Instrumentação para o ensino de física-óptica

Instrumentação para o ensino de física-óptica

(Parte 1 de 5)

F 809 – Instrumentação para o Ensino

O que Vemos quando nos Olhamos para um Espelho Côncavo?

Relatório Final (Editado em: 20/1/06)

Aluno: Gustavo Marapuan Suveges Lelis (RA:008842)

Orientadora: Profa. Lucila Cescato Coordenador: Prof. José Joaquin Lunazzi

UNICAMP, IFGW 23-1

1. Resumo

Objetivo:explicar o funcionamento de um espelho côncavo e a influência do olho humano, que é uma lente convergente, na percepção da imagem formada.

Motivação:a determinação geométrica de imagens para um espelho côncavo empregada amplamente nos cursos de Ensino Médio e na Universidade, nos induz a pensar que ao olharmos diretamente para um espelho côncavo, iremos observar uma descontinuidade na imagem quando o objeto passa pelo foco do espelho. Entretanto, se uma pessoa se posicionar em frente ao espelho, ela irá observar que esta descontinuidade no centro de curvatura ao invés do foco. Para explicar esta discordância entre teoria e prática é preciso levar em consideração a lente do olho humano na determinação geométrica das imagens.

O experimento consiste na observação deste fato, assim como na demarcação espacial do foco do espelho utilizando um laser de He-Ne. Para a demarcação do foco, dividimos o feixe de He-Ne em dois feixes paralelos entre si e ao eixo óptico de um espelho côncavo. Os feixes refletidos convergirão no foco, demarcando sua posição no espaço.

Fig.1: Demarcação do foco do espelho côncavo.

Feito isso, podemos explicar, a determinação geométrica de imagens em um espelho côncavo, e como isso nos induz ao erro se acreditarmos que tais imagens são o que de fato vemos num espelho côncavo, quando nosso rosto é o objeto a ser visto. Pede-se então que o participante sente-se numa cadeira deslizante em frente ao espelho, e que note a discordância entre teoria e prática. Então explica-se que para fazermos a determinação geométrica correta daquilo que vemos num espelho côncavo, é preciso incluir a lente convergente que é o olho humano, ao sistema de determinação de imagens do espelho côncavo.

Segue abaixo as imagens utilizadas para comparação entre os dois casos (sem e com a lente convergente incluída no sistema), e fotos tiradas das três posições de observação do espelho côncavo de interesse: entre o espelho e o foco, entre o foco e o centro de curvatura, e além do centro de curvatura.

Fig.2: Imagem formada é direita, virtual e maior. Fig.3: Imagem formada é invertida, real e maior.

Fig.4: Imagem formada é invertida, real e menor.

Fig.5: O olho conjuga uma imagem real e invertida na retina. 23-3

Fig.6: A imagem formada na retina é real e invertida. Fig.7: A imagem conjugada pelo olho é real e direita na retina.

Fig.8: Foto tirada entre o espelho e o foco.

Fig.9: Foto tirada entre o foco e o centro de curvatura. 23-4

Fig.10: Foto tirada além do centro de curvatura.

2. Teoria 2.1. Espelho Côncavo

Considere uma superfície esférica de centro C e raio de curvatura R. Se imaginarmos um plano interceptando a superfície esférica, ele irá dividi-la em duas calotas esféricas. Se uma das superfícies da calota for refletora, teremos então um espelho esférico. Este pode ser classificado de duas maneiras: côncavo, quando a superfície refletora é aquela voltada para o centro da calota, ou convexo, no caso contrário.

Fig.1: Espelhos esféricos (imagem extraída do site http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_OG03.asp ref. [6]).

No caso deste experimento, voltamos nossa atenção para o espelho côncavo. Este possui os seguintes lugares geométricos como característica:

a) Vértice do Espelho (V): é o pólo da calota esférica. b) Centro de Curvatura (C): é o centro da esfera de onde se originou a calota. c) Raio de Curvatura (R): é o raio da esfera que deu origem a calota. d) Eixo Principal: é o eixo determinado pelo centro de curvatura (C) e pelo vértice (V) do espelho. e) Eixo Secundário: qualquer reta que passe pelo centro de curvatura (C) e atinja o espelho em qualquer ponto de sua superfície diferente do vértice (V). f) Plano Meridano: todo plano que contém o eixo principal. g) Foco (F): ponto para o qual os raios paralelos ao eixo principal, que incidem no espelho, convergem.

A distância entre o foco F e o vértice V é chamada de distância focal f do espelho, e para um espelho côncavo que satisfaz as condições de Gauss (vide referências 3 a 5, e 7 para maiores detalhes), temos a seguinte relação:

f = R/2 (1)

Fig.12: Lugares geométricos do espelho côncavo

2.2 Formação de Imagem em um Espelho Côncavo

Para podermos estudar a formação de imagem em um espelho côncavo, precisamos primeiro conhecer a trajetória dos 4 raios notáveis do espelho, através dos quais é possível construir graficamente a imagem de um objeto frontal ao espelho, de pequenas dimensões em comparação com o raio de curvatura R. Temos então:

a) Um raio paralelo ao eixo principal se reflete passando pelo ponto focal F. b) Um raio que passa pelo ponto focal F se reflete paralelo ao eixo principal. c) Um raio que passa pelo centro de curvatura C se reflete retornando pelo mesmo caminho. d) Um raio que tem seu ponto de reflexão na interseção do espelho com o eixo principal, centro do espelho, se reflete simetricamente em relação ao eixo central.

Fig.13: Trajetória dos raios notáveis a e b para um espelho côncavo.

Conhecidos os quatro raios notáveis, vamos estudar os cinco casos distintos de formação de imagem em um espelho côncavo baseados na posição em que o objeto se encontra no eixo principal do espelho. Isto é, o objeto pode se encontrar: entre o foco e o espelho; no foco; entre o foco e o centro de curvatura; no centro de curvatura; e além do centro de curvatura. A determinação geométrica da imagem se dá no cruzamento de dois raios notáveis (se a imagem se formar na frente do espelho), ou no cruzamento da extensão de dois raios notáveis (no caso da imagem formar-se atrás do espelho).

Fig.14: Trajetória dos raios notáveis c e d para um espelho côncavo.

A imagem formada costuma ser classificada segundo os seguintes parâmetros:

a) DIREITA ou INVERTIDA: isto é, se a imagem possui a mesma orientação do objeto (seta apontando no mesmo sentido) ou orientação contrária. b) REAL ou VIRTUAL: isto é, se a imagem formou-se na frente do espelho, ou atrás dele. c) MAIOR ou MENOR: isto é, se a imagem foi ampliada ou reduzida com relação ao tamanho do objeto.

Além disso, representamos a distância do objeto à superfície do espelho pela letra minúcula o, e a distância da imagem à superfície do espelho pela letra minúscula i, e estas distâncias estão relacionadas à distância focal f pela equação de Gauss para espelhos esféricos:

2.2.1 Objeto entre o espelho e o foco

Este é o caso mais comum de uso de espelhos côncavos, devido ao fato da imagem ser ampliada. Temos imagem ampliada em outros casos, mas só aqui ela é direita e virtual.

Fig.15: A imagem formada é direita, virtual e maior.

2.2.2 Objeto no foco

Quando o objeto está no foco, os raios refletido saem paralelos, e portanto, não se cruzam. Logo não temos a formação de uma imagem, pois pela definição de retas paralelas, a imagem se forma no infinito. Neste caso, dizemos que temos uma imagem imprópria.

Temos então uma descontinuidade no foco, e ela pode ser notada pela eq. 2 se igualarmos a distância o à distância f: 23-7

1/f = 1/o + 1/i 1/f= 1/f + 1/i 1/i = 0 o que implica em i → ∞.

Fig.16: Quando o objeto está no foco, temos uma imagem imprópria. 2.2.3 Objeto entre o foco e o centro de curvatura

Fig.17: A imagem formada é invertida, real e maior. 2.2.4 Objeto no centro de curvatura

2.2.5 Objeto além do centro de curvatura

Fig.18: A imagem formada é invertida, real e do mesmo tamanho do objeto.

Fig.19: A imagem formada é invertida, real e menor. 23-8

2.3 O que vemos quando nos olhamos em um espelho côncavo?

É isto que pretende-se responder com a realização do experimento. Até então, vimos os casos possíveis para formação da imagem de um objeto posicionado frente a um espelho côncavo. Entretanto essas construções geométricas nos induzem a acreditar que se nos posicionarmos como objeto, veremos aquelas imagens construídas na seção anterior, dependendo da nossa posição relativa ao espelho côncavo, mas isto não verdade.

Para vermos algo, a imagem conjugada em nossa retina pelo sistema de lentes do nosso olho (córnea, humor aquoso, cristalino) deve ser real. Desta forma, o que vemos são imagens reais em nossa retina. Se desconsiderarmos este fato, encontraremos inconsistências entre o que aprendemos em óptica geométrica e o que vemos.

Para compreender o que vemos em um espelho côncavo, é necessário que examinemos como são as imagens em nossa retina quando o olho refrata a luz refletida pelo espelho. Ou seja, não podemos limitar a análise do problema à óptica do espelho; temos que acrescentar ao sistema uma lente que represente o olho conjugando imagens sobre a retina. Não podemos nos esquecer do fato que a imagem formada sobre a retina é invertida com relação ao que de fato enxergamos. Portanto, para as construções geométricas abaixo, nós precisamos inverter a imagem formada na retina para saber o que de fato enxergamos quando nos olhamos em um espelho côncavo.

Considerando que podemos nos posicionar como objetos em cinco posições possíveis com relação ao espelho côncavo, como nos casos descritos na seção anterior; temos que para construirmos graficamente o que seria a imagem do nosso rosto, precisamos incluir uma lente convergente no lugar do objeto, fazendo o papel do olho, e tratarmos a imagem anterior como objeto para a lente, para só então traçarmos os raios notáveis e determinarmos a imagem formada na retina.

Para traçarmos os raios notáveis de uma lente convergente biconvexa (caso do cristalino), precisamos lembrar as seguintes propriedades:

a) A lente possui dois focos: o foco objeto principal F (do lado dos raios incidentes), e o foco imagem principal F’ (do lado dos raios que atravessaram a lente). b) Há um ponto chamado centro óptico no eixo principal da lente, de forma que todo raio incidente que passe pelo centro óptico atravessa a lente sem se desviar. c) Raios que incidem paralelos ao eixo principal da lente, atravessam a lente convergindo para o foco imagem principal da mesma. d) Raios que incidem passando pelo foco objeto principal da lente, estarão paralelos ao eixo principal ao atravessarem a lente.

Fig.20: Raios notáveis de uma lente convergente. 23-9

2.3.1 O que vemos quando nos posicionamos entre o foco e o espelho?

Colocamos a lente do olho no lugar do objeto da Fig.5, e tratamos a imagem formada como um objeto real para lente. Quando estamos entre o espelho e o foco, caso de uso mais comum de um espelho côncavo, como em espelhinhos de banheiro por exemplo, o olho conjuga uma imagem real e invertida na retina. Portanto nos enxergamos direito.

Fig.21: O olho conjuga uma imagem real e invertida na retina.

2.3.2 O que vemos quando nos posicionamos no foco do espelho côncavo?

Quando estamos no foco do espelho, nosso olho recebe os raios refletidos, e estes estão todos paralelos entre si. A lente de nosso olho refrata esses raios, conjugando sobre o plano focal da lente uma imagem real e invertida na retina. Portanto nos enxergamos direito, e não percebemos nenhuma descontinuidade como fora previsto na seção 2.2.2.

Fig.2: Os raios refletidos são paralelos entre si. A imagem formada na retina é real e invertida.

2.3.3 O que vemos quando nos posicionamos entre o foco e o centro de curvatura?

A imagem formada na Fig.7 passou a ser um objeto virtual para o olho. Este conjuga os raios refletido pelo espelho, formando sobre a retina uma imagem real e invertida. Logo, nos enxergamos direito. Note que havíamos previsto nas seções 2.2.1 à 2.2.3 que a imagem era direita entre o espelho e o foco, e passava a ser invertida entre o foco e o centro de curvatura, havendo um descontinuídade no foco. Entretanto, ao inserirmos a lente de nosso olho no sistema, a descontinuidade desaparece, como visto na seçào anterior. É importante lembrar sempre que o que vemos são imagens reais em nossa retina. Assim, nos enxergamos direito, antes e depois do foco.

2.3.4 O que vemos quando nos posicionamos além do centro de curvatura?

Fig.23: A imagem formada na retina é real e invertida.

A imagem formada na Fig.9 passou a ser um objeto real para nosso olho. Este conjuga uma imagem real e direita do nosso rosto na retina. Portanto nos enxergamos invertidos. Há então uma descontinuídade no centro de curvatura, pois estávamos nos enxergando direito até ele, e ao passarmos por ele passamo a anos enxergar invertidos.

Esta descontinuidade pode ser notada matematicamente, usando a equação de Gauss para lentes convergente, que é idêntica a eq. 2 para espelhos côncavos, com a diferença que agora, as grandezas i e o representam, respectivamente, as distâncias da imagem e do objeto ao centro da lente. E a grandeza f é a distância focal da lente.

No centro de curvatura, de acordo com a Fig.8, o objeto e a imagem estão no mesmo ponto. Se substituirmos o objeto pela lente, e a tratarmos a imagem como um objeto para a lente, teremos que a distância o é igual a zero, pois o objeto está sobre a lente. Sendo a distância focal do olho, a separação entre o cristalino e a retina, que é uma constante, temos então: 1/f = 1/i + 1/o, com o = 0, f = constante isto implica em 1/i = 1/f + 1/0 logo, 1/i → ∞ => i → 0

A imagem também está sobreposta a lente, portanto nosso olho não consegue convergir esta imagem, hevando então uma descontinuidade no centro de curvatura.

Fig.24: A imagem conjugada pelo olho é real e direita na retina. 23-1

3. O experimento 3.1 Montagem Para a realização deste experimento, utilizamos os seguintes materiais:

Um espelho côncavo de 1m de distância focal. Um laser de He-Ne.

Um macaco para elevar o Laser a altura do espelho plano.

Um semi-espelho plano.

Um espelho plano.

Duas chapas metálicas para fixação dos materiais.

Um tripé.

Uma mesa.

Uma cadeira deslizante.

Parafusos e chaves Allen, porcas e arruelas.

Um cabo de vassoura.

Um rolo de fita crepe.

Um rolo de fita adesiva.

Uma trena.

Indicador de nível.

Fig.25: Laser de He-Ne.

Fig.26: Macaco utilizado para erguer o laser.

Primeiramente, fez-se em uma oficina mecânica duas chapas metálicas que foram utilizadas para a fixação dos materiais. A primeira chapa é quadrada, de 40cm de lado, feita de aço de 2,0mm de espessura. Foi chumbado no verso da chapa, um bloco de aço com as se- guintes dimensões: 3cm de largura, 10cm de comprimento e 0,8cm de espessura. Nesse bloco foi feito um furo para fixá-lo ao tripé através do parafuso na parte superior do tripé que costuma ser utilizado para fixação de máquinas fotográficas.

Fig.27: Detalhe do furo para fixação da chapa metálica ao tripé.

Nesta primeira chapa, fizemos dois furos em sua superfície, para prendermos o suporte do espelho côncavo na mesma, com parafusos Allen. O espelho côncavo é preso ao suporte por parafusos também. Todas essas peças, o espelho, o suporte, a chapa e o tripé, quando montados ficam assim:

Fig.28: Montagem do suporte do espelho côncavo.

A segunda chapa de aço feita numa oficina mecânica tem 40cm de largura, 70cm de comprimento e 1,2mm de espessura. Por ser mais fina, foi dobrada suas pontas para diminuir sua flexibilidade. Em cima desta chapa fica o macaco com a laser em cima, o semi-espelho e o espelhos plano, e os suportes dos mesmos. Foi feito furos para a fixação de todas essas peças.

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