Baixe Trigonometria e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! Trigonometria 1. Segmentos Proporcionais 1.1. Teorema de Tales Se um feixe com três ou mais retas paralelas cruza duas transversais quaisquer, então a razão entre as medidas de dois segmentos obtidos em uma das transversais é igual à razão entre as medidas dos seg- mentos correspondentes da outra transver- sal. EF DE BC AB = Podemos demonstrar essa propriedade divi- dindo os segmentos AB e BC em partes iguais de valor x. xAB 3= e xBC 2= Traçando retas paralelas às retas r, s e t, que passam pelos pontos obtidos na divisão dos segmentos. Podemos perceber que os segmentos de- terminados na reta v também possuem me- didas iguais. yDE 3= e yEF 2= Neste caso: 2 3 2 3 == x x BC AB e 2 3 2 3 == y y EF DE Assim, EF DE BC AB = , ou seja, os segmentos AB e BC são proporcionais aos segmentos DE e EF . Exemplo 01: Determine o valor do segmen- to BC na figura a seguir, sabendo que as retas r, s e t são paralelas. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 2 Resolução: Para determinar o valor do segmento BC partiremos da definição do Teorema de Tales: 8 15 120 12015 6 1520 = = = = = x x x x EF DE BC AB Logo, o segmento BC vale 8 unidades. Exemplo 02: Determine o valor de x na figu- ra abaixo, sendo r // s // t. Resolução: Para determinar o valor de x partiremos da definição do Teorema de Ta- les, tomando o cuidado de tomar as informa- ções pertencentes à mesma reta: ( ) ( ) 6 366 8482842 1682314 16 23 14 8 = −=− −=+ −=+ − + = = x x xx xx x x NR QN NP MN Portanto, x é igual a 6. Exemplo 03: (Unesp) Um observador situa- do num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C tam- bém. Além disso, OA é paralelo a BC , mOA 25= , mBC 40= e mOB 30= , conforme a figura a seguir. Determine a distância, em metros, do obser- vador em O até o ponto P. Resolução: Para a resolução deste proble- ma vamos ajustá-lo ao Teorema de Tales. Esquematicamente temos: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 5 Resolução: Os ângulos em B são opostos pelo vértice, portanto são iguais. Assim, o ângulo em C pode ser obtido fazendo: º50 º130º180 º180º70º60 ^ ^ ^ = −= =++ C C C Dessa forma, temos: Exemplo 05: Determine o comprimento de DC na figura dada, sabendo que AB = 8 cm, BC = 12 cm e DE = 6 cm. Resolução: Considerando os triângulos ABC e DEC, temos que: O ângulo em C é comum aos dois triângulos e º90 ^^ = = DmedBmed . Assim, ABC e DEC são semelhantes. Portanto: 9 728 12 6 8 = = = = DC DC DC DC BC ED AB Logo, a medida do segmento DC é 9 cm. 3. Relações Métricas no Tri- ângulo Retângulo 3.1. Elementos do Triângulo Retân- gulo Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 6 . . . . hipotenusaa sobrecatetosdosprojeçõesdasmedidasnem hipotenusaàrelativaalturah catetosdosmedidasceb hipotenusaa → → → → 3.2. Relações Métricas nma += nab ⋅=2 mac ⋅=2 cbha ⋅=⋅ hcmb ⋅=⋅ hbnc ⋅=⋅ Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 7 nmh ⋅=2 222 cba += Teorema de Pitágoras Exemplo 06: Determine o perímetro do tri- ângulo ABC, descrito pela figura abaixo. Resolução: Utilizando a relação mac ⋅=2 , obtemos: ( ) a a mac 5,425,56 5,45,7 2 2 = ⋅= ⋅= 5,12 5,4 25,56 ==a Agora precisamos determinar a medida do outro cateto. Para isto podemos utilizar o Teorema de Pitágoras. ( ) ( ) 10 100 25,5625,156 5,75,12 2 2 222 222 = = += += += b b b b cba Assim, 30 5,7105,12 = ++= ++= cbaP Portanto o perímetro é igual a 30 cm. Exemplo 07: (Fuvest) No triângulo T os ca- tetos medem 10 cm e 20 cm. A altura relati- va à hipotenusa divide T em dois triângulos. Determine a área de cada triângulo. Resolução: Vamos visualizar o problema. Observando os triângulos separadamente percebemos que: 22 21 hm Ae hn A ⋅ = ⋅ = Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 10 º360A ^^^^ =+++ DCB • A soma das medidas dos ângulos inter- nos de um polígono de n lados é dada por ( )2º180 −= nSi . ( )2º180 −= nSi • Em todo polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é constan- te e igual a 360º. º360=eS • O ângulo externo de um polígono regular de n lados é igual a n º360 . n e º360 = Exemplo 08: (ESPM) Determine a soma dos ângulos assinalados na figura abaixo. Resolução: Do enunciado temos: Na figura, cada triângulo possui um ângulo assinalado no enunciado e dois ângulos ex- ternos do polígono ABCDEFGHI. Assim, a soma pedida é º900º3602º1809 =⋅−⋅ . Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 11 º1809 ⋅=∆S º360=eS º360=eS Portanto, a soma dos ângulos assinalados é de 900º. 5. Trigonometria no triângulo retângulo Um triângulo é chamado retângulo quando apresenta um de seus ângulos inter- nos igual à 90º. O lado que está oposto ao ângulo reto é o maior lado e é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados de catetos. Para um triângulo retângulo podemos afirma sempre que: ¸ º90=+ βα (Ângulos Complementa- res) ¸ 222 cba += (Teorema de Pitágoras) 5.1. Razões trigonométricas no tri- ângulo retângulo Para um ângulo agudo de um triângu- lo retângulo definimos os números seno, cosseno e tangente por: Seno O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. a b sen == hipotenusa ângulo aoopostocateto α α Logo: a c sen == hipotenusa ângulo aoopostocateto β β Cosseno O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenu- sa. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 12 a c == hipotenusa ângulo aoadjacentecateto cos α α Logo: a b == hipotenusa ângulo aoadjacentecateto cos β β Tangente A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto ad- jacente ao ângulo. c b tg == α α α ângulo aoadjacentecateto ângulo aoopostocateto Logo: b c djacente tg == β β β ângulo aoacateto ângulo aoopostocateto Exemplo 09: No triângulo retângulo ABC, conforme a figura abaixo, tem-se: ...333,1 10 8 75,0 8 6 6,0 10 6 cos8,0 10 8 cos 8,0 10 8 6,0 10 6 ==== ==== ==== βα βα βα tgtg sensen Exemplo 10: No triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Obtenha os valores de seno, cosseno e tangente do ângulo BÂC . Resolução: Para calcular o valor do seno e do cosseno precisamos do valor da hipote- nusa. Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para calcular o valor da hipotenusa. Assim: 74 74 4925 75 2 2 222 = = += += a a a a Logo, Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 15 Resolução: Como BÂD, no ∆ABD, temos que o ângulo em D=30º. No ∆ACD tem-se A=D=30º, logo o tri- ângulo é isósceles e AC=CD=8 cm. Então, no ∆ABC obtém-se: mxx x xx 9,634 2 38 382 82 3 8 º30cos ≅=⇒= =⇒=⇒= Portanto, o valor de x é aproximadamente 6,9 cm. 6. Ciclo Trigonométrico 6.1. Arcos e Ângulos Arco de uma circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. 6.2. Ângulo Central Para cada arco existe sempre um ân- gulo central correspondente. A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente. ( ) α=ABmed Observação: Note que a medida de um arco não representa a medida do com- primento desse arco. 6.3. Unidades de Medidas Para medir arcos e ângulos utilizamos o grau e o radiano. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 16 Grau (º) Dividindo a circunferência em 360 par- tes iguais, cada parte é um arco de um grau (1º). Isto significa que a circunferência possui 360º. Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. ¸ Um minuto é igual a 60 1 do grau. ¸ Um segundo é igual a 60 1 do minuto. Usamos os símbolos: º grau; ’ minuto; ” segundo. Radiano (rad) É o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o con- tém. rad1=α Admitindo o raio da circunferência como uma unidade, ou seja, raio unitário (R=1rad) e partindo que o comprimento de uma circunferência é obtido fazendo RC π2= , temos: radC radC RC π π π 2 12 2 = ⋅= ⋅= Assim, a medida toda da circunferên- cia, em radianos, é 2π rad. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 17 Comparando as medidas em graus e em radianos, obtemos: Unidade Fundamental Amplitudes Grau 0º 90º 180º 270º 360º Radiano 0 2 π π 2 3π π2 Podemos notar que as medidas são diretamente proporcionais, isto permite que façamos a conversão da medida de uma unidade para a outra através de uma regra de três simples, usando que 180º corres- ponde a π rad. 180º π rad Medida em graus Medida em radianos Exemplo 07: Converter 36º em radianos. 180º π rad 36º x radx radx radx x rad 5 180 36 36180 º36 º180 π π π π = = = = Portanto, 36º corresponde a 5 π rad. Exemplo 14: Converter 12 5π rad em graus. 180º π rad x 12 5π rad º75 º180 12 5 º180 12 5 12 5 º180 12 5 º180 = ⋅ = ⋅=⋅ = = x x x x rad rad x π π π π π π π π Portanto, 12 5π rad corresponde a 75º. Exemplo 15: Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que marca 13 horas e 24 minutos. Resolução: Primeiro, precisamos esta- belecer uma relação entre tempo e ân- gulo. Assim, se pensarmos que o pon- teiro dos minutos leva 60 minutos para percorrer toda a circunferência e que a circunferência é dividida em 360º, en- tão o ponteiro dos minutos move-se 6º em cada minuto. 1 min ---------- 6º Da mesma forma estabelecemos a re- lação para o ponteiro das horas. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 20 No ciclo trigonométrico podemos ob- servar as seguintes propriedades: ¸ Centro na origem dos eixos cartesia- nos; ¸ Raio unitário; ¸ Origem dos arcos no ponto A(1,0) que corresponde ao ângulo de 0º; ¸ Sentido anti-horário positivo (+) e ho- rário negativo (-), a partir do ponto A; ¸ Divide-se em quatro quadrantes. Observação: Como a circunferência trigo- nométrica tem raio unitário (R=1). A medida de qualquer arco, em radianos é numerica- mente igual ao comprimento desse arco. Portanto, percorrer um arco de x rad no ciclo trigonométrico é fazer um percurso de com- primento x. Assim, ao invés de escrevermos rad 12 5π , escrevemos, apenas 12 5π e chama- mos de imagem de x no ciclo. Exemplo 19: Marcar no ciclo a imagem do número x em cada caso. a) x = 2 π b) x = 3 2π c) x = 1 d) x = 3 π − Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 21 Exemplo 20: Divida o ciclo em 6 partes i- guais, a partir da origem, e indique o número x, π20 ≤≤ x , associado a cada ponto divi- sor. Resolução: Como a circunferência tem comprimento igual a 2π, então cada parte equivale a 6 1 de 2π. Assim, cada parte tem comprimento igual a 3 π . Pode-se também, associar esta divisão em função dos ângulos. 6.5.1. Arcos Côngruos Vamos representar os arcos de ex- tremidades em 30º, 390º, 750º e 1110º no mesmo ciclo trigonométrico. Percebemos que as extremidades destes arcos encontram-se na mesma posi- ção, porém em voltas diferentes. Os arcos que têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras são chamados de arcos côngruos. 30º = 30º + 0º = 30º + 0 . 360º 390º = 30º + 360º = 30º + 1 . 360º 750º = 30º + 720º = 30º + 2 . 360º 1110º = 30º + 1080º = 30º + 3 . 360º x = ............ = α + k . 360º Assim, podemos representar todos os arcos côngruos à 30º pela expressão: Zkkx ∈+= ,º360º30 De maneira geral: ¸ Se o arco estiver em graus: Zkkx ∈+= ,º360α ¸ Se o arco estiver em radianos: Zkkx ∈+= ,2 πα Observação: Chama-se primeira determina- ção positiva de um arco se o mesmo encon- trar-se no intervalo de 0º a 360º, ou, 0 a 2π. Exemplo 21: Um móvel, partindo do ponto A, percorreu um arco de 2396º no ciclo tri- gonométrico. Quantas voltas completas fo- ram dadas e em que quadrante parou? Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 22 Resolução: Fazendo, Tem-se que: ¸ Foram completadas 6 voltas; ¸ Como o arco de 2396º é côngruo ao arco de 236º na primeira determi- nação, podemos verificar que sua ex- tremidade encontra-se no 3º quadran- te. Exemplo 22: Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 1845º. Resolução: Fazendo, Tem-se que: ¸ A primeira determinação positiva é 45º; ¸ A expressão geral é dada por: Zkkx ∈+= ,º360º45 7. Funções Circulares As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicida- de, pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento on- dulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc. 7.1. Função Seno Denominamos função seno à função que a cada número real x faz corresponder o número y = sen x. Interpretação Geométrica O seno de um arco x é obtido fazendo a projeção da extremidade do arco no eixo vertical, denominado eixo dos senos. Domínio e Imagem O domínio da função seno é o conjun- to de todos os números reais, R. Podemos perceber através do ciclo trigonométrico que o menor valor possível para o seno é – 1 e o maior valor possível é 1. Assim, podemos dizer que o conjunto imagem da função seno é o intervalo de – 1 a 1. Vejamos: [ ]1;1Im −= = RD Estudo do Sinal Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 25 2 3 º30cosº150cos −=−= 2 1 º60cosº240cos −=−= 2 1 º30º210º570 −=−== sensensen Assim, 3 1 3 2 2 2 3 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 −= − = − ⋅ = −− + = −+− −− =y Exemplo 25: Determine o valor da expres- são xsen x x x sen A 4 3 cos 2cos 2 − − = , sabendo-se que 2 π =x . Resolução: Em primeiro momento, va- mos substituir a incógnita x por seu va- lor, assim a expressão fica: ( ) ( )ππ π π π π π π 2 6 cos cos 4 2 4 3 2cos 2 2cos 2 2 sen sen sen sen A − − = ⋅− ⋅− = Em um segundo momento, vamos cal- cular separadamente o valor de cada termo: 2 2 4 = π sen 1cos −=π 2 3 6 cos = π 02 =πsen Então: ( ) 3 326 3 3 3 22 3 22 3 2 2 22 2 3 2 22 2 3 1 2 2 0 2 3 1 2 2 + =⋅ + = + = ⋅ + = + = + = − −− = A A Assim, 3 326 + =A 7.3. Função Tangente Denominamos função tangente à fun- ção que a cada número real x faz corres- ponder o número y = tg x. Interpretação Geométrica Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 26 A tangente de um arco x é obtida fa- zendo o prolongamento do raio da extremi- dade do arco no eixo vertical paralelo ao ei- xo dos senos que tangencia o ciclo trigono- métrico no ponto x = 0, denominado eixo das tangentes. Domínio e Imagem O domínio da função tangente pode ser observado no gráfico a seguir: Nos pontos 90º e 270º, as retas geradas pelo prolongamento dos raios geram uma reta paralela ao eixo das tangentes, assim, não existirá tangente para os valores de 90º, 270º e todos os arcos côngruos a estes. ∈+≠∈= ZkkxRxD , 2 / π π A imagem da tangente não está mais restrita aos valores – 1 e 1, na verdade po- demos obter qualquer valor para a tangente, assim: R=Im Estudo do Sinal Valores Notáveis Gráfico A função tangente também é uma função periódica de período p = π. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 27 Dada a função ( )mxtgy = , o período da função tangente pode ser determinado fazendo: m p π = Relação Fundamental II Esta relação é válida para qualquer que seja x ∈ R / x ≠ 90º + kπ, k ∈ Z. x xsen xtg cos = Exemplo 26: Determine o valor da expres- são 3 4 º9303 4 3 º780cos π π sentg tg E ⋅⋅ + = . Resolução: Calculando os valores para cada termo, temos: 2 1 º60cosº780cos == 1 44 3 −=−= ππ tgtg 3 3 º30º210º930 === tgtgtg 2 3 33 4 −=−= ππ sensen Assim, ( ) −⋅⋅ −+ = ⋅⋅ + = 2 3 3 3 3 1 2 1 3 4 º9303 4 3 º780cos π π sentg tg E 3 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 1 == − − = −⋅ − =E Exemplo 27: Dado o valor de 5 3 −=xsen , com 2 3π π << x , determine o valor da xtg . Resolução: Para determinar a xtg utili- zaremos a relação fundamental II. Mas para que possamos utilizá-la é neces- sário conhecermos o valor do xcos , as- sim utilizaremos primeiro a relação fundamental I. Vejamos: 1cos 25 9 1cos 5 3 1cos 2 2 2 22 =+ =+ − =+ x x xxsen 5 4 25 16 cos 25 925 cos 25 9 1cos 2 2 ±=±= − = −= x x x Como 2 3π π << x , então: 5 4 cos −=x Assim, 4 3 4 5 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 cos =⋅== − − == x xsen xtg Exemplo 28: Dado que axxsen =+ cos , cal- cule o valor de xxseny cos⋅= em função de a. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 30 A imagem da secante serão todos os valores fora do ciclo trigonométrico, ou seja, maiores ou igual a 1 e menores ou igual a -1, assim: ] [1;1Im −−= R Estudo do Sinal Gráfico A função secante também é uma fun- ção periódica de período p = 2π. Dada a função ( )mxy sec= , o período da função secante pode ser determinado fazendo: m p π2 = 7.6. Função Cotangente Denominamos função cotangente à função que a cada número real x faz corres- ponder o número y = cotg x. Interpretação Geométrica A cotangente de um arco x é obtida fazendo o prolongamento do raio da extre- midade do arco no eixo horizontal paralelo ao eixo dos cossenos que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto x = 2 π , denominado eixo das cotangentes. Domínio e Imagem O domínio da função cotangente pode ser observado no gráfico a seguir: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 31 Nos pontos 0º e 180º, as retas gera- das pelo prolongamento dos raios geram uma reta paralela ao eixo das cotangentes, assim, não existirá cotangente para os valo- res de 0º, 180º e todos os arcos côngruos a estes. { }ZkkxRxD ∈≠∈= ,/ π A imagem da cotangente serão todos os valores, incluindo dentro do ciclo trigono- métrico, ou seja, todos os números reais, assim: R=Im Estudo do Sinal Gráfico A função cotangente também é uma função periódica de período p = π. Dada a função ( )mxy cotg= , o perío- do da função cotangente pode ser determi- nado fazendo: m p π = Relações entre as Funções Circulares ¸ xsen x 1 seccos = ¸ x x cos 1 sec = ¸ xsen x xtg x cos1 cotg == Outras Relações ¸ xxtg 22 sec1 =+ ¸ xx 22 seccos1cotg =+ Exemplo 29: Calcule, se existir, o valor nu- mérico para: a) 6 cossec π b) 6 5 sec π c) º480cotg d) − 4 cossec π Resolução: Para calcularmos os valores das funções cossecante, secante e co- tangente, vamos utilizar das relações entre as funções e representa-las em Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 32 função de seno, cosseno e tangente. Assim: 2 1 2 1 2 1 1 6 1 6 cosseca) =⋅=== π π sen 3 32 3 3 3 2 3 2 2 3 1 6 cos 1 6 5 cos 1 6 5 sec) −=⋅−= −= − = − == ππ π b 3 3 3 3 3 1 3 1 º60 1 º120 1 º480 1 º480cotg c) −=⋅−= − = − === tgtgtg 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 4 cossecd) −=−=⋅−=−= −= − = − = − ππ π sensen Exemplo 30: Dada 4 3 −=xtg e π π << x 2 , determine o valor das outras funções circula- res. Resolução: Para obter o valor para as demais funções é necessário calcular o valor, primeiro, das funções seno e cosseno. Assim, utilizando a relação fundamental II, tem-se: 4 cos3 cos34 4 3 cos 4 3 x xsen xxsen x xsen xtg −= −= −= −= utilizando a relação fundamental I, ob- temos: 1cos 4 cos3 1cos 2 2 22 =+ − =+ x x xxsen 5 4 cos 25 16 cos 25 16 cos 16cos25 16cos16cos9 1cos 16 cos9 2 2 22 2 2 ±= ±= = = =+ =+ x x x x xx x x Como, π π << x 2 , então, 5 4 cos −=x . Lo- go: 5 3 5 4 4 3 cos 4 3 4 cos3 = −⋅−= −=−= x x xsen e 3 5 5 3 11 cossec === xsen x ; 4 5 5 4 1 cos 1 sec −= − == x x ; 3 4 4 3 11 cotg −= − == xtg x . Portanto, 5 3 =xsen , 5 4 cos −=x , 4 3 −=xtg , 3 5 cossec =x , 4 5 sec −=x e 3 4 cot −=xg . Exemplo 31: Simplifique a expressão dada por ( ) aa aatg y 22 2 cossecsec cotg ⋅ + = . Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 35 Tabela: x ( ) 2 cos x xf = y 0 ( ) 10cos 2 0 cos0 ===f 1 π ( ) 0 2 cos == π πf 0 π2 ( ) 1cos 2 2 cos2 −=== π π πf -1 π3 ( ) 0 2 3 cos3 == π πf 0 π4 ( ) 12cos 2 4 cos === π π πf 1 Construindo o gráfico: Comparando as funções anteriores com a função cosseno, temos: 8. Equações Trigonométricas Uma equação trigonométrica é uma equação que envolve as funções trigonomé- tricas. 8.1. Equação do tipo sen x = sen a. Dado um número real z vamos determinar os valores de x que satisfazem à equação asenxsen = . Observando que a condição para que exista solução é 11 ≤≤− z . Veja- mos: Exemplo 33: Determine o conjunto solução da equação 2 2 =xsen , U = R. Fazendo: π π π π ππ kxkx senxsensenxsen xsen 2 4 3 2 4 4 3 4 2 2 +=+= == = Como o domínio da função são todos os números reais, devemos considerar todos os arcos côngruos a 4 π e 4 3π . Assim: ∈+=+=∈= ZkkxoukxRxS ,2 4 3 2 4 / π π π π Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 36 Exemplo 34: Determine o conjunto solução da equação 2 3 −=xsen , [ ]π2;0 . Fazendo: 3 5 3 4 3 5 3 4 2 3 ππ ππ == == −= xx senxsensenxsen xsen Como o domínio da função é o intervalo [ ]π2;0 , devemos considerar apenas os arcos na primeira determinação, 3 4π e 3 5π . Assim: = 3 5 ; 3 4 ππ S 8.2. Equação do tipo cos x = cos a. Dado um número real z vamos determinar os valores de x que satisfazem à equação ax coscos = . Observando que a condição para que exista solução é 11 ≤≤− z . Veja- mos: Exemplo 35: Determine o conjunto solução da equação 2 3 cos =x . Fazendo: π π π π ππ kxkx xx x 2 6 11 2 6 6 11 coscos 6 coscos 2 3 cos +=+= == = Por definição, quando não for indicado o conjunto domínio da função devemos consi- derar que o domínio da função é , assim, devemos considerar todos os arcos côn- gruos a 6 π e 6 11π . Assim: ∈+=+=∈= ZkkxoukxRxS ,2 6 11 2 6 / π π π π Obs.: O conjunto solução desta equação pode ser representado, também por: ∈+±=∈= ZkkxRxS ,2 6 / π π 8.3. Equação do tipo tg x = tg a. Dado um número real z vamos determinar os valores de x que satisfazem à equação atgxtg = . Vejamos: Exemplo 36: Determine o conjunto solução da equação 1−=xtg . Fazendo: π π π π ππ kxkx tgxtgtgxtg xtg 2 4 7 2 4 3 4 7 4 3 1 +=+= == −= Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 37 Por definição, quando não for indicado o conjunto domínio da função devemos consi- derar que o domínio da função é , assim, devemos considerar todos os arcos côn- gruos a 4 3π e 4 7π . Assim: ∈+=+=∈= ZkkxoukxRxS ,2 4 7 2 4 3 / π π π π Obs.: O conjunto solução desta equação pode ser representado, também por: ∈+=∈= ZkkxRxS , 4 3 / π π 8.4. Equações trigonométricas que envolvem artifícios. Exemplo 37: Resolver a equação 012 =+⋅ xsen , no intervalo π20 << x . O primeiro passo é tentar encontrar uma e- quação na forma básica. Assim, isolando a função sen x, temos: 2 1 12 012 −= −=⋅ =+⋅ xsen xsen xsen Então: 4 11 6 7 6 11 6 7 2 1 ππ ππ == == −= xx senxsensenxsen xsen Logo, = 6 11 ; 6 7 ππ S . Exemplo 38: Resolver a equação 01coscos2 2 =−+ xx , [ ]π2;0 . Para resolver esta equação vamos utilizar do princípio da mudança de variável. Assim, chamando, yx =cos , temos: 012 01coscos2 2 2 =−+ =−+ yy xx Fazendo a mudança de variável, recaímos em uma equação do 2º grau, então: ( ) 1 4 31 2 1 4 31 4 31 22 91 9811241 2 1 2 −= −− = = +− = = ±− = ⋅ ±− = =+=−⋅⋅−=∆ y y y Como, 3 5 3 3 5 coscos 3 coscoscoscos 2 1 cos1cos cos ππ ππ π π == == = = =−= = xx xx x x xx yx Portanto, = 3 5 ;; 3 π π π S . Exemplo 39: Resolver a equação 03 =− xtgxtg , no intervalo [ ]π;0 . Para a solução desta equação vamos utilizar o processo de fatoração, colocando em evi- dência a tangente do arco x. Vejamos: ( ) 01 0 2 3 =− =− xtgxtg xtgxtg Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 40 Exemplo 43: (Fuvest) A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD , ins- crito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que 4=AB , 2=CD e 23=AC . Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. Resolução: Vejamos a figura: No triângulo ACF, temos: º451 3 3 =⇒=== αα AF CF tg Aplicando o Teorema de Pitágoras no triân- gulo retângulo CBF, temos: 1013 222 222 =⇒+= += CBCB FBCFCB Aplicando a lei dos senos no triângulo CAB, temos: 5 2 10 2 102 2 2 2 102 2 2 10 2 º45 10 2 2 = = = ⋅= = = = R R R R R sen R sen CB R α Portanto, o raio da circunferência vale 5 . 10. Transformações 10.1. Adição e Subtração de Arcos. ( ) ( ) ( ) ( ) tgbtga tgbtga batg tgbtga tgbtga batg senbsenababa senbsenababa asenbbsenabasen asenbbsenabasen ⋅+ − =− ⋅− + =+ ⋅+⋅=− ⋅−⋅=+ ⋅−⋅=− ⋅+⋅=+ 1 1 coscos)cos( coscos)cos( coscos coscos 10.2. Arco Duplo. ( ) ( ) atg tga atg asena aa asenaa bsenaasen 2 2 2 22 1 2 2 21)2cos( 1cos2)2cos( cos)2cos( cos22 − = −= −= ⇒−= ⋅= Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 41 10.3. Transformação em Produto. − + −=− − + =+ + − =− − + =+ 2 cos 2 2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 cos 2 2 2 cos 2 2 qpqp senqp qpqp qp qpqp sensenqsenp qpqp sensenqsenp Exemplo 44: (ITA) O conjunto solução de ( ) ( ) 4cot11 22 =−⋅− xgxtg , 2 πk x ≠ , Zk ∈ é: a) ∈+ Zk k , 43 ππ b) ∈+ Zk k , 44 ππ c) ∈+ Zk k , 46 ππ d) ∈+ Zk k , 48 ππ e) ∈+ Zk k , 412 ππ Resolução: Aplicando as relações trigono- métricas, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tgxxtg xtgxtg xtg xtg xtg xtg xtg xtg xtg xtg xtg xgxtg 21 41 4 1 4 1 4 1 1 4 1 11 4cot11 2 222 2 22 2 22 2 2 2 2 2 22 ±=− =− = − = − = − ⋅− = −⋅− =−⋅− xtg tgx 21 2 1 − =± Sabendo que ( ) atg tga atg 21 2 2 − = , então: 48 24 2 4 3 2 4 2 4 3 2 4 2 1212 12 ππ ππ π π π π ππ k x k x kxkx tgxtgtgxtg xtgxtg xtg += += +=+= == −== ±= Alternativa d. Exemplo 45: (IBMEC) Na figura ao lado, tem-se que: • os segmentos BD , CD , DE são congruen- tes e cada um mede 4 cm; • o ângulo EDC ˆ mede o dobro da medida do ângulo CAB ˆ ; • o ponto C pertence à bissetriz do ângulo EDB ˆ . a) Calcule a medida do segmento CE . b) Calcule a medida do segmento AC . (Dica: se precisar utilize a seguinte fórmula asena 221)2cos( −= ) Resolução: Observando a figura e o enun- ciado, temos: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 42 No triângulo ADE, temos: º5,22 º180º904 = =−++ α ααα a) Para calcular a medida do segmento CE vamos utilizar a lei dos cossenos. ( ) 224 2216 21632 2 2 321616 º45cos44244 2cos2 2 2 2 222 222 −= −= −= ⋅−+= ⋅⋅⋅−+= ⋅⋅⋅−+= CE CE CE CE CE DEDCDEDCCE α Portanto, a medida do segmento CE é 224 − . b) A medida do segmento AC pode ser ob- tida aplicando o teorema dos senos no triângulo ADC, temos: º5,22 22 º5,22 4 2 2 º5,22 4 º45 2 sen AC sen AC sensen AC sen DC sen AC = = = = αα Para calcular o valor de AC precisamos co- nhecer o sen 22,5º, então vamos utilizar a dica dada no problema. 2 22 º5,22 4 22 º5,22 2 22 º5,222 2 2 1º5,222 º45cos1º5,222 2cos12 212cos 2 2 2 2 2 2 − = − = − = −= −= −= −= sen sen sen sen sen sen sen αα αα Portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 224 2 2224 24 2224 22 2224 2222 2224 2222 2224 22 22 22 24 22 24 2 22 22 º5,22 22 22 += +⋅ = − +⋅ = − +⋅ = +⋅− +⋅ = +⋅− +⋅ = + + ⋅ − = − = − = = AC AC AC AC AC AC AC AC AC sen AC Portanto, a medida do segmento AC é 224 + . Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 45 e) A distância da Terra ao Sol é cerca de 400 vezes maior do que a da Terra à Lua, compensando o fato de o diâmetro do Sol ser aproximadamente 400 vezes maior do que o da Lua. 12. (Fuvest) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de compri- mento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE , então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a: a) 5 3a b) 3 3a c) 2 3a d) 3a e) 32a 13. (Fuvest) Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento EF , de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a figura. Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do seg- mento AF é igual a: a) 2 53 b) 8 57 c) 4 53 d) 5 53 e) 3 5 14. (Fuvest) A figura representa um retângu- lo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção da diagonal AC com o segmento BE . Então a área do triângulo BCF vale: a) 5 6 b) 4 5 c) 3 4 d) 5 7 e) 2 3 15. (FGV) No quadriculado ao lado, está re- presentado o caminho percorrido por uma joaninha eletrônica, em que o menor qua- drado tem lado cujo comprimento representa 1m. A distância real entre o ponto de partida C da joaninha e o de chegada A é: a) m102 b) m52 c) m32 d) m22 e) m2 16. O valor de x na figura, sabendo que ABC é um triângulo eqüilátero e que AC = AD, vale: a) 96º b) 72º c) 64º d) 56º e) 48º 17. Se AB = AC = CD, o valor do ângulo ex- terno y é: a) 96º b) 72º c) 64º d) 56º e) 48º Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 46 18. Na figura, 'BB e 'CC são alturas do tri- ângulo. Com bases nestas afirmações po- demos dizer que o ângulo α vale: a) 100º b) 120º c) 130º d) 145º e) 150º 19. Na figura, ABCDE é um pentágono regu- lar. Desta forma, as medidas dos ângulos internos do triângulo ACD são: a) 29º e 122º b) 36º e 72º c) 52º e 76º d) 60º e) 48º e 66º 20. Na figura, AB , BC , CD , e EF são lados de um dodecágono regular. As bissetrizes dos ângulos em B e E interceptam-se em O. O valor do ângulo EÔB é: a) 60º b) 75º c) 80º d) 90º e) 100º 21. (Vunesp-SP) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 km de A. Por um pro- blema de orientação, o piloto seguiu errada- mente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120º à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formou, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Com base na figura, determine a distância em quilômetros que o avião voou partindo do ponto A até chegar em B. 22. A ranhura trapezoidal é utilizada na construção de guias para elementos de má- quinas. A mais comum é a ranhura conheci- da como rabo de andorinha, indicada na figura. Determine os valores de x e y. 23. Calcule o valor de x indicado em cada figura. a) b) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 47 c) d) 24. Determinar o valor de y na figura: 25. (Unicamp) De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de 2m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60°, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da ré- gua é de 75°. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6m do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo. a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa? b) Qual a altura da escarpa? 26. (Fuvest) Na figura, ABC e CDE são tri- ângulos retângulos, AB = 1, BC = 3 e BE = 2DE. Logo, a medida de AE é: a) 2 3 b) 2 5 c) 2 7 d) 2 11 e) 2 13 27. (IBEMEC) No triângulo ABC da figura, retângulo em A, temos: AC = 3 e AB = tgα. Então, o perímetro do triângulo vale: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 50 53. Resolva as equações: a) 022 =−⋅ xsen b) 01cotg3 =+x 54. Resolva a equação 02 3 =−⋅ xsenxsen no intervalo π≤≤ x0 . 55. Resolva a equação 02cos2cos2 =+ xx para [ ]π;0 . 56. Determine o conjunto solução da equa- ção 04cos2 =− xsenxxsen , para [ ]π2;0 . 57. Resolva a equação 5cos64 22 =+ xxsen para ] [π2;0 . 58. Resolver a equação ( ) 1cos 2 =+ xxsen para π20 ≤≤ x . 59. Resolver a equação 02 =− xsenxtg no intervalo 2 ;0 π . 60. Resolver no intervalo π20 ≤≤ x a equa- ção 03343 2 =+− xtgxtg . 61. (Fatec) Se f é uma função real definida por ( ) xtg tgx xf 21 2 + = , então ( )xf é igual a: a) x2seccos b) x2sec c) xtg2 d) x2cos e) xsen2 62. (Fatec) Sejam duas funções f e g, de R em R, definidas por ( ) xsenxf 4= e ( ) 2 4 x senxg = . É verdade que: a) o período da f é 8 1 do período da g . b) ( ) 0≥xf , para todo x tal que 2 0 π ≤≤ x . c) o conjunto imagem da g está contido no conjunto imagem da f. d) ( ) 0≤xg , para todo x tal que π20 ≤≤ x . e) ( ) 2 7 3 8 =+ π π gf . 63. (Fatec) O vigésimo quinto termo da se- qüência (sen30º, sen60º, sen90º, sen120º, sen150º,...) é: a) 2 3 − b) 2 1 − c) 2 1 d) 2 3 e) 1 64. (Fatec) Na circunferência trigonométrica abaixo, considere o arco AM , de medida 3 π radianos. Então: a) 1=AP b) 3=MN c) 2=ON d) 3 1 =AN e) 2=OP 65. (Fatec) Sobre as sentenças I. sen 40° < sen 50° II. cos 190° > cos 200° III. tg 60° = tg 240° é correto afirmar que somente: a) I é verdadeira. b) II é verdadeira. c) III é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. e) I e III são verdadeiras. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 51 66. (Fuvest) A soma das raízes da equação sen2x – 2 cos4x = 0, que estão no intervalo [0, 2π], é: a) 2π b) 3π c) 4π d) 6π e) 7π 67. (Fuvest) As páginas de um livro medem 1dm de base e 31+ dm de altura. Se este livro foi parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, a me- dida do ângulo α, formado pelas diagonais das páginas, será: a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75° 68. (Fuvest) Se α está no intervalo 2 ,0 π e satisfaz 4 1 cos44 =− ααsen , então o valor da tangente de α é: a) 5 3 b) 3 5 c) 7 3 d) 3 7 e) 7 5 69. (Fuvest) Um cilindro oblíquo tem raio das bases igual a 1, altura 32 e está inclinado de um ângulo de 60° (ver figura). O plano β é perpendicular às bases do cilindro, pas- sando por seus centros. Se P e A são os pontos representados na figura, então o valor de PA é: a) 2 b) 7 c) 52 d) 14 e) 113 70. (Fuvest) Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo eqüilátero ABC. Seja D o ponto onde a bis- setriz do ângulo BCA ) intercepta a semi- circunferência. O comprimento da corda AD é: a) 32 −R b) 23 −R c) 12 −R d) 13 −R e) 23 −R 71. (Fuvest) Sabe-se que x = 1 é raiz da e- quação ( ) ( ) 0cos4cos 22 =+⋅− ββαα senxsenx , sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo. Pode-se então afirmar que as medidas de α e β são, respectivamente: a) 8 3 8 ππ e b) 36 ππ e c) 44 ππ e d) 63 ππ e e) 88 3 ππ e 72. (Fuvest) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e inter- cepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Podemos afirmar que o coeficiente angu- Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 52 lar de s se a área do triângulo OBC for o tri- plo da área do triângulo OAB vale: a) 2 2 b) 2 c) 2 3 d) 3 e) 3 3 73. Na figura a seguir, O é o centro da cir- cunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 60º e 4 3 =αsen . Então o valor do segmento AB é: a) 6 132 + =AB b) 6 113 + =AB c) 2 13 + =AB d) 2 210 + =AB e) 3 16 + =AB 74. (Fuvest) No paralelogramo ABCD abai- xo, tem-se que AD = 3 e DÂB = 30°. Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo BÂD . Assim, o segmento AP vale: a) 32 − b) 232 + c) 23 d) 32 e) 323 + 75. (Fuvest) Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é: a) 12 17 b) 12 19 c) 12 23 d) 12 25 e) 12 29 76. (Fuvest) Um arco x está no terceiro qua- drante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5cos2x + 3senx = 4. Os valores de senx e cosx são, respectivamente: a) 5 23 5 1 −e b) 5 6 2 1 −− e c) 5 62 5 1 −− e d) 3 52 3 1 −− e e) 5 6 4 1 −− e 77. (FGV) Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC, e ABM é um triângulo e- qüilátero cuja medida do lado é 1. A medida do segmento GN é igual a: a) 3 22 b) 3 6 c) 3 5 d) 6 7 e) 6 6 78. (FGV) O número de soluções da equa- ção 02cos21 =⋅−+ xsenx , com π20 ≤≤ x , é: a) 8. d) 5. b) 7. e) 4. c) 6. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 55 90. (Unesp) Numa fábrica de cerâmica, pro- duzem-se lajotas triangulares. Cada peça tem a forma de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10cm, e o ângulo da base tem medida x, como mostra a figura. a) Determine a altura h(x), a base b(x) e a área A(x) de cada peça, em função de senx e cosx. b) Determine x, de modo que A(x) seja igual a 50cm2. Respostas dos Exercícios Propostos 01. x = 14 e y = 15. 02. a) x = 18 e y = 14 b) x = 12 e y = 10. 03. b 04. c 05. b 06. a 07. b 08. e 09. b 10. d 11. e 12. c 13. d 14. b 15. a 16. e 17. a 18. c 19. b 20. d 21. 103,92 km 22. x ≅ 4,62 cm e y ≅ 37,76 cm 23. a) 35,763 ≅ cm b) 38,283618 ≅+ cm c) 5,86350 ≅ m d) 4 cm 24. y = 2 cm 25 a) ( )m332 + b) ( )m36,1 + 26. c 27. c 28. d 29. a) 300º b) 67º30’ c) 15º d) 576º 30. a) rad 12 5π b) rad 5 4π c) rad 8 π d) rad 180 π 31. a) 140º b) 50º c) 7º30’ d) 20º e) 130º 32. a) 24π cm ≅ 75,36 cm; b) 8π cm ≅ 25,12 cm. 33. 18 km (aproximadamente). 34. 90 m (aproximadamente). 35. 5 1 rad = 0,2 rad. 36. 6 π metros ≅ 0,523 metros. 37. 61,4 cm. 38. 152,11 cm. 39. 40. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 56 41. 42. a) 1º b) 4º c) 3º d) 3º e) 2º f) 3º g) 3º h) 1º 43. a) 3º b) 4º c) 2º d) 4º e) 3º f) 2º g) 1º h) 4º 44. a) 3º b) 1º c) 4º d) 2º e) 2º 45. 53 cm aproximadamente 46. 900º 47 . 5 21 cos =x , 21 212 =xtg , 2 21 cotg =x , 21 215 sec =x , 2 5 cossec =x . 48. 10 103 cos −=x , 3 1 =xtg , 10 10 s −=xen , 3 10 sec −=x , 10cossec −=x . 49. a) xy 3cotg= b) xy 2cotg= 50. a) b) c) d) 52. a) b) c) d) 52. a) π π π π kxoukx 2 6 11 2 6 7 +=+= b) 3 2 6 ππ k x += c) π π kx += 4 d) π π π π kxoukx 2 6 2 6 5 +−=+−= e) π π kx +±= 6 f) π π kx 2 2 +−= g) π π kx += 3 2 h) π π kx 2 4 +±= i) 33 ππ k x += j) 212 ππ k x += 53. a) π π π π kxoukx 2 4 3 2 4 +=+= b) π π kx += 3 2 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Prof. Paulo Rogério Trigonometria Fundamentos da Matemática II 57 54. = π ππ ; 4 3 ; 4 ;0S 55. = 4 3 ; 2 ; 4 πππ S 56. { }ππ 2;;0=S 57. = 4 7 ; 4 5 ; 4 3 ; 4 ππππ S 58. = π π π π 2; 2 3 ;; 2 ;0S 59. = 3 ;0 π S 60. = 3 4 ; 6 7 ; 3 ; 6 ππππ S 61. e 62. a 63. c 64. e 65. e 66. c 67. b 68. b 69. d 70. a 71. d 72. a 73. b 74. e 75. e 76. c 77. d 78. b 79. e 80. a 81. b 82. c 83. c 84. b 85. a) 1 km b) 2 km 86. a) ( ) 4 32 32 − =−= a ceab b) ( )m3210323010 −+−+ 87. a) DO = 5cm, EO = 7cm e FO = 7cm b) cm27 , cm292 e cm130 88. d 89. a) 3=λ b) nos meses de maio e novembro. 90. a) h(x) = 10senx, b(x) = 20senx e A(x) = 100senxcosx. b) rad 4 π Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.