o princıpio da equivalencia da relatividade geral nao sao levados ao bulk, sendo confinados na Brana-mundo.

Por outro lado, a escolha de tipos especıficos de bulks impoe diferentes restricoes e equacoes de movimento caracterizando os varios modelos de Branasmundo. Fundamentalmente, os modelos sao necessarios a medida que a teoria nao existe sendo construıdos no sentido de descrever ou fazer a representacao de determinado sistema a ser estudado na tentativa de extrair informacoes para analise e conceituacao do problema. Neste sentido, o termo teoria possui um significado mais amplo de modo a tentar prover explicacao

Introducao ao teorema de Nash e as Branas-mundo 1305-9 e sistematizacao mais rigorosa do conhecimento, alem de prever novos fenomenos. Uma teoria fısica deve portanto apresentar rigor matematico, logica e simplicidade de acordo com o princıpio chamado navalha de Occam, proposto por William de Occam no seculo XIV em que nos diz que “entia non suntmultiplicanda praeter necessitatem” (as entidades nao devem ser multiplicadas alem da necessidade), sendo precursor do que chamamos hoje por metodo cientıfico. Tendo em vista o aparecimento destes novos elementos extrınsecos que representam uma extensao da geometria Riemanniana, portanto, a geometria de Branas-mundo e bem mais rica do que a relatividade geral, o que exige estudos mais profundos e a longo prazo para a elaboracao de uma teoria mais geral de gravitacao propriamente dita, ou possivelmente, de unificacao das interacoes.

4. A teoria de imersao como uma opcao para a fısica

Em 1965 em um seminario acerca dos problemas da imersao, Y. Ne’eman e outros conjecturaram que as dimensoes extras poderiam ser a fonte de simetria para partıculas elementares [30]. O quadro geral naquela epoca era que as simetrias concordavam com as interacoes fracas, mas nao podiam ser estendidas as interacoes fortes. Ne’eman sugeriu que o uso de espacos localmente imersos levaria as simetrias internas, o que atribuıa as mesmas uma origem geometrica, concluindo que o uso de espacos-tempo imersos ofereceria uma teoria unificada das interacoes fundamentais da natureza. Em um sentido geometrico, as conexoes seriam vistas como propriedades do espaco-tempo em contraste com trabalhos anteriores, tais como Weyl [31], Kaluza- Kein [32,3] e Gupta [34] os quais nao levavam em consideracao o uso da imersao.

O primeiro artigo do seminario e de A. Friedman [23] onde discute sobre os diversos casos de imersoes globais e locais, fazendo um breve resumo sobre o que Nash havia discutido quase dez anos antes e tambem o que havia sido descoberto ate entao [24]. O artigo de J. Rosen [25] mostra varios casos de imersoes de espacos relativısticos Riemannianos. R. Penrose [26] chama a atencao para o problema de imersoes globais, dizendo que nem sempre uma variedade Riemanniana podera ser imersa num espaco Euclidiano como Nash havia afirmado em 1956. Ele faz o exemplo para as metricas de ondas planas, mas recentemente se mostrou que de fato isto nao era uma dificuldade desde que se considere a dinamica das imersoes [27]. C. Fronsdal [28] discute os limites entre espacos chatos e espacos curvos para uma dada teoria fısica enquanto que D. Joseph [29] trata da imersao do espaco-tempo num espaco pseudo- Euclideano. Para ele, espacos pseudo-Euclideanos de dimensao maior podem ser considerados uma arena em que a relatividade geral e a mecanica quantica possam ser trabalhadas simultaneamente.

Por conseguinte, nas decadas de 1970 e 80, Regge,

Teitelboim [35] e Holdom [36,37], dentre outros, consideram a ideia de um universo imerso em uma variedade de dimensao maior. Esta ideia foi originada na teoria de Cordas, onde os objetos fundamentais sao imersos. Cabe notar que, na teoria de Cordas original (i.e., sem supersimetria a qual atribui a cada partıcula na natureza um equivalente supersimetrico, por exemplo, para cada boson existe um fermion supersimetrico e vice-versa), os objetos sao imersos em 2-dimensoes, porem a imersao fica trivializada ja que as superfıcies bidimensionais sao conformemente planas. Em 1977, em um trabalho pioneiro, Regge e Teitelboim consideraram uma teoria de membranas a qual substituıa a geometria Riemanniana por uma geometria imersa.

Como colocado na secao I, em 1998, Arkani-

Hamed, G. Dvali and S. Dimopoulos (ADD) [19] propuseram um modelo multidimensional para dar uma solucao ao problema de hierarquia das interacoes fundamentais, que basicamente consiste em uma diferenca quantitativa entre as escalas eletrofraca e Planckiana( mpl/mEW ∼ 1016) baseadas nas medidas das cons- tantes de acoplamento. A ideia de ADD reside no fato de que nao existe ainda uma comprovacao experimental de que a gravidade e realmente efetiva somente em altas energias da ordem de 1015 TeV, mas sim que possa ser verificada a unificacao na escala Tev. Dos modelos de supercordas [38], a proposta de ADD emprestou a ideia de que variedades chamadas p-branas sao imersas em um bulk, sendo que a geometria do bulk e definida pelas equacoes de Einstein. Assim, uma 3-brana movese em um bulk generando uma Brana-mundo imersa que exerce o papel do espaco-tempo. Desta forma, a Branamundo e um objeto dinamico originado pela oscilacao de uma 3-brana determinada pelas equacoes de Einstein com um numero de dimensoes maior que 4 onde as transformacoes do grupo de difeomorfismo nao sao estendidas as dimensoes extras. A partir de entao muitos outros trabalhos sobre Branas-mundo foram propostos, porem, a nıvel de exemplo, faremos um breve comentario acerca da estrutura do modelo Randall- Sundrum, por se tratar de um modelo bastante explorado na literatura bem como sendo em conjunto com a proposta de ADD um dos trabalhos pioneiros do programa de Branas-mundo.

Em 1999, L. Randall e R. Sundrum [39] propoem um modelo alternativo ao esquema de ADD. O primeiro modelo conhecido como RS-I e construıdo com um bulk de curvatura constante em 5-dimensoes em um espaco- tempo do tipo anti-deSitter, ou , simplesmente, ADS5. Este tipo de espaco foi introduzido originalmente em

1917 por W. de Sitter apresentando novas solucoes das equacoes de Einstein pela adicao da constante cosmologica Λ as equacoes de campo no vacuo (o tensor energia momento e nulo, i.e., Tµν = 0) com o elemento

1305-10 Capistrano e Odon de linha

ondeH = √ Λ/3 em um universo esferico quasi-estatico

X1 = αcosh( tα)sinr cosθ X2 = αcosh( tα)sinr sinθ cosφ X3 = αcosh( tα)sinr sinθ sinφ X4 = αcosh( tα)cosr X5 = αsinh( tα) podemos mostrar que a solucao de deSitter pode ser escrita como

que e equivalente a uma esfera de raio α = Λ−1 com centro na origem em um M5(4,1), sendo um espaco de curvatura constante com Λ > 0 cujo elemento de linha podemos escrever como

onde dw2 = dθ2 + sin2 θdφ2. Por outro lado, se tomarmos as seguintes mudancas

X1 = αcos( tα)sinhr cosθ X2 = αcos( tα)sinhr sinθ cosφ X3 = αcos( tα)sinhr sinθ sinφ X4 = αcos( tα) X5 = αsinh( tα) que podemos escrever a equacao que e a equacao de uma esfera centrada no infinito e de linha pode ser escrito como onde dw2 = dθ2 + sin2 θdφ2. Por conseguinte, para o modelo RS-I construıdo so- bre o ADS5, Randall e Sundrum apresentam o seguinte princıpio de acao c

∫ pi

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