Baixe ondas eletromagneticas 1 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos 4) Ondas Eletromagnéticas Introdução Um dos fatos mais importantes do eletromagnetismo, tanto teórico quanto experimental, é a existência de ondas acopladas de campo elétrico e magnético, que se propagam para longe das fontes, transportando parte da energia fornecida pelo agente físico que mantém as distribuições de carga e corrente no sistema. Sabe-se que isso ocorre apenas para fontes dependentes do tempo. As relações de interdependência entre os campos são precisamente definidas nas equações das leis de Ampere e Faraday. Na lei de Ampere existe uma parcela do rotacional do campo magnético que é proporcional à derivada no tempo do campo elétrico. De modo análogo, na lei de Faraday, o rotacional do campo elétrico é proporcional à derivada no tempo do campo magnético. A partir dessas relações, verificamos que campos estáticos são independentes entre si e campos variáveis no tempo são mutuamente dependentes um do outro. Mostraremos, neste capítulo, que essa dependência mútua resulta em equações de onda idênticas para ambos os campos. Os seja, os campos elétrico e magnético de fontes variáveis no tempo têm a forma matemática de distribuições que se deslocam no espaço na medida em que o tempo passa. Esse fenômeno é denominado de onda eletromagnética. A origem das ondas eletromagnéticas pode ser atribuída à irradiação de cargas elétricas em movimento não uniforme. Sabe-se muito bem que uma carga fixa em um certo referencial inercial gera campo elétrico radial isotropicamente distribuído em torno da posição da carga (Figura 4.1a). Além disso, uma carga estática não produz campo magnético. É possível mostrar teoricamente que uma carga em movimento uniforme, ou seja, com velocidade constante, também produz campo elétrico radial, porém não mais isotropicamente distribuído no espaço. O campo é 178 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos mais intenso na direção perpendicular à direção do movimento da carga (Figura 4.1b). Uma carga em movimento uniforme também produz campo magnético, e este campo está na direção azimutal em relação à direção do movimento. Finalmente, uma carga acelerada produz campo elétrico que, além da componente radial, também apresenta uma componente na direção polar em relação à direção do movimento (Figura 4.1c). Esta componente de campo elétrico polar e o campo magnético azimutal constituem as componentes de campo associadas à onda eletromagnética gerada pela carga acelerada. (a) (b) e Figura 4.1 — Representação esquemática da irradiação de uma carga acelerada. O Teorema de Poynting que será demonstrado neste capítulo estabelece que existe um fluxo de energia eletromagnética cuja densidade de potencia é dada por &xh, onde os campos são provenientes da mesma fonte. Com base neste resultado, podemos concluir que apenas a carga acelerada irradia energia na direção radial, ou seja, pra longe de sua própria posição. Este processo está na base de diversos fenômenos conhecidos, como a radiação de frenagem de 179 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos (43) d-zd &-sên b=sbh h=zh, n n de modo que cada conjunto das componentes correspondente dessas grandezas fpyn: h:dn:8n,Bnon] satisfaz individualmente as equações de Maxwell, isto é: (44) Vdn=om Vb=0 vVxm he do Vxên - Ba Na descrição macroscópica dos campos em meios materiais, contudo, a linearidade será mantida desde que a polarização, a magnetização e a condução no meio sejam proporcionais aos campos aplicados, ou seja, desde que a permissividade elétrica, a permeabilidade magnética e a condutividade do material sejam independentes das intensidades dos campos. Assim sendo, podemos escrever: (45) dn=:ên bn=uh h=08n Análise fasorial A análise fasorial é uma técnica de representação e solução de equações diferenciais temporais aplicável a sistemas lineares excitados por fontes que variam no tempo segundo as funções trigonométricas senot e cosat ou segundo as funções exponenciais complexas e”! e e!”!. Todas essas funções têm a característica comum de serem periódicas e monocromáticas (frequência única). Estas funções podem ser representadas de maneira geral pelas expressões: (4.6) sen(wt+0) cos(gt+6) eletro) gritotso) onde o argumento (wt +69) é denominado de fase, w é a frequência angular e 6 é a fase inicial. Usando a identidade de Euler (eê =cosa+jsenã), podemos escrever as funções trigonométricas na forma de funções exponenciais: (47) sen(ot+0)-= aletetea —eritot+o) (48) cos(wt+0)= alotso +erilot+o) 182 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos Um sistema descrito por equações diferenciais lineares e excitado por uma fonte monocromática, terá necessariamente como resposta, funções monocromáticas no tempo com a mesma fregúência da fonte. Assim qualquer sistema eletromagnético com fontes monocromáticas em um meio linear, pode ser analisado considerando-se que as respostas, tanto para os potenciais quanto para os campos, são funções monocromáticas do tempo. Esta análise é mais convenientemente realizada usando-se as funções exponenciais complexas, conforme se verá a seguir. Definimos o fasor correspondente a uma função monocromática do tempo como uma quantidade complexa cujo módulo é a amplitude dessa função e cujo ângulo polar é igual à fase inicial dessa função. Em um sistema eletromagnético excitado por fontes monocromáticas, os fasores que descrevem à densidade de carga e a densidade de corrente podem ser escritos na forma: jo “= jo (49) T=poeP J=eli enquanto que para os campos e potenciais gerados temos: D = doeltd E-a,ele B-boelb (4.10) º º º H= hoeih dq"? A-dpeita Onde as amplitudes e as fases podem variar com a posição no espaço mas não dependem do tempo. Usaremos a convenção de representar um fasor por letras maiúsculas, enquanto mantemos a convenção até aqui adotada de representar funções do tempo por letras minúsculas. Também adotamos o seguinte procedimento para obter uma função do tempo a partir do seu fasor: multiplicados o mesmo por eitte extraímos a parte real do resultado. Assim, para as fontes, temos: p= elreist E Rel poe!» et | = po cos(wt+0p) (411) o j= Refieiot|- Refe! J efe | = jo cos(ot+ 6) e de maneira análoga, para os campos e potenciais, temos: 183 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos Reeict |- do cos(wt+ 04) d= Refeit |- sp cos(wt+ 06) (4.12) b=RepBei!|- bo cos(ot+ 8) h q= = h = RelHeiº! |= ho cos(at + 0h) Rel meio! |- pocos(ot+0,) d=Re à ejot|- ão cos(wt+ 04) A análise de um sistema eletromagnético excitado por fontes monocromáticas pode ser realizada por meio da transformação das equações de Maxwell para a forma fasorial, resolução dessas equações no domínio da frequência e, uma vez obtidas as soluções para os fasores das grandezas desejadas, retornar ao domínio do tempo por meio das transformações indicadas em (4.12). Se diversas fontes com diferentes frequências estão presentes, as soluções para os potenciais e campos podem ser obtidas como a soma das respostas parciais para cada fonte, de acordo com o princípio da superposição. Trataremos agora de obter a forma fasorial das equações de Maxwell. Lei de Gauss para a indução elétrica Substituímos as funções monocromáticas que descrevem d(rte p(rtna equação da lei de Gauss para obter: (413) v-fio cos(ot+89)]= po cos(ot+ 8,) Substituindo agora as funções cosseno por funções exponenciais de acordo com (4.8), obtemos: (414) vi Seolevoa eat - Do lotto) + Bog otro) Comparando os termos que multiplicam as funções eitte eriot, obtemos as equações: (4.15) v-êpelta [- pos (4.16) v-Foe-Pa E poe PP Mas, de acordo com (4.9) e (4.10) essas equações relacionam os fasores de indução elétrica e densidade de carga, ou seja: (417) v.D=T 184 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos Uma extensão da análise fasorial para o caso de funções não monocromáticas é a análise de Fourier. Pode-se mostrar que qualquer função periódica pode ser escrita na forma de uma série de funções monocromáticas com frequências múltiplas de uma frequência fundamental. Uma vez obtida a série de Fourier de uma distribuição de carga ou corrente, é possível aplicar os métodos da análise fasorial para cada uma das componentes monocromáticas do sistema a fim de obter os campos associados. Os campos resultantes, de acordo com o princípio da superposição, serão obtidos pela soma dos campos devido a cada componente monocromática, ou seja, os campos também serão descritos por séries de Fourier. Tabela 4.1 — Equações eletromagnéticas fasoriais Lei de Gauss para a indução elétrica v.D=T Lei de Gauss para a indução magnética v.B=0 Lei de Ampere vxH=J+joD Lei de Faraday vxE= -joB Equação da continuidade v J =-jor D=coE+P=sÊ B=no(A+M)= nu Relações constitutivas - Ho( deh J-=cE Equação da onda eletromagnética A onda eletromagnética é descrita por equações diferenciais parciais no tempo e no espaço para seus dois campos, elétrico e magnético. Nesta seção e em grande parte deste capítulo estaremos interessados na descrição de ondas no espaço ilimitado, ou seja, sem fronteiras. Esta é uma simplificação que serve para se estudar as características principais de propagação de ondas eletromagnéticas com um mínimo de complexidade matemática. Situações reais quase sempre 187 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos envolvem interfaces entre meios com diferentes propriedades eletromagnéticas e nesses casos ocorrem fenômenos como reflexão, refração e difração, os quais modificam a distribuição dos campos e o fluxo da energia transportada pela onda. Além disso, em geral assume-se que o meio é linear, ou seja, as propriedades condutividade elétrica, permissividade elétrica e permeabilidade magnética em uma certa frequência são consideradas constantes independentes das intensidades dos campos. Uma última consideração simplificadora em um estudo introdutório das ondas eletromagnéticas diz respeito à homogeneidade e isotropia das propriedades eletromagnéticas do meio. Em um meio homogêneo e isotrópico as propriedades são independentes da posição e direção em qualquer sistema de referência no qual sejam avaliadas. Equação da onda eletromagnética no domínio do tempo A descrição das ondas eletromagnéticas pela teoria clássica é obtida com a aplicação direta das equações de Maxwell. Iniciaremos com a descrição no domínio do tempo. A Figura 4.2 mostra esquematicamente um sistema eletromagnético constituído por distribuições de carga e corrente elétrica em um certo volume finito do espaço e os campos decorrentes dessas fontes, consideradas aqui implicitamente como variáveis no tempo. Consideremos então a equação da Lei de Ampere: (435) vxh=]+ 28 à onde a distribuição de densidade de corrente no espaço pode ser o resultado de vários processos físicos que por conveniência de análise serão agrupados de duas categorias: (1) a corrente das fontes + , que será considerada sempre como tendo uma distribuição localizada, ou seja, limitada a um volume finito e (2) a corrente produzida pelo campo elétrico da própria onda eletromagnética. Esta contribuição pode ser escrita na forma % = 6 se o meio for um condutor linear. A distribuição de corrente + geralmente será produzida por fontes de potencial elétrico conectadas a um sistema de condutores, como por exemplo, em uma 188 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos y Figura 4.2 — Representação esquemática de um sistema eletromagnético constituído por uma distribuição localizada de carga e corrente e seus campos associados. antena. Fazendo a substituição j = js + em (4.35) e aplicando o rotacional em ambos os lados dessa equação, resulta: AV xd) êt Para um meio linear, homogêneo e isotrópico podemos substituir a densidade de (436) VxVxh=Vxj+Vxi+ corrente de condução e a indução elétrica pelas conhecidas relações em função do campo elétrico, considerando a condutividade e a permissividade elétrica como constantes independentes da posição e direção no espaço. Além disso, podemos utilizar uma transformação vetorial para reescrever o primeiro membro da equação (4.36). Com isso, obtemos: 0Vxe (437) vív-h)-vêh=vxbroVxêse Podemos agora utilizar a lei de Gauss para eliminar o primeiro termo em (4.37) e a lei de Faraday para substituir Vx& em função do campo magnético. Além disso, se estamos interessados na distribuição dos campos apenas no volume externo 189 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos Do mesmo modo, iniciando com o rotacional da equação da lei de Faraday e substituindo as relações constitutivas, podemos obter a equação de onda para o campo elétrico em um meio eletricamente neutro: (4.46) v2Ê= jouo E- Zu Ê > v2Ê= PE As equações diferenciais (4.45) e (4.46) descrevem as distribuições espaciais dos fasores dos campos gerados por uma fonte monocromática. Com a especificação correta das condições de contorno apropriadas a cada sistema físico, podemos, a princípio, obter uma descrição completa da propagação de ondas eletromagnéticas monocromáticas em um meio ilimitado a partir das soluções dessas equações. A constante y nessas equações é denominada de constante de propagação e pode ser escrita na forma: (4.47) y=Vjou(o+jws)=a+jp onde a é a constante de atenuação e B a constante de fase da onda. Em um meio de condutividade nula , (4.45) e (4.46) podem ser escritas na forma mais simples: (448) v2?H=-o2uch Ss v2h=ph (449) VE-ouE » vºE-çE Onde B= ojus=2. Esta forma das equações da onda eletromagnética é v denominada de equação de Helmholtz. A Tabela 4.2 resume as formas da equação de onda eletromagnética no domínio do tempo e no domínio da frequência. Equação da onda eletromagnética em coordenadas retangulares No sistema retangular os campos são descritos pelas expressões (ver Figura 4.3): (4.50) E(x,y,2)= Ex(x,y,2)X+Ey (x,y,2)9+E, (x,y,2)2 (4.51) H(xy,2)= He(x,y,2)X+Hy (47,2) 7 + Ho (4,y,2)2 192 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos Cada componente dos campos é uma função das três coordenadas espaciais. Substituindo essas expressões nas equações de onda (4.45) e (4.46) e separando as componentes retangulares, obtemos seis equações de onda: (452) VE, -7 Es (453) VE, =PEy (454) V2E,=7E, (455) V2Hy=7"Hx (4.56) v2Hy =42Hy (457) v2H,=yH, Tabela 4.2 — Formas da equação de onda eletromagnética Equação de onda geral meio não dissipativo 2a 2a v2- qu sue? E v28-us2 E d at? a? Domínio do tempo > - º 2 vn v2h = pel 2 at? v2E=yE v2E=-p2E Domínio da frequência v2H = PH v2H = -p?H v=jou(c+ joe) p= us 193 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos y Figura 4.3 — Representação de um campo vetorial no sistema de coordenadas retangulares. Cada uma dessas equações pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis. Supomos que a solução geral para a componente x do campo elétrico, por exemplo, pode ser escrita na forma de um produto de três funções, cada uma dependente apenas de uma das coordenadas de posição: (4.58) Ex =X()Y(y) Z(z) Substituindo em (4.52) e abrindo o operador laplaciano nas três componentes retangulares, obtemos a expressão: 2 2 2 (4.59) Y FASO A xvEZ =7ºXYZ dx dy dz Note que ao escrever esta equação usamos derivadas totais, pois as funções X, Y e Z dependem apenas de uma variável. Dividindo ambos os lados dessa equação por XYZ, resulta: 2 2 2 (4.60) CAS qAdY 1diz =y2 XxX? Yay? Zaz? 194 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos Figura 4.4 — Modelo de onda plana uniforme. Os campos estão contidos em planos paralelos e se distribuem uniformemente nessas superfícies. A onda se propaga na direção perpendicular aos planos. K é denominado de vetor de onda. Características gerais de propagação de ondas planas Analisando a equação (4.68), concluímos que, se os campos são constantes no plano x-y do sistema de coordenadas, as constantes 7, e yy devem ser nulas para a onda plana uniforme. Se todas as componentes de campo têm solução geral dada por (4.68), então, para a onda plana uniforme no sistema de referência mostrado na Figura 4.4, podemos escrever os campos na forma: (4.69) E-Eje'?+ Eme”? (4.70) H=Hre 7 +.He!? onde de acordo com (4.64),7, =, pois 7, =7y = 0. As amplitudes Ei. Em, Hh, Hm São constantes que devem ser determinadas a partir das condições de contorno em relação à direção z do sistema de coordenadas. Estas condições podem estar relacionadas, por exemplo, a intensidade da onda em uma certa posição z especificada e ou a possível ocorrência de reflexões no meio. Mostraremos que os termos que se somam nas equações (4.69) e (4.70) 197 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA -— Prof. Dr. Airton Ramos representam ondas que se propagam em sentidos opostos na direção z. O primeiro termo no segundo membro de (4.69), Eh e7Z, por exemplo, corresponde a uma onda de campo elétrico propagando-se no sentido z>0 e o segundo termo, Em e?Z, corresponde a uma onda de campo elétrico propagando-se no sentido z<0. Esses termos existem simultaneamente apenas se houver irradiação a partir de mais de uma fonte e em sentidos opostos ou no caso de um meio não homogêneo onde ocorra reflexão em uma interface produzindo uma onda refletida que se propaga em sentido oposto ao da onda incidente. Essas importantes ocorrências serão tratadas oportunamente. No momento desejamos considerar apenas a propagação no sentido z > O para uma única fonte localizada em um meio homogêneo e isotrópico (naturalmente, poderíamos considerar apenas a propagação no sentido negativo, mas as conclusões seriam idênticas). Assim sendo, temos: (471) E-Ene? (472) H=Hme? Estas equações descrevem a distribuição espacial dos campos em uma onda plana uniforme se propagando no sentido z>0, sendo que Eme Hmsão os valores máximos desses campos. Já que se trata de uma análise fasorial, os resultados (4.71) e (4.72) descrevem os fasores de campo. A dependência temporal dos campos, como se sabe, é do tipo monocromática, ou seja, com uma frequência única, sendo esta definida pela fonte. Substituindo (4.71) e (4.72) nas equações de Maxwell, podemos obter importantes relações entre os campos da onda plana. Por exemplo, substituindo na equação da Lei de Ampere dada em (4.27), teremos: (473) vAime 2 )=(0+ joe) Eme? Aplicando a propriedade fasorial (C.10) e considerando que Hm é constante, o termo do lado direito de (4.73) pode ser escrito na forma: (474) vle)cAm = e Bm 2) Levando isso em (4.73), obtemos o importante resultado: 198 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos (4.75) Hmx2Z= que mostra que o vetor de campo elétrico é perpendicular ao campo magnético e à direção de propagação da onda. Façamos agora o mesmo com a Lei de Faraday dada em (4.32): (476) Vamo 2) ex 2h = jonAme que nos leva a seguinte relação: (477) Emx2= tm que nos mostra que o campo magnético é perpendicular ao campo elétrico e à direção de propagação. A Figura 4.4 mostra um esquema possível no qual os campos satisfazem as exigências geométricas implícitas nas equações (4.75) e (4.77), ou seja, o campo elétrico sempre na direção x e o campo magnético sempre na direção y. O Vetor K nesta figura é denominado de vetor de onda, sendo definido pela expressão: (4.78) K=y2 Assim, concluímos que em uma onda plana, os vetores de campo são perpendiculares entre si e situam-se no plano transversal à direção de propagação da onda. Essas ondas são chamadas de ondas transversais eletromagnéticas e recebem a sigla TEM. Uma outra importante conclusão a respeito das equações (4.75) e (4.77) é que elas levam a uma relação de proporcionalidade entre as intensidades dos campos da onda eletromagnética independente da posição no espaço. As relações entre as intensidades dos campos obtidas a partir dessas equações podem ser escritas na forma: (479) Em 12EHm Y (4.80) Hm 199 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Ondas em meios não dissipativos Um material é não dissipativo se não absorve energia da onda eletromagnética. Podemos adiantar que todos os materiais absorvem energia eletromagnética em algum nível, pelo menos em algumas faixas de frequência. A análise espectral da absorção de energia e outras propriedades dependentes da frequência será objeto de estudo em outros capítulos. Por ora queremos estabelecer as características de propagação de ondas eletromagnéticas quando o material não absorve quantidade significativa de energia a partir da interação de suas partículas com os campos. Nesta condição podemos dizer de maneira bastante geral que o meio é não condutor, ou seja, que sua condutividade é nula ou desprezível (neste caso estamos nos referindo não somente a condutividade para campos estáticos, mas sim a condutividade total para campos variáveis no tempo). Portanto, para os objetivos desta análise, todo material não condutor constitui um meio não dissipativo. Para um material em que o = 0, a constante propagação dada em (4.47) assume o valor: (4.94) y= jovyue e, portanto, a constante de atenuação é nula. A constante de fase, por sua vez, é dada por: (4.95) p= ou = oyHrEr Juo8o = QNyHo£o A constante característica do meio n=.u,e, é denominada de índice de refração do material. Conforme dito na seção 3.1, a constante universal 1 : . . . x c=(1980) kh = 3x108 mgé denominada de velocidade da luz no vácuo. Então, (4.95) pode ser escrita na forma alternativa: n 4.96 =—qQ (4.96) B c Em um meio não dissipativo, os campos da onda eletromagnética plana são escritos na forma simples: (4.97) &-eocos(wt-pz)x 202 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos (4.98) h=ho cos(ot- pz)Y Observe que escrevemos os campos com mesmo ângulo de fase inicial nulo. Isso é possível porque a impedância do meio é real e, portanto, os campos estão em fase. Assim sendo, não há restrição alguma em considerar ambos os ângulos nulos. A Figura 4.5 mostra uma representação esquemática dos campos distribuídos em uma onda eletromagnética plana em um meio não dissipativo. Cada posição no eixo z define um plano que contém os vetores de campo elétrico e magnético. Em cada plano, as intensidades e fases desses campos são uniformes e os vetores têm sempre a mesma direção e sentido. Cada um desses planos é denominado de frente de onda. Cada frente de onda é caracterizada por uma fase constante. Nas equações (4.97) e (4.98) vemos que as fases dos campos dependem do tempo e da coordenada de posição e, por isso, em cada intervalo infinitesimal dt a frente de onda se desloca uma distância infinitesimal dz de modo que a variação total de fase dos campos seja nula. Assim, temos: (4.99) — d(wt- Bz)= odt- pdz = 0 Chamamos de velocidade de fase da onda o quociente entre dz e ct. A Figura 4.6 mostra a distribuição de campo elétrico na onda eletromagnética em vários instantes de tempo. Podemos dizer que a onda está se deslocando na direção e sentido z>0 com a velocidade de fase. De acordo com a equação anterior, a velocidade de fase de uma onda plana em um meio não dissipativo é dada por: (4100) v--2.. 1 cc dt B nc n Onde o último termo foi obtido de (4.95). Como o índice de refração é 1 no vácuo e maior do que esse valor para qualquer meio material, concluímos que a velocidade de deslocamento da onda eletromagnética é no máximo igual a 'c' se o meio for o vácuo, e será sempre menor para qualquer outro meio. Um ciclo completo dos campos monocromáticos ocorre em um intervalo de tempo T, chamado de período da onda, tal que a variação de fase correspondente seja 217, ou seja: 203 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Figura 4.5 — Representação dos campos da onda plana distribuídos em uma linha paralela à direção de propagação. Somente os campos máximos foram indicados. (trZ1) (to;Z2) (t3,23) z1292 Frente de onda fase=2rrad O ot-Bz=27 Figura 4.6 — Deslocamento da onda na direção de propagação. Uma frente de onda se desloca assumindo diferentes posições em diferentes instantes de tempo. A fase na frente de onda, contudo, não varia. 204 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos (a) (b) Figura 4.7 — (a) Representação esquemática da irradiação de uma fonte isotrópica através de uma superfície semi-esférica. (b) Modelo de onda plana transversal aplicado a uma pequena área da frente de onda. Definindo a direção de propagação perpendicular ao plano como sendo a do eixo z, podemos escrever as expressões dos campos para r=r,+z na forma: (Ex.5) 8=7,74x10? cos(2nx10ºt- 2,092) x (Vim) (Ex.6) h=2,06x10* cos(2nx108t-2,092)y (Alm) onde z é a distância perpendicular medida a partir do plano r = ry e as direções x e y são paralelas a esse plano (Figura 4.7). Ondas em meios dissipativos Um material dissipativo absorve energia da onda na medida em que ela se propaga. Em qualquer frente de onda considerada, o fluxo de potência transportada pela onda, dada pelo vetor de Poynting, diminui na medida em essa frente de onda se afasta da fonte. Iniciaremos obtendo expressões para a 207 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos impedância característica e para a constante de propagação no meio. A partir de (4.47), temos: (4.106) 7? = jouo — w2ue =a? p2 +j2ap Podemos separar esta expressão em duas equações simultâneas para o e p: p2 -q2= w2pe (4.107) 2aB = quo Cuja solução nos leva aos valores da constante de atenuação e da constante de fase: (4.108) a=, A Vo? + we? — qe 2 22 (4.109) B=oue rei A primeira observação a fazer é que a constante de atenuação é não nula, ou seja, os campos elétrico e magnético da onda serão atenuados pelo termo exponencial que aparece nas equações (4.92) e (4.93). Em segundo lugar, a constante de atenuação depende da frequência, ou seja, ondas de diferentes frequências sofrem atenuações diferentes em um mesmo material dissipativo. Finalmente, observamos que a constante de fase apresenta uma dependência bem mais complexa com a frequência do que no caso do meio não dissipativo. Como vimos na seção anterior, a velocidade de fase em um meio não dissipativo é uma constante característica do material e independente da frequência. Isto ocorre porque f é diretamente proporcional a q. Em um meio dissipativo, por outro lado, B não é proporcional a q e a velocidade de fase (dada em 2.100) depende da frequência da onda, isto é, ondas de diferentes frequências se propagam com velocidades diferentes. A dependência de a com w e a dependência anômala de p com «w causam um importante efeito de distorção espectral em sinais eletromagnéticos compostos de muitas frequências. Isto será estudado mais tarde neste capítulo. As equações (4.108) e (4.109) são expressões muito complexas para usar em todas as situações, principalmente quando levamos em conta a variação das 208 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos propriedades o, u e e com a frequência. Em algumas situações de interesse prático podemos obter expressões aproximadas para a e B. Por exemplo, se S << we, a constante de propagação pode ser aproximada por: 1 =j Pê SSH (4110) y= jo ie) =iovfas (1 ie Se sjoçhr de modo que as constantes de atenuação e fase podem ser aproximadas por: -s|u 4111 =º Jh ( Do a 2VE (4112) p=o/ue Neste caso, a não depende da frequência e B é proporcional a w. Esta situação ocorre principalmente em condutores pobres (água do mar por exemplo) na faixa de microondas e frequências superiores. Por outro lado, se c>>we, a aproximação possível para y será: (4113) y=/jouo= a] o e as constantes de atenuação e fase podem, então, ser aproximadas por: (4114) az CE 2 WuO 2 Esta situação é típica de metais em praticamente toda a faixa de frequências de (4115) po interesse prático, incluindo luz visível. A velocidade de fase de uma onda eletromagnética em um meio dissipativo, conforme já explicado acima, depende da frequência da onda. De acordo com (4.100) e (4.109), a expressão geral da velocidade de fase é: C (4.116) A V62 + 02e2 4 mE 209 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos (4128) 5=2 [E sYu e para o >> ws, usando (4.114), temos: (4.129) 5= [20 mo As Tabelas 43 e 44 a seguir resumem as equações que definem as características de propagação de ondas planas em meios ilimitados e mostra a dependência de alguns parâmetros com a frequência. e(zit)= e PÉ cos [ant | 0.6 04 0.2 -0.2 -0.6 -0.8 0 0.5 1 15 2 25 3 % Figura 4.8 — Distribuição do campo elétrico em uma onda que penetra em um meio dissipativo em quatro instantes de tempo. A origem z=0 corresponde à superfície de entrada no meio. A amplitude do campo nesta posição é unitária. 5 é a profundidade de penetração. Exemplo 4.2 — Vamos calcular os parâmetros de propagação para uma onda eletromagnética na água salgada em três frequências: 1KHz, 1MHz e 100MHz e comparar com os valores correspondentes para o vácuo. Consideraremos o=1S/m, e =81 eu, =1, independentemente da frequência. O cálculo de 212 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos cada parâmetro é uma aplicação direta das fórmulas desenvolvidas nas duas últimas seções. A Tabela 4.5 mostra os resultados obtidos. As principais diferenças que se observa são: 1) No vácuo, a constante de atenuação é nula em qualquer fregiência. Na água salgada, « é não nula e aumenta com a frequência. 2) A velocidade de fase no vácuo é independente da frequência. Na água salgada a velocidade de fase é muito menor que no vácuo, mas aumenta com a freguência. 3) A impedância do vácuo é real e independente da fregiiência. A impedância da água é complexa, muito baixa em relação ao vácuo mas aumenta com a fregúência. 4) O comprimento de onda na água é bem menor que no vácuo para as fregiúências analisadas. 5) No vácuo, a onda percorre qualquer distância sem atenuação. Na água, a profundidade de penetração é finita e diminui com o aumento da fregiiência. A profundidade 5 é a distância percorrida pela onda até a posição onde sua amplitude é 1% do valor na superfície onde supostamente foi definida a origem de posição. Energia Transportada pela Onda Eletromagnética Vimos no Capítulo 3 que a energia fornecida pelas fontes na criação de distribuições de carga, correntes e campos associados é armazenada no espaço com densidade dependente do quadrado da amplitude dos campos. Por outro lado, no Apêndice 4.2 vemos que a energia é transportada em um sistema eletromagnético como um fluxo de potência com uma densidade superficial dada pelo vetor de Poynting. Em uma onda eletromagnética, o fluxo de potência ocorre na direção e sentido de propagação da onda. Podemos dizer então que a intensidade da onda, ou seja, a potência transportada por unidade de área na frente de onda, é dada por: (4.130) s=exh 213 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Além disso, o teorema de Poynting estabelece uma relação entre a taxa de variação da densidade de energia armazenada w=we+Wm, a densidade de potência dissipada pgiss e O divergente do vetor de Poynting que pode ser escrita na forma (Figura 4.9): - ow (4131) V:5=-Paiss onde: (4.132) (4.134) Poiss=]:8=cf Nestas três últimas equações, os termos após a primeira igualdade são as expressões gerais e os termos após a segunda igualdade são as expressões válidas para materiais lineares. Contudo, as equações (4.130) a (4.134) são relações instantâneas e frequentemente estamos mais interessados nos valores médios da potência transportada, dissipada e armazenada. Isso ocorre porque, em altas frequências, a medição de valores instantâneos de energia ou potência é difícil e de pouco valor prático, já que os efeitos da absorção de energia eletromagnética pelos materiais (como aumento da temperatura, aceleração de reações químicas, etc.) são processos muito mais lentos e que respondem ao valor médio da potência absorvida. O valor médio do vetor de Poynting é calculado a seguir. Como os campos & e h são periódicos, podemos calcular os valores médios no intervalo de tempo correspondente a um período T. Usando as equações (4.92) e (4.93) para os campos da onda plana, obtemos o vetor de Poynting médio (s) pela expressão: To. T (4135) (s)- T fêxhat= eshoe 22 | cos(at - Bz+ Oeo)cos(ot- Bz + Ono) dt 0 0 214 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Constante de atenuação Constante de fase B= ou o 1 0ê Velocidade de fase B Vursrytoto . A= 21 A= < Comprimento de onda B nf Tabela 4.4 — dependência das características de propagação com a frequência geral << we S >> wE Constante de - |9u 2, e? -S|Ju = |[SHO atenuação a= 2 o“ +wfe” —- we a=8 fe az 2 Constante de fase p=o He — Jogo J p= (QUO 2 vs Cc 20 . = ve |O Velocidade de fase n uno = JH = [OM Impedância Ro Ro = característica ou 20 Profundidade de 1 x 5=— 8z 2. sz 2 penetração a cu ouo 217 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Finalmente devemos obter a potência média dissipada por unidade de volume: T (4.141) (paiss)= 1 joe? at-1oeZe dz To 2 O teorema de conservação de energia expresso em (4.131) evidentemente não se aplica aos valores médios da energia e potências calculadas acima. A fim de obter uma descrição equivalente ao teorema de Poynting válida para os valores médios, devemos fazer um desenvolvimento semelhante ao que foi feito no Apêndice 4.2 para o teorema de Poynting, mas agora usando as equações fasoriais de Maxwell. Iniciamos com a lei de faraday e com o conjugado complexo da equação da lei de Ampere: (4.142) vxE--jouh (4.143) vxH'=(0- jos)E* Agora, multiplicamos escalarmente (4.142) por He (4.143) por — É, obtendo: E (4.144) (VxE).Hº = jon Ah! = “ou HP (4.145) — fr x pº) = (6 - joe) E*.É = (o- jo) EP onde [H=ho e“ e [E|- e, e, Somamos (4.144) e (4.145) para obter: (4146) [oxE)nt-uxHºLE=-o Ef sos Ef -jou FP Usando agora a identidade vetorial v-([x3)=[Vx7).5-(Vx5)-, podemos reescrever esta equação na forma: (4147) v.E- pº)- -ofgf Balla AP - Te) Multiplicando ambos os termos por > e definindo o vetor de Poynting complexo pela expressão: (4.148) 5-SEH' 218 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Tabela 4.5 — Comparação entre as características de propagação no vácuo e na água salgada s = 1S/m, « =81 Cu =1. 1KHz 1MHz 100MHz Propriedade vácuo água vácuo água vácuo água a (Np/m) 0 0,0628 0 1,98 0 15,97 B (rad/m) 2,096x10º 0,0628 | 0,021 1,99 2,096 24,71 v (m/s) 3x10 txio 3x10 3,16x10º 3x10 2,54x10 a(m) 3x10 100 300 3,16 3 0,254 8 (m) o 15,9 o 0,50 o 0,063 Br (Mm) o 7383 o 2,32 o 0,288 Ro(O) 376,8 0,0628 | 376,8 1,99 376,8 22,53 X(Q) 0 0,0628 0 1,98 0 14,56 IZol (2) 376,8 0,0889 | 376,8 2,81 376,8 26,83 4 (rad) 0,785 0,783 0,574 0() 45 44,87 32,88 Obtemos a equação equivalente do teorema de Poynting na forma fasorial envolvendo os valores médios da energia e das potências: (4.149) V-5= (pass) 120 ((wm)- (We) ) Esta equação é equivalente a (4.131). Contudo, existem conceitos novos em (4.149), os quais não foram ainda devidamente explorados. O vetor de Poynting complexo, por exemplo, é uma quantidade complexa, ou seja, tem parte real e parte imaginária. Em (4.149) podemos, então, substituir S- Sa +jS,. De acordo com (4.149), as partes real (Sa) e imaginária (S,) do vetor de Poynting complexo estão associadas aos termos do lado direito por meio das equações: (4.150) V-Sa=-(Pgiss) v.S,=-20((wm)-(we)) Vemos então que Sa está associado a dissipação de potência no espaço. Este (4.151) termo, então, representa a densidade de fluxo de potência ativa transportada pela onda. A equação (4.150) nos mostra que se o meio é dissipativo, a onda perde 219 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Densidade média de 2n-20z i =—0eçe potência dissipada (Paiss) º Vetor de Poynting a — S=-ExH' =Sa+jS Complexo 2 aHI%r Teorema de Poynting v.S= —(paiss)-) 20 ((wm)- (we) ) fasorial Densidade de Potência 1.227 ativa Pa = (Paiss) = 2908 Pr =Pre +Prm Densidade de Potência Pre =-20 (we) reativa Prm =20 (wm) Densidade de Potência p=Pa+ipr total o . V:S=ps-p Princípio de conservação v.&- de energia eletromagnética nao Psa —Pa V-Sr =Psr Pr Exemplo 4.3 — A amplitude do campo elétrico na superfície plana de um volume condutor semi-infinito foi medida como sendo 1 V/m e sua frequência era 30 MHz. Vamos calcular a potência total ativa e reativa absorvida pelo material por unidade de área da superfície plana. Consideraremos que o meio tem os seguintes valores das constantes eletromagnéticas: o=1x10” S/m, s=1 e t=1. Uma vez que o >> ws podemos aplicar a aproximação para bons condutores: (Ex7) az E ma 414 No/m (Ex8) |Zol= - = 487x1072Q 0" (4125) 6 A amplitude do campo magnético na superfície é: - Lo «205 A/m (Ex.9) Zol ho 222 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos A potência ativa por unidade de área é dada pela integral da densidade de ani 1 - : nus 4 potência pa = ( Piss) = 20% e-2“Z em um volume no qual a área da superfície é unitária e o comprimento é infinito na direção z. o elemento de volume neste caso é dv = dz. temos então: PR q C1 2 pu 1062 2 (Ex.10) = Ilpaiss) dz= [5oege “2 dz=-2 = 726 W/m im" q 92 4 à 2 De modo análogo vamos calcular potência reativa por unidade de área pela integral da densidade de potência pp =20 ((wm)-(we)) no volume de área unitária. (Ex.11) É. 20] (w )dz- 2of(m )dz= 2o[ Lugo 202 dz- 20[LeeZo-202 dz im 9” o 01º 01º = ao (hô 66 )m 728W/m? OL Evidentemente, não é por coincidência que as potências ativa e reativa no meio sejam praticamente iguais. Acontece que o fluxo de potência para o interior do volume condutor tem partes real e imaginária praticamente iguais, em virtude do ângulo polar da impedância característica do meio ser aproximadamente 45º. Poderíamos ter obtido os mesmos resultados simplesmente calculando as componentes real e imaginária do vetor de Poynting complexo na superfície. De acordo com (4.156) e (4.157), obteríamos: (Ex. 12) Salz= 0)= Leohocost 2s725W/m? 2 (Ex.13) 5,(2-0)- Soho senb 2=725W/m? 2 Os valores não coincidem exatamente com os calculados anteriormente em virtude das aproximações no cálculo de h, e à. Estes resultados ilustram muito bem o princípio de conservação de energia expresso no teorema de Poynting. A potência ativa dissipada no volume é exatamente a mesma potência que está 223 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos fluindo para dentro do volume através de sua superfície. O mesmo acontece com a potência reativa. Exemplo 4.4 — A Figura 4.10 mostra uma fonte submersa no mar a uma profundidade R que está irradiando isotropicamente com potência ativa Psa na frequência fo. Vamos calcular a intensidade do sinal na superfície. Neste caso, a frente de onda não é plana, e sim esférica. A potência gerada se espalha através de uma superfície esférica centrada na fonte com densidade uniforme. Se o meio fosse não dissipativo, o vetor de Poynting teria apenas parte real e seu módulo seria dado por: 2 (Ex.14) [5a| = ss Então, desconsiderando inicialmente a dissipação de potência na água, podemos utilizar (4.156) com a. = 0 para calcular a intensidade do campo elétrico gerado: 2 P. IE ota o o, 1 [E 2|Z| 4mnr2 ry2ncosó Ou seja, devido ao espalhamento da energia, o campo elétrico tende a diminuir (Ex.15) |5 com o inverso da distância até a fonte. Contudo, como a onda se propaga em um meio condutor, os campos sofrem uma atenuação adicional devido à dissipação de potência. A densidade de potência dissipada é dada por (4.141). Assim, temos: Zar 1 . aiZz, e. (Ex. 16) (paiss)= a9%e de = a fi r2 A intensidade do sinal irradiado na superfície se relaciona com a potência gerada pela fonte Psa e com a potência dissipada no volume esférico correspondente à profundidade R, através do teorema de Poynting. Em virtude do teorema de Gauss, o fluxo de potência ativa para fora da superfície esférica de raio R centrada na fonte pode ser calculado por: (Ex.17) HSa-has=[ijv-Sadv s V 224 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos propagação, chamados de frentes de onda. Mas, a direção dos vetores de campo na frente de onda não é única e, assim, existem algumas possibilidades de polarização diferentes, conforme mostra a Figura 4.11. A polarização de uma onda eletromagnética é especificada pela direção de seu vetor de campo elétrico. Quando os campos estão orientados todo o tempo em uma única direção, chamamos de polarização linear. Em virtude das referências usuais com as direções vertical e horizontal em sistemas de transmissão por ondas de rádio, é muito comum encontrarmos as especificações de onda com polarização vertical, quando o campo elétrico está sempre orientado na direção vertical ou, onda com polarização horizontal, se o campo elétrico está orientado sempre na direção horizontal. Ambos os casos referem-se à polarização linear. Quando os vetores de campo mudam ciclicamente de direção na frente de onda, temos o caso geral de polarização elíptica. Um caso particular muito importante da polarização elíptica é a polarização circular, no qual o vetor de campo elétrico tem sempre o mesmo módulo, mas sua direção gira com velocidade angular igual à frequência angular da onda e com sentido horário ou anti-horário no plano da frente de onda. Um caso geral de polarização linear é descrito quando duas ondas de mesma frequência e mesma fase se superpõem em quadratura, ou seja, seus vetores de campo elétrico são perpendiculares entre si. Sejam então, as duas ondas se propagando na direção z, descritas por seus vetores de campo elétrico na forma: (4.164) &x=exocos(wt- Bz)x (4.165) 8y = eyo Cos(at- Bz)y A onda resultante é então descrita por: (4.166) €=(ex X+eyo Y)cos(ot- Bz) O vetor campo elétrico está orientado sempre na direção que faz um ângulo 6 com o eixo x, dado por: 227 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Polarização linear Polarização elíptica Figura 4.11 — Tipos de polarização da onda eletromagnética. (4.167) O0=arc doe] exo Se as ondas que se superpõem em quadratura estiverem defasadas, o vetor resultante não terá uma direção única e a polarização não será mais linear. No caso geral a polarização será elíptica. Podemos descrever a trajetória do vetor campo elétrico pelo lugar geométrico da sua extremidade em relação à origem em um sistema de coordenadas no plano da frente de onda. Considerando que o campo na direção y está adiantado ô radianos em relação ao campo na direção x, temos: (4.168) &y=eyocos(wt-Pz+5)y Expandindo a função monocromática usando uma identidade trigonométrica , teremos: 228 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos e (4.169) 5 = cos(wt — Bz)cosô — sen(wt — Bz) send yo Podemos escrever cos(wt-Bz) e sen(wt-Bz) como funções do campo na direção x: cos(ot - Bz) = Ex exo (4.170) 5 sen(ot- Bz)= |1- e exo Substituindo essas relações em (4.169) e manipulando algebricamente a fim de eliminar o radical que aparece em (4.170), obtemos: (4171) aei+bei-cesey=1 Onde os coeficientes a, b e c são dados por: 1 ao e sen?5 (4172) b= 5 eso sen?3 2 coso c- exo Eyo sen25 A equação (4.171) é uma representação geral de uma elipse no plano dos vetores = = e 1 1 1 ortogonais é, e &y . No caso específico em que ô = +5 temos: a= = b- = exo eyo e c=0. Nesse caso, a equação (4.171) pode ser escrita na seguinte forma: 2 e2 (4.173) DL 1 exo “yo Que é uma elipse com seus eixos coincidindo com as direções x e y. Se exo > 8yo» O eixo maior da elipse será 2exoe estará orientado na direção x, enquanto o eixo menor será 2eyo e estará orientado na direção y. Se exo = eyo; os dois eixos serão iguais e teremos o caso particular da polarização circular. O sinal do ângulo de defasagem determina o sentido de rotação do vetor campo 229 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Contudo, para uma onda linearmente polarizada, temos eê = eão + ejo, onde é, é a amplitude do campo resultante. Levando isso em (Ex.24), obtemos: (Ex.26) (5)= Asfor = E o o Essa diferença surge do fato do campo elétrico resultante na onda circularmente polarizada não variar em módulo, mas apenas em direção e sentido. Com isso a potência instantânea irradiada é constante. No caso de polarização linear, o campo elétrico resultante tem seu módulo variando harmonicamente, e por isso, o valor médio da potência irradiada tem o fator % que corresponde ao valor médio de cos? (wt) em um período da onda. Exemplo 4.6 — Uma onda linearmente polarizada penetra em um meio dissipativo anisotrópico no qual a constante de atenuação, a constante de fase ou ambas tem valores diferentes dependendo da direção do campo elétrico. Vamos analisar o efeito da anisotropia na polarização da onda. Consideremos inicialmente dois valores da constante de atenuação, ay e a y para os campos nas direções x e y, respectivamente. Cada componente é atenuada de uma maneira diferente. Se a amplitude da onda incidente é e, e o seu plano de polarização forma um ângulo 9o com a direção x, temos: (Ex.27) |êx|= ep cos(8,) e? (Ex.28) |ey|= eo sen(9o ) e“? Assim, após um deslocamento z nesse meio, o plano de polarização terá rotacionado para uma nova posição dada por: (Ex.29) 0= seu =arctg |t9(96) elmo] X Assim, se ay > a y:0 plano de polarização gira para a posição do plano yz. Por outro lado, se ay <a yo plano de polarização gira para a posição do plano xz. 232 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Com isso, é possível obter uma certa polarização conhecida para uma onda cuja polarização não seja conhecida, a princípio. Além disso, como a análise se aplica também a ondas circularmente polarizadas, concluímos que é possível converter a polarização de circular para linear se a distância z percorrida é suficiente para atenuar completamente uma das componentes. Consideremos agora o efeito na polarização se a anisotropia afeta a constante de fase. Chamando as constantes de fase de By e By nas direções x e y, respectivamente, as componentes da onda podem ser escritas na forma: (Ex.30) &y-exo Cos(wt-Byz)X (Ex.31) 8, =eoy cosfot- pyz+(By-By)z]7 vemos que a componente y do campo elétrico sofre um defasamento proporcional ao deslocamento da onda, dado por: 5= ( x—By Jz. Como consequência, a onda linearmente polarizada é convertida em elipticamente polarizada. Reflexão e Transmissão em Interfaces Até aqui utilizamos o conceito de meio ilimitado e homogêneo para estudar a propagação de ondas eletromagnéticas planas. Contudo, essa situação é irreal, pois qualquer meio é necessariamente limitado em extensão ou apresenta, dentro de algum volume suficientemente grande, variações das propriedades condutividade, permissividade e permeabilidade em uma ou mais direções. Nesta seção, vamos deixar a idealização de meio ilimitado e homogêneo para estudar os efeitos da variação abrupta da impedância característica em uma certa região do espaço. Devido à variação abrupta, podemos caracterizar com precisão a existência de uma interface entre dois materiais com propriedades eletromagnéticas distintas. A fim de simplificar a análise matemática, consideraremos somente interfaces planas. Consideremos o esquema mostrado na Figura 4.14. Uma onda eletromagnética gerada no meio 1 propaga-se até a interface com o meio 2. Ao incidir na interface, dois processos ocorrem: uma parte da onda incidente retorna ao meio 1 e outra parte se transmite para o meio 2. Surge então uma onda refletida e uma onda transmitida. É nosso objetivo nesta 233 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos seção calcular as intensidades e direções de propagação dessas ondas e relacionar isso com as características da onda incidente. meio 1 (Gi; Ej Hi) meio2 (GpEt, Hr) Onda refletida Onda transmitida Onda incidente Figura 4.14 — A incidência de uma onda eletromagnética em uma interface entre dois meios com propriedades diferentes gera uma onda refletida e uma onda transmitida. Definimos o plano de incidência como sendo o plano que contém o vetor de onda incidente e o vetor normal á interface. Como mostram as Figuras 4.15 e 4.16, existem duas situações especiais de polarização da onda incidente em relação ao plano de incidência. Chamamos de polarização paralela, se o campo elétrico incidente está contido no plano de incidência e polarização perpendicular se o campo elétrico é perpendicular ao plano de incidência. Qualquer outra polarização da onda incidente pode ser descrita por uma combinação adequada de uma onda polarizada paralelamente com outra onda polarizada perpendicularmente. Como 234 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos são medidos em relação à direção normal à interface. Os campos são descritos por equações semelhantes a (4.71) e (4.72), porém como as direções de propagação são diferentes para cada onda mas a referência de posição deve ser a mesma, é adequado usar uma descrição mais geral através do vetor de onda. Assim , temos: (4175) E -Ege fi” (4176) Hi=Hge Ki (4177) Er-EgeKrT (4178) H=Açekrf (4179) Er -Eye kt? (4.180) Hi-Hoe Contudo, as condições de contorno especificadas em (4.174) devem ser válidas em qualquer ponto da interface e em todos os instantes de tempo. Por exemplo, se o vetor de posição para um ponto na interface sofrer um deslocamento paralelo à interface, a equação (4.175) muda da seguinte maneira: (4181) Efrar)-Ege Kit E (r) e Kia e assim também os outros campos se transformam. Para que as equações (4.174) continuem válidas para essa nova posição, é necessário que o fator ek ar seja igual para todas as ondas, e isso implica em que as projeções dos três vetores de onda no plano da interface sejam iguais. Isto nos leva a seguinte relação: (4.182) Ki;sen6; =K, seno, =K; send; Como vimos anteriormente, o módulo do vetor de onda é igual à constante de propagação no meio. Assim, temos K; = K, e a primeira igualdade em (4.182) nos leva a concluir que: (4183) 0,-0; 237 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos ou seja, o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência. Esta conclusão é conhecida como lei de Snell para a reflexão. Podemos escrever a segunda igualdade na forma: (4.184) y seno; = y seno; Sendo y uma quantidade complexa, esta equação tem uma interpretação simples apenas se os materiais envolvidos forem não dissipativos. Neste caso, usando a equação (4.94) em (4.184), obtemos: (4.185) us; seno; = Ju; seno; ou, na forma mais comum, usando os índices de refração dos materiais envolvidos: (4.186) n;sen6; =n; senôO; Esta equação é denominada de lei de Snell para a refração. A refração é o processo de mudança de direção de propagação da onda quando ela passa de um meio para outro com propriedades diferentes. De acordo com esta equação, se ny >n; temos 0, < 0;, e a onda se transmite em uma direção mais próxima da normal à interface. Esta é a situação que ocorre na interface entre o ar (n=z1)ea água (n=9) se a onda incide a partir do ar. Se a onda incide a partir da água, por outro lado, temos a situação inversa e a onda se transmite numa direção mais afastada da normal. Se um dos meios envolvidos na interface é dissipativo (ou ambos), a equação (4.186) não é válida, mas (4.184) continua válida. Entretanto, a análise neste caso não é mais tão simples e será deixada para o final desta seção. Continuaremos considerando ambos os meios como dielétricos perfeitos. Podemos resolver agora as equações (4.174) para obter relações entre as amplitudes das ondas. Utilizando a impedância de cada meio, podemos substituir os campos magnéticos por expressões dependentes do campo elétrico em cada onda, ou seja: (4187) H-E/Z, H=E,/Z;, H = E(/2Z Assim, obtemos o seguinte sistema de equações com duas variáveis a determinar: 238 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Eoi + Eor = Eot (4.188) cos; cos6 (Eoi-Eor) Z “= Eg Z t i t cujas soluções para as amplitudes Es, e Eoy São: Z 9 -Z; 9 (4189) Eor = Eq AtCOS Um Ai cost Z, cos0; + Z; cosO; (4190) Eg- Traços ZeosOr Definem-se os coeficientes de reflexão e de transmissão da interface segunda as equações: (4.191) r=Eo/Eoi (4.192) t=Eo/EFo De acordo com as equações (4.189) e (4.190), na polarização perpendicular, esses coeficientes são dados por: * Z;cos6; - Zi cosO; 4193) r- ( pon Z; C0S0; + Z;Cos0; 22, cos0; 4194) ti=>"—"— > — ( ) 1 Z+Cos0; + Z;COs0; No caso de incidência normal, 6; = 0; = O, esses coeficientes se simplificam para: Z,(-2Z; 4.195) n=55 (4195) Z1+2; 22, 4196) ti=>5L (4196) tu Z1+2; Para interfaces envolvendo meios dielétricos perfeitos, os coeficientes de reflexão e de transmissão são números reais e independentes da frequência, desde que não ocorra reflexão total, o que será tratado no final desta seção. Note que o coeficiente de reflexão pode ser negativo, indicando uma diferença de fase de 7 radianos da onda refletida em relação à onda incidente. Note também que na polarização perpendicular vale a seguinte relação entre os coeficientes: (4197) n+t=ti 239 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos 1 [Dos o8 nt 1 03 n 0.6 n; a 04 1 0,6 0.2 F 4 1 1 ' 0 10 20 30 40 50 60 70 8o 90 9; (graus ) Figura 4.17 — Coeficiente de reflexão na incidência com polarização linear perpendicular em função do ângulo de incidência para diversos valores do quociente entre n; e ni;. 0.8 0,1 nt | ni 0.6F 0,3 o.2F 0,6 0,9 HI o 10 20 30 40 50 60 70 so 90 Oi(graus ) Figura 4.18 — Coeficiente de reflexão na incidência com polarização linear paralela em função do ângulo de incidência para diversos valores do quociente entre n; e n;. 242, ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos magnéticos das ondas incidente, refletida e transmitida são descritos pelos fasores: E;- Eye Pozx E,-rEgePx E -tEge Le Ps — E, - (Ex32) Hi=Ãe Ps o - Eai - A, =- Em eb y o Ay = iEoio az BZ y Cc Onde Z, é impedância do dielétrico e Z; do condutor. De modo análogo, Bo e Bo são as constantes de fase no dielétrico e no condutor, respectivamente. Consideramos que a onda incide pelo dielétrico. Note que incluímos um sinal negativo no campo magnético refletido para levar em conta o fato do vetor de Poynting refletido apontar no sentido -z. No lado de incidência, ocorre superposição dos campos das ondas incidente e refletida. Os campos resultantes são dados por: E-E ler Bzrebz) (Ex88) Eoilo-Pz ebz)y Zo O vetor de Poynting resultante associado a esses campos é, portanto: - —, 1E2 (Ex.34) Si; -SE xH' = 5 7 fe Br ebz foz. re -B2); Efetuando as multiplicações e simplificando a expressão, teremos: 2 — Ec. Ê Fo (Ex35) Sj= 1Soifam 2p(reiie re epa) 2 27 Substituindo r = |r| e? e usando a identidade seno = ae” -e ) obtemos: (Ex.36) 5-5 o Sala rj? »jdr|sen(2pz+ 5) 2 243 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Com isso, vemos que do lado de incidência, existe potência ativa e reativa alcançando a interface. Essas parcelas são obtidas de (Ex.36) fazendo z=0 nesta equação: “IP E2 (Ex38) Sj= Em mA Oi g-20z 5 Separando as partes real e imaginária da potência transmitida obtemos a potência ativa e a potência reativa transmitidas. Exatamente na interface, em z=0, temos: = alEZ = oi 5 at=3 El cos4 Z (Ex.39) é ati S,t= 2 E à senpã A relação entre os vetores de Poynting no lado do dielétrico e no lado condutor são obtidas pela aplicação do teorema de Poynting a um volume que tende a zero em torno da interface (ver Figura 3.31 - Apêndice 3.5). Uma vez que o volume tende a zero, as integrais de volume se anulam e o teorema de Poynting, no caso de incidência perpendicular, informa que o vetor de Poynting é contínuo na interface. Assim, comparando as expressões (Ex.37) com (Ex.39), obtemos as seguintes relações: 1 2 tu (Ex.40) —(d-|nº)--— cosy zo a e ÍI ——seny (Ex.41) zfisento)= = 244 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos A fim de visualizar mais facilmente o efeito das reflexões sucessivas na reflexão e transmissão efetivas da camada intermediária, vamos considerar um exemplo simples de uma placa dielétrica no ar. Uma vez que a incidência é perpendicular e os meios envolvidos são dielétricos com permeabilidade relativa unitária, as impedâncias são facilmente obtidas como Z; = Z3 = Zy = 37680 e Zp = Zo nº onde n é o índice de refração da placa. Os coeficientes de reflexão e transmissão em cada interface são quantidades reais que se relacionam da seguinte maneira: fo1=23=-h2 (Ex.48) Z toy=tog= ti =nto 2 A constante de propagação é puramente imaginária y= im. Com isso, a reflexão e transmissão efetivas na placa dependem da relação entre a sua espessura e o comprimento de onda nesse material. Existem duas condições extrema quando Prdj= 41%), é um múltiplo de 7 radianos. Substituindo eim = cos(mm) junto com (Ex.48) em (Ex.45), obtemos: ntécos(rm) = 1-2 + ntê cost) 1-rêcos(mm) (Ex.49) res=m2|1- º 1-1B cos(mm) Levando em conta a relação (Ex.42), temos: (Ex.50) ter=m ge 1-récos(mm) A condição MY) = mm ocorre nas fregiências múltiplas da fregúência fundamental: c Ex.51, fo=-— (Ex.51) fo 4nd Nas fregiências pares (2fo, 4fo, 6fo, ...), com m par em (Ex.50), resulta em reflexão nula. Nas frequências ímpares (fo, 3fo, 5fo, ...), com m ímpar em (Ex.50), resulta no coeficiente de reflexão máximo dado por: 247 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos 2n92 2 (Ex.52) — retmax= trio De modo semelhante, Substituindo eim = cos(rm ) junto com (Ex.48) em (Ex.47), obtemos: n tão cos(mm) (t- rêJcos(mm) (Ex.53) te > 2 DS 2 DDT 1-ripcos(mm) 1-ripcos(mm) onde usamos (Ex.42) para substituir n tão . Nas fregiências pares o coeficiente de transmissão é unitário. Nas fregiências ímpares o coeficiente de transmissão é mínimo, sendo dado por: 2 F2— 1 2 (Ex.54) tefmin= l+rio As ocorrências de mínimos e máximos na reflexão e transmissão na placa se justificam pela superposição em fase (máximos) e em oposição de fase (mínimos) das componentes de onda que se superpõem em cada face da placa. A Figura 4.20 mostra como os módulos dos coeficientes de reflexão e transmissão para uma placa de vidro com =, = 6 e espessura 10 cm variam com a fregiência da onda incidente. Neste caso, a fregiência fundamental é aproximadamente 306MHz. Reflexão nula e reflexão total Como mostra a Figura 4.18 existe um ângulo de incidência na polarização paralela para o qual o coeficiente de reflexão é nulo. Este ângulo é chamado de ângulo de Brewster. Quando uma onda plana incide sob o ângulo de Brewster em uma interface dielétrica, a componente paralelamente polarizada da onda não se reflete. Se a onda incidente possuir também uma componente perpendicularmente polarizada, esta componente sofrerá reflexão e a onda refletida será, então, linearmente polarizada na direção perpendicular ao plano de incidência. Este é um método possível para obter uma onda linearmente polarizada a partir de uma onda com polarização elíptica ou com polarização não conhecida. O ângulo de Brewster 248 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos é obtido algebricamente, resolvendo-se a equação rj = 0. Para meios dielétricos e não magnéticos, obtém-se a partir de (4.207) que o ângulo de Brewster é dado por: (4209) 06 = artan( De) hj 0.8 T T T T Ir 0.6 1 0.4 1 0.2r 1 o o 0.8f J 0.7F 1 0.6 1 1 1 1 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 f (Hz) Figura 4.20 — Espectro do coeficiente de reflexão e de transmissão para uma placa de vidro com espessura de 10 cm e constante dielétrica 6. Outro evento importante que pode ocorrer em uma interface dielétrica para a qual ny <n; é a reflexão total. De acordo com a lei de Snell para a refração, se n; <ni;, o ângulo de transmissão é maior que o ângulo de incidência. Então, neste caso, existe um ângulo de incidência menor que 90º para o qual o ângulo de refração é exatamente 90º. Esse ângulo é chamado de ângulo crítico para reflexão total e, de acordo com (4.186), é dado por: 249 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos independentemente da polarização. Por exemplo, se substituirmos em (4.203), obtemos: (4217) jZnsen?0;-1+2Z;cos6; : ie jZwsen2o,-1-Z;cos6; onde novamente usamos o sinal negativo do cos9,. O módulo de 1 é então dada por: A z2 sen2e, -1)+Z2 cos? 6; (4218) I)- [+ =1 A z2 sen2e, -1 + zê2 cos? 6; o que mostra que o módulo do campo refletido é igual ao campo incidente. Haverá entretanto uma diferença de fase entre as duas ondas. Interface condutora A análise de uma interface condutora é um pouco mais complicada. Consideremos uma interface entre um dielétrico e um condutor, como por exemplo, a superfície de uma placa metálica no ar. Se uma onda plana incide a partir do dielétrico na superfície do condutor, a lei de Snell para a refração, equação (4.184), nos permite escrever a seguinte expressão para o ângulo de transmissão: - =|, BB | Bo (4.219) sen6,-— — sen6; = + seno; "a ip) a Ea) onde usamos y,=jB) e yy-c++jB;. Vemos então que sen6;é um número complexo e, portanto, não existe uma interpretação geométrica para 0,. Contudo, como fizemos no caso da reflexão total, um valor complexo para senô, ou cosO, pode ser interpretado corretamente na composição do vetor de onda da onda transmitida. Para simplificar a álgebra, reescrevemos (4.219) na forma: seno, = u+ jw . Assim, temos também: (4.220) cos6 =+ 1-sen?e, =" 14 w? -u2-j2uw 252 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos E novamente, para tornar mais simples as expressões, reescrevemos cos6; = f + jg. Com estes valores, podemos obter o argumento Ki -F para um referencial com origem na interface, na forma: KrF=(c4 + jp (seno; x+cos 6, 2) = (04 + jB; Ju + jw x+(f + jg)z] =[(uo - wBy)+ (up; + wa )x+ (fa, — 9B;)+ (fp; + 90, )]z Podemos dizer então, que as constantes de atenuação e de fase são diferentes (4.221) nas direções perpendicular e paralela. As constantes efetivas nas duas direções são dadas por: (4222) Oxum -wB,=0 Oz = fa - gBy Bx = uB; + wa = B;seno; Bz =fBi+gar Os resultados para ay e Bx indicados em (4.222) são facilmente obtidos com a substituição de u e w a partir de (4.219). Assim, o campo elétrico da onda transmitida pode ser escrito na forma: (42239) E Eye MT Egg et eilx+Bz2) Vemos que a onda transmitida no condutor, no caso de incidência oblíqua, não é uma onda plana uniforme, pois o plano de fase constante Byx+B,z=ctey em geral não coincidirá com o plano de amplitude constante a,z=cte>. A direção efetiva de propagação da onda no condutor é perpendicular ao plano de fase constante e o ângulo efetivo de propagação pode ser calculado por: (4.224) det = ata x) Zz enquanto que a velocidade de fase efetiva é dada por: o VpZ+pê Obviamente, para 6;-0, temos uma situação particular na qual sen6,-0 e (4225) ve= cos8, = 1, de modo que K, = (a.+ + jB;)Z e a onda transmitida é uma onda plana t t tb uniforme se deslocando perpendicularmente à interface com velocidade v = ZA . 253 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Os coeficientes de reflexão e transmissão obtidos para a interface dielétrica ainda são aplicados no caso de interface condutora, desde que se use o valor correto da impedância característica do condutor e cos 6; dado por (4.220). Vejamos no caso de uma superfície metálica em uma frequência para o qual S>>we quais seriam as aproximações válidas para as expressões obtidas anteriormente. ae B; na condição o >> we, são dados por (4.114) e (4.115): (4.226) a =Br-, dos Usando isto em (4.219) e (4.220), obtemos: (4.227) send, = eos )) seno; t 2 (4.228) cos6 = ! (2) sen?e; O fator 4 nessas expressões tem o valor em função da frequência dado por: (42209) Bi, 2oto Bt S Bi Na condição o >> ws temos — <<1, de modo que podemos aproximar cos6, = 1. t Para os metais, esta aproximação é válida até mesmo para frequências tão altas quanto aquelas do início da região ultravioleta (= 10'SHz) do espectro eletromagnético. Os resultados principais para uma interface metálica são, então: (4230) aj=a By-Biseno PB,=B (4231) 0 = ara 2080 ser; =, 2080 seno; =0 o o o, o 20 (4232) ve" Zh = 9% Vuc Pr+Bisento y ÍD£o con2o, do o 254 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Onda estacionária Consideremos uma onda plana incidindo perpendicularmente em uma interface entre dois meios. Sabemos pela análise da seção anterior que o coeficiente de reflexão é, em geral, um numero complexo e, portanto, a onda refletida pode ter amplitude e fase diferente da onda incidente. Estas ondas se superpõem no meio de incidência e o resultado é uma onda que tem algumas características diferentes da onda original. Consideremos inicialmente o meio de incidência como sendo não dissipativo. Se a interface situa-se na origem do sistema de coordenadas e a onda incidente origina-se no lado direito da origem e caminha no sentido z < 0, as expressões dos campos elétricos incidente e refletido são: (4237) Ej-EgeZx (4.238) E, -rEge Bzx onde r é o coeficiente de reflexão na interface. Podemos expressá-lo na forma geral: (4239) r=felê O campo resultante é obtido como a soma dos campos incidente e refletido. Assim, temos: (4240) E= Ealeibz +reribz k Vejamos inicialmente dois casos limites: Caso1) Se o meio de incidência é um dielétrico perfeito fazendo interface com um condutor perfeito, o coeficiente de reflexão, de acordo com a seção anterior, vale —1. Nesse caso, o módulo do campo elétrico total no meio de incidência é dado por: (4.241) E- Eaileitz —eribz koes senpz ei e o campo no domínio do tempo é: (4242) e=2Eg sengz cosfot+ 74) Esta equação representa uma onda estacionária. Observe que a amplitude do campo depende da posição no espaço. Isto é mostrado na Figura 4.22. Existem 257 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos posições de amplitude máxima 2Eo; e posições de amplitude nula. Isto é completamente diferente do que ocorre em uma onda plana uniforme se propagando em um meio ilimitado, pois se o meio é não dissipativo, a amplitude do campo em toda parte é sempre a mesma. Além disso, vemos em (4.242) que o fator de fase Bz não aparece junto com wt na função monocromática. Em vista disso, o campo descrito nesta equação não constitui uma onda 'caminhante”. 2.5; T T T T T r=1 r=—1 Figura 4.22 — Distribuição de amplitudes do campo elétrico em uma onda estacionária formada pela superposição dos campos incidente e refletido com coeficientes de reflexão r= 1 e r=—1. Caso 2) Se ambos os meios são dielétricos, mas o meio de incidência tem impedância muito pequena comparada com o meio transmissor, podemos aproximar o coeficiente de reflexão por r = 1. Neste caso, temos: (4243) E-Egfeite vez LE, cospz e o campo no domínio do tempo é: (4.244) e=2EocosBz cosat Esta distribuição de campo também é mostrada na Figura 4.22. Também neste caso temos uma onda estacionária de amplitude 2Eo;. Observe contudo que as posições dos mínimos e máximos são diferentes nas duas ondas. 258 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Vamos analisar agora o caso geral, no qual o coeficiente de reflexão tem um valor qualquer. Podemos manipular algebricamente a equação (4.240) da seguinte forma: i(gz- 8 -HBz-3 iô, Ec Es o! o de ipz %] ci (4.245) ;5 =Eg eo h +rcos(pz- %)+ i(t-flsen(gz- 54) Multiplicando por eiºt e tomando a parte real, obtemos o campo no domínio do tempo: e = Eo; (1+ |) cos(pz- %) costat + 5%) - Ego (1- H) sen(Bz — 5%) sentot + 5) Substituindo (t+|r)=(t-|+2I| e usando a identidade -trigonométrica (4.246) cos(a+b) = cosa cosb+senasenb, podemos reescrever (4.246) na forma: (4247) e=Eo; (1-|]) cos(ot+ p2) + 2]HlEo;cos(pz - 34) cosfot+ 34) O primeiro termo nesta equação descreve uma onda que se propaga no sentido z<0 com amplitude Es; (1) enquanto o segundo termo é uma onda estacionária com amplitude 2|Eoi. A Figura 4.23 mostra a distribuição de amplitude do campo elétrico em uma onda estacionária com HI <1. O ângulo polar do coeficiente de reflexão determina a posição de máximos e mínimos na distribuição do campo. Os máximos ocorrem nas posições em que cos(Bzm — 4) = 1, ou seja, O primeiro máximo ocorre em: M > ) õ a, 24 -5.8 (4248) Zu=55> am e os demais ocorrem exatamente a cada intervalo Wo. O campo máximo é obtido de (4.246) nas posições de máximo, e valem: (4249) Emax = Eoi (1+|f) 259 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Das equações (4.241) e (4.243) temos o campo elétrico na direção x na onda estacionária. (Ex.61) E- EoifeBz - eb j2Egsenpz > r=-1 (Ex62) E- Esifez +e Pz k2es; cospz > r=1 Contudo, o campo magnético tem uma distribuição diferente. Uma vez que o produto vetorial do campo elétrico com o campo magnético deve estar dirigido na direção e sentido de propagação da onda, devemos ajustar o sinal da onda refletida de campo magnético para que isso aconteça. Portanto, segundo as equações (Ex.61) e (Ex.62), temos as seguintes expressões do campo magnético na direção y na onda estacionária: (Ex.63) H= Eoi(gbz re bz boi cospz > 1=-1 Zo Zo (Ex.64) H= Eoifobz “e Pz b2£oi senpz > r=1 Zo Zo A Figura 4.24 mostra como os campos e a potência reativa se distribuem na onda estacionária para r=—1. p [4] 0.5r P 1 rm 0 (a) os te 1 b) ? 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 14 18, 1.8 2 A Figura 4.24 — (a) Distribuição de potência reativa na onda estacionária. (b) distribuição de campo elétrico e campo magnético na onda estacionária. Coeficiente de reflexão r = —1. 262 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Espectro Eletromagnético Não existem limites para a frequência de um sinal eletromagnético. Ondas eletromagnéticas com frequência de alguns Hertz a mais de 10? Hertz podem ser geradas. Contudo, diferentes características de propagação e fenômenos de interação com a matéria determinam diferentes aplicações para os sinais eletromagnéticos, dependendo de sua frequência. A Tabela 4.7 mostra o espectro eletromagnético conhecido, dividido e classificado de acordo com o uso principal de cada intervalo de frequências. Até cerca de 300 GHz, é mais usual a especificação da onda eletromagnética pela sua frequência. A partir daí até o final da faixa de luz visível, é mais comum especificar o comprimento de onda. Do ultravioleta em diante é mais usual especificar o sinal eletromagnético pela energia de fóton. As ondas na faixa que se estende de alguns hertz até 1GHz são denominadas genericamente de ondas de radio, pois é especialmente nesta faixa que a maioria dos sistemas de comunicação de massa operam. Exemplos típicos desses serviços são o rádio comercial, a televisão e o radio amador. A absorção de energia pela matéria, nesta faixa de frequências, ocorre quase que exclusivamente pela condução de cargas livres. Acima de 1GHz e até 300GHz usa-se a designação geral de microondas. Aplicações especiais em comunicação via satélite e radar são comuns nesta faixa. A região de frequências mais baixas nesta faixa é utilizada atualmente para telefonia móvel. As moléculas polares absorvem energia na faixa de microondas especialmente através de ressonâncias com estados rotacionais. O forno de microondas opera em 2.45Ghz porque nesta frequência as moléculas de água absorvem eficientemente a energia da onda. Acima de 300GHz e até cerca de 400THz existe a faixa denominada de infravermelho, que costuma ser dividida em infravermelho próximo (comprimento de onda entre 0.78um a 3um no vácuo), infravermelho intermediário (3um a 6um) e infravermelho distante (6um a 15um). A radiação no espectro infravermelho pode ser absorvida na matéria gerando transições entre estados vibracionais moleculares. Qualquer corpo aquecido emite radiação no infravermelho através do 263 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos mesmo mecanismo de transições vibracionais. O corpo humano, por exemplo, emite radiação numa ampla faixa do infravermelho e com intensidade máxima em torno de 10um. A luz visível corresponde a um estreito intervalo de comprimentos de onda de 0.38um a 0.72um no vácuo. A radiação nesta faixa de frequências é geralmente produzida por alterações nos estados eletrônicos em átomos e moléculas. Moléculas de gases excitados por calor ou corrente elétrica e átomos em metais aquecidos a altas temperaturas são as fontes mais comuns de luz visível. As cores são o resultado da percepção humana da radiação no espectro visível captado pelo sistema visual. O espectro visível pode ser dividido nas seguintes cores: vermelho de 622 a 720 nm, laranja de 597 a 622 nm, amarelo de 577 a 597 nm, verde de 492 a 577 nm, azul de 455 a 492 nm e violeta de 380 a 455 nm. Abaixo do menor comprimento de onda da luz violeta, começa a faixa denominada de ultravioleta, caracterizada por energias de fótons de 3.3 eV a 124 ev. A radiação ultravioleta tem uma grande capacidade de ionizar átomos e moléculas. A radiação solar, que contém uma grande parcela de radiação ultravioleta, poderia ser letal à vida em nosso planeta, se não houvesse a camada protetora de ozônio na atmosfera, absorvendo intensamente a energia solar nessa faixa espectral. A radiação ultravioleta é produzida em transições eletrônicas nos átomos envolvendo grande variação de energia, por exemplo, quando um elétron fortemente ligado é excitado para níveis de energia maiores e depois retorna ao nível original ou quando ocorre recombinação entre íons e elétrons. Os raios X apresentam energias de fóton muito altas, desde 124 eV até cerca de 200 KeV e podem ser produzidos por bombardeamento de um alvo metálico por um feixe de elétrons energéticos (radiação de frenagem), como ocorre em tubos de raios X. Emissão de raios X também ocorre na recombinação de átomos ionizados envolvendo elétrons internos fortemente ligados ao núcleo. No topo do espectro estão os raios gama, os quais possuem energias de fóton extremas e são emitidos durante reações nucleares onde ocorre transições entre diferentes estados de energia das partículas constituintes do núcleo atômico. 264 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos o(z;t)= f(Bz-0,) 9, =ot, ——s» Z a(zst) = f(Bz—- 0,) —s 0,=ot, Z e(z,t)=f(Bz — 85) 9, — ot; =" Z Figura 4.25 — Representação do deslocamento de uma onda com forma arbitrária f(pz - ot) em três instantes de tempo. A função que descreve a onda é sempre a solução de uma equação diferencial que descreve a dinâmica do sistema físico no qual a onda é gerada e se propaga. Essa equação, por sua vez, deve ser obtida particularmente para cada sistema, segundo os princípios físicos característicos do sistema. Contudo, a forma geral da equação diferencial, chamada equação de onda, pode ser obtida a partir da solução geral proposta em (A.161) como segue. Definindo m,=Bz-ot e n>=Bz+at, as segundas derivadas no tempo e no espaço da função q(z,t) são dadas por (demonstração a cargo do leitor): 267 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos po lo df df (A164) S=Po +, — oz? any Tong op do df df (A165) SS =0|0,-5+Po— at” "an? an Assim, podemos combinar os resultados acima para obter: 2 2 2 2 n2 2 2 (nico Lie 1% , do Béoo , do Lia pº oz o“ dt oz” o à ôz” vô Esta é a forma básica da equação de onda unidimensional. Um caso particular de grande interesse é a onda monocromática ou onda harmônica: (A167) q(zt)-y, sen(Bz - ot) ou, (A 168) q(zt)=y, cos(Bz- ot) Segundo os métodos da análise de Fourier, é possível descrever uma onda periódica qualquer por uma série infinita de termos discretos de ondas harmônicas com frequências múltiplas de uma frequência fundamental w,. A expressão geral tem a forma: (A 169) q(zt= Elen cos(B,z - o,t)+ pa Sen(B,z- 09,8) onde w, =no,e B, = On -nDo Note que a velocidade de propagação pode ser V v n n diferente para cada componente, e se isso ocorre, as componentes sofrem deslocamentos relativos umas às outras. Isto, por sua vez, implica em que a forma da onda resultante pode se modificar com o passar do tempo. Consideremos o exemplo mostrado na Figura 4.26a. A onda quadrada tem a frequência fundamental o, = 1000 rag. Decompondo esta onda nas componentes de Fourier segundo o método mostrado no Apêndice 3.1, concluímos que os coeficientes q, são todos nulos e apenas os coeficientes q, com n ímpar são não nulos. Supondo v = t000mZe independente da frequência, 268 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos teremos B,=1 ade . Com isso, obtemos a expansão da onda quadrada em série de ondas harmônicas na forma: (at7o) dzt=“ 5 Isenhn(z-1000)] 7 nímpar N 2 4 6 8 10 12 Z(m) 4 Figura 4.26a - Onda quadrada de amplitude unitária, frequência angular 1000 rad/s e constante p unitária em t=0. Figura 4.26b — Quatro primeiras harmônicas ímpares da onda quadrada e a soma das harmônicas deta1s. 269 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos e, = E cos(ot- Bs) Js h, = 2 cos(at - Bs) Js Onde GC; e C> são constantes. Na onda cilíndrica uniforme o fluxo de potência (A 174) ocorre na direção radial (direção 5 = 4x2). Os campos são atenuados na medida em que a área da frente de onda se expande, mas a energia total transportada através dessa área é constante. A Onda esférica uniforme (Figura 4.27c) é uma onda que se propaga a partir de uma fonte pontual irradiando isotropicamente (mesma intensidade em todas as direções). Assim, a frente de onda é uma superfície esférica se propagando na direção radial. Nesse caso, se assumirmos que o campo elétrico está orientado na direção polar e o campo magnético na direção azimutal, podemos obter uma expressão da equação de onda, considerando apenas a parte radial do laplaciano em coordenadas esféricas (Apêndice 2.1): 10º (te,) 1 2, 0 Tostes 0 (ars) UM va 1 ml ra? tv? a? Para fontes harmônicas, as soluções dessas equações são dadas por: e= Ei cos(ot- Br) (A.176) h,= =Pcos(at- Br) Na onda esférica uniforme o fluxo de potência ocorre na direção radial (direção f = 8x 4). Os campos são atenuados na medida em que a área da frente de onda se expande, mas a energia total transportada através dessa área é constante. Esses três exemplos de onda eletromagnética uniforme (plana, cilíndrica e esférica) são ondas conceituais. Elas não existem de fato, mas, as ondas reais muitas vezes podem ser aproximadas por uma dessas formas idealizadas, principalmente em posições suficientemente distantes das fontes. Essas ondas 272 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos são denominadas de ondas transversais, pois os campos são perpendiculares à direção de propagação. Figura 4.27a — Representação da onda plana uniforme. A frente de onda é uma superfície plana. Figura 4.27b — Representação da onda cilíndrica uniforme. A frente de onda é uma superfície cilíndrica. 273 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos Figura 4.27c — Representação da onda esférica uniforme. A frente de onda é uma superfície esférica. Apêndice 4.2 Teorema de Poynting Energia dissipada - Energia de polarização - Energia de magnetização A energia necessária para estabelecer as distribuições de carga e corrente é exatamente a mesma energia necessária para criar os campos elétrico e magnético associados a essas fontes. No vácuo essa energia é simplesmente armazenada no espaço. Entretanto, em qualquer meio constituído de moléculas, a energia necessária para estabelecer os campos no espaço envolve alguns termos adicionais relacionados à interação dos campos com as partículas carregadas nessas moléculas. Podem-se distinguir três termos adicionais: 274