Baixe Instrumentação para o ensino de física-óptica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! F 809 – Instrumentação para o Ensino O que Vemos quando nos Olhamos para um Espelho Côncavo? Relatório Final (Editado em: 20/11/06) Aluno: Gustavo Marapuan Suveges Lelis (RA:008842) Orientadora: Profa. Lucila Cescato Coordenador: Prof. José Joaquin Lunazzi UNICAMP, IFGW 23-1 1. Resumo Objetivo: explicar o funcionamento de um espelho côncavo e a influência do olho humano, que é uma lente convergente, na percepção da imagem formada. Motivação: a determinação geométrica de imagens para um espelho côncavo empregada amplamente nos cursos de Ensino Médio e na Universidade, nos induz a pensar que ao olharmos diretamente para um espelho côncavo, iremos observar uma descontinuidade na imagem quando o objeto passa pelo foco do espelho. Entretanto, se uma pessoa se posicionar em frente ao espelho, ela irá observar que esta descontinuidade no centro de curvatura ao invés do foco. Para explicar esta discordância entre teoria e prática é preciso levar em consideração a lente do olho humano na determinação geométrica das imagens. O experimento consiste na observação deste fato, assim como na demarcação espacial do foco do espelho utilizando um laser de He-Ne. Para a demarcação do foco, dividimos o feixe de He-Ne em dois feixes paralelos entre si e ao eixo óptico de um espelho côncavo. Os feixes refletidos convergirão no foco, demarcando sua posição no espaço. Fig.1: Demarcação do foco do espelho côncavo. Feito isso, podemos explicar, a determinação geométrica de imagens em um espelho côncavo, e como isso nos induz ao erro se acreditarmos que tais imagens são o que de fato vemos num espelho côncavo, quando nosso rosto é o objeto a ser visto. Pede-se então que o participante sente-se numa cadeira deslizante em frente ao espelho, e que note a discordância entre teoria e prática. Então explica-se que para fazermos a determinação geométrica correta daquilo que vemos num espelho côncavo, é preciso incluir a lente convergente que é o olho humano, ao sistema de determinação de imagens do espelho côncavo. Segue abaixo as imagens utilizadas para comparação entre os dois casos (sem e com a lente convergente incluída no sistema), e fotos tiradas das três posições de observação do espelho côncavo de interesse: entre o espelho e o foco, entre o foco e o centro de curvatura, e além do centro de curvatura. 23-2 Fig.10: Foto tirada além do centro de curvatura. 2. Teoria 2.1. Espelho Côncavo Considere uma superfície esférica de centro C e raio de curvatura R. Se imaginarmos um plano interceptando a superfície esférica, ele irá dividi-la em duas calotas esféricas. Se uma das superfícies da calota for refletora, teremos então um espelho esférico. Este pode ser classificado de duas maneiras: côncavo, quando a superfície refletora é aquela voltada para o centro da calota, ou convexo, no caso contrário. Fig.11: Espelhos esféricos (imagem extraída do site http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_OG03.asp, ref. [6]). No caso deste experimento, voltamos nossa atenção para o espelho côncavo. Este possui os seguintes lugares geométricos como característica: a) Vértice do Espelho (V): é o pólo da calota esférica. b) Centro de Curvatura (C): é o centro da esfera de onde se originou a calota. c) Raio de Curvatura (R): é o raio da esfera que deu origem a calota. d) Eixo Principal: é o eixo determinado pelo centro de curvatura (C) e pelo vértice (V) do espelho. e) Eixo Secundário: qualquer reta que passe pelo centro de curvatura (C) e atinja o espelho em qualquer ponto de sua superfície diferente do vértice (V). f) Plano Meridano: todo plano que contém o eixo principal. g) Foco (F): ponto para o qual os raios paralelos ao eixo principal, que incidem no espelho, convergem. 23-5 A distância entre o foco F e o vértice V é chamada de distância focal f do espelho, e para um espelho côncavo que satisfaz as condições de Gauss (vide referências 3 a 5, e 7 para maiores detalhes), temos a seguinte relação: f = R/2 (1) Fig.12: Lugares geométricos do espelho côncavo 2.2 Formação de Imagem em um Espelho Côncavo Para podermos estudar a formação de imagem em um espelho côncavo, precisamos primeiro conhecer a trajetória dos 4 raios notáveis do espelho, através dos quais é possível construir graficamente a imagem de um objeto frontal ao espelho, de pequenas dimensões em comparação com o raio de curvatura R. Temos então: a) Um raio paralelo ao eixo principal se reflete passando pelo ponto focal F. b) Um raio que passa pelo ponto focal F se reflete paralelo ao eixo principal. c) Um raio que passa pelo centro de curvatura C se reflete retornando pelo mesmo caminho. d) Um raio que tem seu ponto de reflexão na interseção do espelho com o eixo principal, centro do espelho, se reflete simetricamente em relação ao eixo central. Fig.13: Trajetória dos raios notáveis a e b para um espelho côncavo. Conhecidos os quatro raios notáveis, vamos estudar os cinco casos distintos de formação de imagem em um espelho côncavo baseados na posição em que o objeto se encontra no eixo principal do espelho. Isto é, o objeto pode se encontrar: entre o foco e o espelho; no foco; entre o foco e o centro de curvatura; no centro de curvatura; e além do centro de curvatura. A determinação geométrica da imagem se dá no cruzamento de dois raios notáveis (se a imagem se formar na frente do espelho), ou no cruzamento da extensão de dois raios notáveis (no caso da imagem formar-se atrás do espelho). 23-6 Fig.14: Trajetória dos raios notáveis c e d para um espelho côncavo. A imagem formada costuma ser classificada segundo os seguintes parâmetros: a) DIREITA ou INVERTIDA: isto é, se a imagem possui a mesma orientação do objeto (seta apontando no mesmo sentido) ou orientação contrária. b) REAL ou VIRTUAL: isto é, se a imagem formou-se na frente do espelho, ou atrás dele. c) MAIOR ou MENOR: isto é, se a imagem foi ampliada ou reduzida com relação ao tamanho do objeto. Além disso, representamos a distância do objeto à superfície do espelho pela letra minúcula o, e a distância da imagem à superfície do espelho pela letra minúscula i, e estas distâncias estão relacionadas à distância focal f pela equação de Gauss para espelhos esféricos: (2) 2.2.1 Objeto entre o espelho e o foco Este é o caso mais comum de uso de espelhos côncavos, devido ao fato da imagem ser ampliada. Temos imagem ampliada em outros casos, mas só aqui ela é direita e virtual. Fig.15: A imagem formada é direita, virtual e maior. 2.2.2 Objeto no foco Quando o objeto está no foco, os raios refletido saem paralelos, e portanto, não se cruzam. Logo não temos a formação de uma imagem, pois pela definição de retas paralelas, a imagem se forma no infinito. Neste caso, dizemos que temos uma imagem imprópria. Temos então uma descontinuidade no foco, e ela pode ser notada pela eq. 2 se igualarmos a distância o à distância f: 23-7 2.3.1 O que vemos quando nos posicionamos entre o foco e o espelho? Colocamos a lente do olho no lugar do objeto da Fig.5, e tratamos a imagem formada como um objeto real para lente. Quando estamos entre o espelho e o foco, caso de uso mais comum de um espelho côncavo, como em espelhinhos de banheiro por exemplo, o olho conjuga uma imagem real e invertida na retina. Portanto nos enxergamos direito. Fig.21: O olho conjuga uma imagem real e invertida na retina. 2.3.2 O que vemos quando nos posicionamos no foco do espelho côncavo? Quando estamos no foco do espelho, nosso olho recebe os raios refletidos, e estes estão todos paralelos entre si. A lente de nosso olho refrata esses raios, conjugando sobre o plano focal da lente uma imagem real e invertida na retina. Portanto nos enxergamos direito, e não percebemos nenhuma descontinuidade como fora previsto na seção 2.2.2. Fig.22: Os raios refletidos são paralelos entre si. A imagem formada na retina é real e invertida. 2.3.3 O que vemos quando nos posicionamos entre o foco e o centro de curvatura? A imagem formada na Fig.7 passou a ser um objeto virtual para o olho. Este conjuga os raios refletido pelo espelho, formando sobre a retina uma imagem real e invertida. Logo, nos enxergamos direito. Note que havíamos previsto nas seções 2.2.1 à 2.2.3 que a imagem era direita entre o espelho e o foco, e passava a ser invertida entre o foco e o centro de curvatura, havendo um descontinuídade no foco. Entretanto, ao inserirmos a lente de nosso olho no sistema, a descontinuidade desaparece, como visto na seçào anterior. É importante lembrar sempre que o que vemos são imagens reais em nossa retina. Assim, nos enxergamos direito, antes e depois do foco. 23-10 Fig.23: A imagem formada na retina é real e invertida. 2.3.4 O que vemos quando nos posicionamos além do centro de curvatura? A imagem formada na Fig.9 passou a ser um objeto real para nosso olho. Este conjuga uma imagem real e direita do nosso rosto na retina. Portanto nos enxergamos invertidos. Há então uma descontinuídade no centro de curvatura, pois estávamos nos enxergando direito até ele, e ao passarmos por ele passamo a anos enxergar invertidos. Esta descontinuidade pode ser notada matematicamente, usando a equação de Gauss para lentes convergente, que é idêntica a eq. 2 para espelhos côncavos, com a diferença que agora, as grandezas i e o representam, respectivamente, as distâncias da imagem e do objeto ao centro da lente. E a grandeza f é a distância focal da lente. No centro de curvatura, de acordo com a Fig.8, o objeto e a imagem estão no mesmo ponto. Se substituirmos o objeto pela lente, e a tratarmos a imagem como um objeto para a lente, teremos que a distância o é igual a zero, pois o objeto está sobre a lente. Sendo a distância focal do olho, a separação entre o cristalino e a retina, que é uma constante, temos então: 1/f = 1/i + 1/o, com o = 0, f = constante isto implica em 1/i = 1/f + 1/0 logo, 1/i → ∞ => i → 0 A imagem também está sobreposta a lente, portanto nosso olho não consegue convergir esta imagem, hevando então uma descontinuidade no centro de curvatura. Fig.24: A imagem conjugada pelo olho é real e direita na retina. 23-11 3. O experimento 3.1 Montagem Para a realização deste experimento, utilizamos os seguintes materiais:  Um espelho côncavo de 1m de distância focal.  Um laser de He-Ne.  Um macaco para elevar o Laser a altura do espelho plano.  Um semi-espelho plano.  Um espelho plano.  Duas chapas metálicas para fixação dos materiais.  Um tripé.  Uma mesa.  Uma cadeira deslizante.  Parafusos e chaves Allen, porcas e arruelas.  Um cabo de vassoura.  Um rolo de fita crepe.  Um rolo de fita adesiva.  Uma trena.  Indicador de nível. Fig.25: Laser de He-Ne. Fig.26: Macaco utilizado para erguer o laser. Primeiramente, fez-se em uma oficina mecânica duas chapas metálicas que foram utilizadas para a fixação dos materiais. A primeira chapa é quadrada, de 40cm de lado, feita de aço de 2,0mm de espessura. Foi chumbado no verso da chapa, um bloco de aço com as se- 23-12 ao feixe do semi-espelho que está fixo.Usando o ajuste fino do espelho plano, posicionamos seu feixe sobre a outra marca. Dessa forma temos dois feixes paralelos entre si. Fig.31: Único ajuste possível ao semi-espelho é a rotação. Fig.32: Suporte do espelho plano permite um ajuste fino da orientação. O último passo foi o alinhamento desses feixes com o eixo principal do espelho côncavo. Posicionando o espelho na trajetória dos feixes incidentes, e um anteparo (pode ser uma folha de papel) posicionado logo atrás do semi-espelho e do espelho plano, utilizamos os recursos de ajuste do tripé, para alinhar horizontalmente os feixes refletidos no espelho côncavo, com os pontos de reflexão dos feixes nos outros espelhos, de forma com que os feixes internos (dos espelhos planos) estejam centralizados com os feixes externos (do espelho côncavo). Isto garante o alinhamento dos feixes com o eixo principal do espelho côncavo. 3.3 Descrição do experimento Estando tudo montado e alinhado, com o chapa do laser sobre uma mesa, e com um tripé com o espelho côncavo a uns três metros da mesa, e com o feixe incidindo sobre o espelho, podemos começar o experimento. Primeiro, marcamos no chão, com fita crepe, o centro do tripé, pois ele indicará a posição do espelho. Utilizando um cabo de vassoura posicionando ele verticalmente, determinamos o foco do espelho com a convergência dos feixes refletidos no espelho em um único ponto sobre o cabo de vassoura. Com o auxílio do mesmo fazemos uma marca no chão com fita crepe, para indicar a posição do foco. Medimos com a trena a distância entre a marca do espelho, e a marca do foco, para determinar a distância focal do espelho côncavo. Sabendo a distância, marcamos o centro de curvatura, sabendo que o raio de curvatura é duas vezes a distância focal. Traçamos uma reta, unindo estes pontos, para servir de orientação ao eixo principal do espelho. 23-15 Pedimos então a uma pessoa que deseja participar do experimento para que sente-se numa cadeira posicionada entre o laser e o espelho, e sobre o eixo traçado no chão. Aconselha-se desligar o laser neste momento para segurança do participante, pois se o laser incidir sobre o olho da pessoa, pode causar danos a sua visão. A pessoa estará de frente para o espelho côncavo, sentada em uma cadeira deslizante que permite regulagem de altura, bem próxima ao espelho. Liga-se o laser, a ajusta-se a altura do participante, de forma a termos o laser incidindo sobre sua nuca. Dessa forma, garante-se que o olho do participante vai estar sempre na altura do eixo principal do espelho.Isto é importante, pois conforme a pessoa for se afastando e verificando a física descrita na seção 2, fica difícil manter um contato visual com a imagem do rosto no espelho se ela não estiver devidamente alinhada. Conforme o participante realiza o experimento, a teoria é explicada, auxiliada por um painel, com as principais figuras (ver seção 1). 4. Conclusão Espera-se ter sido esclarecido com a realização do experimento, que para determinarmos o que de fato vemos num espelho côncavo, precisamos incluir uma lente convergente, correspondente ao olho humano, no sistema de determinação geométrica de imagem. 5. Referências [1] - Revista Brasileira de Ensino de Física; Jan – Mar 2004; Volume 26, Nº1. [2] – SBF Publicações (http://pcsbf1.sbfisica.org.br/rbef/) – Site que permite o download da referência [1]. [3] - Coleção Objetivo; Sistema de Métodos de Apredizagem, Óptica; Livro 12. [4] - Halliday D., Resnick R., Walker J.; Fundamentos de Física vol.4; Óptica e Física Moderna; 4ª Edição. [5] - Tipler P.; Física vol.2; Eletricidade e Magnetismo, Ótica, 4º Edição. [6] – Feira de Ciências – Óptica Geométrica (http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/ 09_OG03.asp) – Site completo sobre espelhos esféricos (veja 6.Apêndice) 23-16 6. Apêndice Óptica Geométrica (Parte 3 - Espelhos Esféricos) Prof. Luiz Ferraz Netto leobarretos@uol.com.br Preliminares Denominaremos por espelho esférico qualquer porção de uma superfície esférica capaz de exibir, em predominância, o fenômeno da reflexão regular. Portanto, o espelho esférico constitui uma região de uma casca esférica, isto é, uma calota esférica onde se verifica condições para que se dê com máxima intensidade o fenômeno da reflexão regular da luz. Consideraremos que o espelho seja obtido, sempre, pela intersecção de uma superfície esférica com um plano secante, como indica a Fig.15-esquerda. Se a superfície refletora está voltada para o centro da superfície esférica, que contém o espelho dado, este denomina-se espelho côncavo (internamente refletor)-- Fig.15-centro --; se a superfície refletora é a que não esta voltada para o centro, o espelho é dito espelho convexo (externamente refletor)-- Fig.15-direita. Elementos geométricos 23-17 Condições de nitidez de Gauss Lembramos que, um sistema óptico é dito estigmático, quando a um ponto objeto ele conjuga um único ponto imagem, como é o caso do espelho plano. Lembramos ainda que, um sistema óptico é dito aplanético quando, a um objeto plano frontal ele conjuga uma imagem plana frontal, como é o caso do espelho plano. Introduziremos mais um conceito: um sistema óptico é dito ortoscópico, quando a um objeto plano ele conjuga uma imagem plana, geometricamente semelhante ao objeto, como é o caso do espelho plano. Espelho plano é estigmático, aplanético e ortoscópico. A prática põe em detalhe que, os espelhos esféricos só em determinadas circunstancias podem ser considerados (e ainda aproximadamente) estigmáticos, aplanéticos e ortoscópicos. Essas circunstâncias especiais são conhecidas como condições de nitidez de Gauss, a saber: Os raios incidentes devem ser PARA-AXIAIS, isto é, raios próximos ao eixo principal, paralelos ou pouco inclinados em relação a ele. Conseqüências das condições de Gauss Destas condições conclui-se que: a) a parte realmente útil no espelho esférico de Gauss é uma pequena região da calota esférica em torno do vértice, ou seja, um espelho esférico de abertura bastante reduzida ( < 10o). b) A necessária obediência às condições de Gauss cria uma dificuldade no que diz respeito à construções de imagens. Realmente, os raios de luz para-axiais se acumulam em torno do eixo principal, pois a incidência se dá muito próxima ao vértice. Assim sendo, as intersecções dos raios refletidos ficam muito mal definidas, tornando praticamente impossível o traçado de raios para a construção de imagens. Para contornar essas conseqüências das condições de Gauss, adota-se um artifício de representação gráfica, que consiste em aumentar consideravelmente a escala dae figuras, na direção transversal ao eixo principal, ou seja.: b.1) ampliar as dimensões transversais do espelho, junto ao vértice, e b.2) conservar as dimensões longitudinais do espelho. -- Fig.20. 23-20 Assim sendo os espelhos esféricos côncavos e convexos, passam a ser representados como se indicam nas fig.21-esquerda e Fig.21-direita, respectivamente. Bem, agora você já sabe porque, na lousa e nos livros, os espelhos esféricos são 'desenhados' como um segmento de reta 'vertical' que leva as 'curvinhas' nas extremidades. Nessa representação as distâncias 'horizontais' podem estar em verdadeira grandeza, mas as 'verticais' não!. Houve ampliação nessa direção. Focos, distância focal e plano focal Foco principal objeto (F): De um espelho esférico é um ponto do eixo principal ao qual o espelho conjuga imagem no infinito, sobre o eixo principal. - Fig.22(a). Foco principal imagem (F'): De um espelho esférico é um ponto do eixo principal conjugado pelo espelho, de um ponto objeto no infinito, sobre o eixo principal. - Fig.22(b). Distâncias focais (f, f'): As distâncias FV e F'V (distâncias entre foco e vértice do espelho) são denominadas respectivamente, distancia focal objeto (f) e distancia focal imagem (f'). Nota 1: Nos espelhos esféricos, conclui-se pelo principio do caminho inverso, que os focos principais objeto e imagem coincidem (F = F'), donde f = f'. Por conseguinte, fala-se apenas em foco principal (F) e em distância focal (f). - fig.22(c). 23-21 Nota 2: Todo o exposto acima relativo a pontos sobre o eixo principal, estende-se a qualquer ponto pertencente ao eixo secundário, definindo-se então foco secundário (Fs). Ao contrário do foco principal, que é único, existem infinitos focos secundários. -- Fig.23(a). Todos os focos secundários e mais o foco principal definem nos espelhos, em geral, uma superfície cujo vértice é o foco principal, denominada superfície focal.(Veja adiante, aberração de esfericidade). No caso particular dos espelhos de Gauss, que são os que nos interessam considerar, tal superfície pode ser representada por um plano frontal ao espelho, que é denominada plano focal (). -- Fig.23(b). 23-22 (P-6) Um raio de luz (i) que incide passando por um foco secundário, reflete-se (r), paralelamente ao eixo secundário correspondente. -- Fig.30 (a) e (b). Notas: a) A imagem P' de um ponto é determinada, em geral, pelas propriedades (P-1) e (P-2); uma terceira propriedade pode ser aplicada como confirmação. Exemplo: Determinar a imagem P' que o espelho esférico côncavo EÊC conjuga, para o ponto objeto P, dado. -- Fig.31. (P-1): incidente (i1) paralelo a ep ; refletido (r1) passando por F. (P-2): incidente (i2) passando por C; refletido (r2) passando por C. (P-3): incidente (i3) passando por F; refletido (r3) paralelo a ep. <=== confirmação! b) A imagem A'B', de um objeto retilíneo e frontal AB (B pertence ao eixo principal) é também retilínea e frontal (propriedade do aplanetismo) ; B' pertence ao eixo principal (propriedade P-2 aplicada ao eixo principal) e A' determina-se pelas P-1 e P-2. Exemplo: Dado o objeto retilíneo frontal AB, determinar sua imagem A'B', conjugada pelo espelho esférico E. -- Fig.32. 23-25 c) A imagem P' de um ponto P dado, no eixo principal, é determinada pelas propriedades P-2 e P-6 (técnica do Fs) ou determinando-se a imagem P'T' de um objeto auxiliar frontal PT. Exemplo: Obter a imagem P' do ponto objeto P, formada pelo espelho esférico E, pelas duas técnicas. -- Fig.33 (a) e (b). d) A imagem A'B', com relação ao objeto AB, será direita, se ambos pertencem ao mesmo semi-plano determinado pelo eixo principal (ou ambos têm mesmo sentido /|\o /|\i ou \|/o \|/i e, será invertida se pertencem a semi-planos opostos (têm sentidos opostos /|\o \|/i ou \|/o /|\i). 2- Determinação geométrica das imagens Para a determinação geométrica de imagens,consideraremos as diferentes posições que o objeto pode assumir, em relação ao foco principal e ao centro de curvatura. Apesar de tomarmos para o objeto ora natureza REAL, ora VIRTUAL, acentuamos, no entanto, que são muito mais importantes os casos em que o objeto é REAL. --- Fig. 34 até Fig. 39, (a) e (b). Vejamos os diferentes casos: C1) Objeto além do centro de curvatura: 23-26 C2) Objeto apoiado no centro de curvatura: C3) Objeto entre o centro de curvatura e o foco principal: C4) Objeto no plano focal: C5) Objeto entre o foco e o vértice (espelho): 23-27 As alturas do objeto e da imagem, no sistema de referência acima citado, serão as ordenadas y e y'. As naturezas para objeto e imagem, ficam condicionadas aos sinais das abscissas x e x'. A determinação analítica das imagens ficará, então, condicionadas pelos seguintes itens: a) fixação de um referencial para caracterizar as posições do objeto e imagem; b) uma 'equação de conjugação' que permita obter a abscissa da imagem, quando são dados a abscissa do objeto e um elemento que caracteriza o espelho (a abscissa do foco principal); c) uma 'equação de aumento linear transversal', que permita obter a ordenada da imagem, quando são dados a ordenada do objeto e um elemento que caracteriza o espelho esférico. Citaremos para o item (a), dois sistemas de coordenadas de uso habitual, a saber: o referencial de Gauss e o referencial de Newton. 1- Referencial de Gauss É constituído por um par de eixos ortogonais Op e Oy, com origem no vértice do espelho esférico. Op coincide com o eixo principal e o sentido positivo desse eixo é sempre 'contrário' ao da luz incidente (que se admite, arbitrariamente, incidindo da esquerda para a direita do observador). - Fig. 45. Abscissa (p) : origem: vértice do espelho; direção: eixo principal; sentido: contra a luz incidente Ordenada (y): origem: vértice do espelho; direção: perpendicular ao eixo principal; sentido: de baixo para cima Indicando-se por p e p', respectivamente, as abscissas do objeto e da imagem no referencial de Gauss, percebe-se que os valores dessas são positivos, quando a natureza é real e negativos, quando a natureza é virtual. Indicando-se por y e y', respectivamente, as ordenadas (tamanhos) do objeto e imagem, percebe-se que esses valores têm sinais contrários, quando a imagem é invertida em relação ao objeto, e têm mesmo sinal, quando a imagem é direita em relação ao objeto, conforme se ilustra no quadro abaixo: 23-30 Objeto p > 0 real p < 0 virtual Imagem p' > 0 real p' < 0 virtual Imagem direita y.y.' > 0 Imagem invertida y.y' < 0 maior y' > y menor y'<y igual y' = y espelho côncavo f > 0 espelho convexo f < 0 Exemplo: Seja dado um objeto de 2 cm de altura disposto perpendicularmente ao eixo principal, a 20 cm de um espelho côncavo de distância focal 10 cm. Sobre a imagem conjugada pelo espelho esférico sabe-se que, sua altura é de 1cm, invertida e se situa a 5 cm atrás do espelho. Caracteriza quantitativamente objeto e imagem no referencial de Gauss. Solução: A respeito do objeto tem-se: y = + 2cm, p = + 20 cm e f = + 10 cm. A respeito da imagem tem-se: y' = - 1 cm e p' = - 5 cm. A equação de conjugação ou equação dos pontos conjugados, na forma gaussiana, é: 1/p + 1/p' = 1/f , que relaciona a abscissa do objeto, a abscissa da imagem e a distância focal do espelho esférico dado. A título de demonstração, o que se segue é dispensável sob o ponto de vista da Matemática, pois é encaminhada a partir de uma construção particular (P real, P' real e E.E.Côncavo), porém, sob o ponto de vista Físico é altamente recomendável para salientar as aproximações práticas das condições de Gauss. Acompanhe pela Fig. 46. 23-31 2 - Referencial de Newton É constituído, também, por um par de eixos cartesianos ortogonais, dispostos em relação ao espelho esférico, como se ilustra na Fig. 47 (a) e (b): Abscissa (x) : origem no foco principal, direção do eixo principal e sentido oposto ao da luz incidente. Ordenada (y): origem no foco principal, direção ortogonal ao eixo principal e sentido para cima. As abscissas newtonianas que localizam o objeto e a imagem são indicadas por x e x', respectivamente; as ordenadas são y e y', exatamente as mesmas do referencial de Gauss. Observe que os referenciais de Gauss e de Newton diferem apenas por uma 'translação' definida pelas relações: x = p - f e x' = p' - f que são as relações de conversão de um sistema para o outro. Tendo-se presente a equação de conjugação de Gauss ( 1/f = 1/p + 1/p' ) e as relações de conversão acima, a equação de conjugação de Newton pode ser obtida assim: p = x + f , p' = x' + f levadas na equação de Gauss: 1/f = 1/(x +f) + 1/(x' + f) ; desenvolvendo, obtém-se: f2 + fx + fx' + xx' = 2.f2 + fx + fx' , o que resulta na equação de Newton: f2 = x.x' . A Fig. 48 resume essa conclusão: Aumento linear transversal Entende-se por aumento linear transversal da imagem, em relação ao objeto, à relação entre o tamanho da imagem (ordenada da imagem) e o tamanho do objeto (ordenada do objeto); assim: A.L.T. = i/o = y'/y 23-32 Realmente, se o facho for divergente, perde-se em aclaramento à medida que o objeto iluminado se afasta da fonte. Coloca-se então o filamento(pequeno, mas de grande potência) no foco de um espelho parabólico. Destarte, obtém-se um facho luminoso rigorosamente paralelo ao eixo principal. A fim de evitar-se que exista, ao lado do facho paralelo, um outro desnecessário, divergente, coloca-se na frente do filamento um pequeno espelho esférico côncavo de modo que o filamento se situe exatamente no centro de curvatura deste. Assim, como na mesma posição forma-se uma imagem real do filamento, além de eliminar o facho parasita, duplicamos a intensidade luminosa. Os holofotes são largamente empregados na navegação noturna, aérea e marítima, na defesa antiaérea etc. Nos faróis de automóveis, pelas mesmas razoes acima apresentadas, utilizam-se espelhos parabólicos. c- Telescópios Nos telescópios astronômicos, utilizam-se espelhos parabólicos que convergem para o foco os raios, praticamente paralelos, provenientes de um astro. Com isso melhoramos muito as condições de visualização dos astros. Nos grandes observatórios, como em Monte Palomar, os telescópios não são para observação direta, pois nossos órgãos visuais são muito pouco sensíveis. Os raios refletidos pelo espelho são recolhidos em uma chapa fotográfica, onde fica registrada a imagem do astro. É lógicos que, para isso, o tempo de exposição deve ser suficientemente longo e as películas altamente sensíveis; já foi possível, com esses dispositivos, registrar galáxias situadas a 1022 Km da Terra. É comum nos grandes observatórios associar-se um espectroscópio ao telescópio, o que permite a análise espectral da luz proveniente dos astros examinados. Espelhos elípticos A superfície refletora dos espelhos elípticos é um elipsóide de revolução. Numa seção principal esses espelhos ficam representados por uma elipse. Os espelhos elípticos são rigorosamente estigmáticos em relação aos seus focos, F e F' que são conjugados entre si. Assim, qualquer raio que passe por F, incidindo no espelho, obrigatoriamente se reflete passando por F' e vice-versa; fig. 51. Os espelhos elípticos são utilizados na iluminação de palcos de teatro. Num dos focos do espelho se situa o objeto a ser iluminado e no outro a fonte. 23-35 Espelhos cilíndricos e cilindro-parabólicos Os espelhos cilíndricos são aqueles em que a superfície refletora é uma porção de um cilindro. Os espelhos cilindro-parabólicos apresentam uma superfície refletora que deriva do movimento de uma parábola ao longo de um eixo. Numa secção principal os primeiros são representados por arcos de circunferência e os últimos por parábolas. Tanto os espelhos cilíndricos como os espelhos cilindro-parabólicos são denominados anamórficos, porque fornecem dos objetos imagens grotescas e deformadas. Por essa razão eles são encontrados nos chamados "palácios do riso", nos parques de diversão. 23-36 O que vemos quando nos miramos em um espelho côncavo?  What do we view looking to ourselves in a concave mirror? Fernando Lang da Silveira Instituto de Física - UFRGS Endereço eletrônico: lang@if.ufrgs.br Rolando Axt Departamento de Física, Estatística e Matemática - UNIJUÍ Marcelo Antônio Pires Colégio Anchieta - Porto Alegre Endereço eletrônico: maikida@ig.com.br Resumo. É bem compreendido em óptica que, para ver nossa face em um espelho, o olho deve estar posicionado de tal modo que a luz proveniente da face possa entrar nele após sofrer reflexão. Se posicionamos nosso rosto entre um espelho côncavo e o seu plano focal, o rosto aparece direito e maior do que em um espelho plano. Esta constatação não conflita com o conhecimento que temos sobre óptica geométrica. Mas, o que parece conflitar, é que também podemos nos ver direitos e aumentados posicionando-nos entre o foco e o centro de curvatura do espelho, pois neste caso a imagem conjugada pelo espelho é invertida. No presente artigo demonstramos conclusivamente que, para explicar o que de fato vemos quando nos miramos num espelho côncavo, devemos levar em consideração que a lente do nosso olho está interposta no caminho da luz. Abstract. It is well understood in optics that a person can view his image in a mirror, only if the eye is located so that light rays from the person can enter it after reflection. If we look to ourselves in a concave mirror, locating our face between the mirror and the focal plane, we see our face erect and greater than we would see it in a plane mirror. But it is somewhat unexpected that we still can see our face erect and greater, if it is positioned between the focal point and the center of curvature, in spite of the fact that the image from the mirror is now inverted. In this article we demonstrate conclusively that to correctly explain what we really see when we look to ourselves in a concave mirror, we must take into account that our eye’s lens is interposed in the light’s path.  - Publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 26, n. 1, p. 19-25 (2004). 1 que ocorre comumente quando utilizamos o espelho côncavo de banheiro (lembremos que tais espelhos possuem raios de curvatura da ordem de metro e que estamos posicionados a apenas alguns decímetros do mesmo). Nas onze figuras que se seguem tanto o rosto quanto a imagem dele estão representados por setas. Figura 1 - O espelho conjuga uma imagem virtual e direita do nosso rosto. Na figura 2, uma lente convergente representando o nosso olho de frente para o espelho, está colocada no mesmo lugar que a lente do olho de uma pessoa ocuparia se ela quisesse se olhar no espelho. A imagem virtual , conjugada pelo espelho, é um objeto real para a lente . A lente conjuga uma imagem real e invertida; ou seja, sobre a retina do nosso olho (não representada na figura) ocorre uma imagem real e invertida. É importante destacar que quando percebemos “objetos direitos” temos imagens invertidas na retina . Deixaremos para mais adiante a discussão sobre o tamanho das imagens. Figura 2 - A lente em nosso olho conjuga uma imagem real e invertida do nosso rosto na retina. IV - Mirando-nos no espelho côncavo, posicionados entre o foco e o centro de curvatura Na figura 3 construímos graficamente a imagem do nosso rosto, conjugada pelo espelho côncavo, quando nos postamos entre o foco e o centro de curvatura. Obtemos então uma imagem real e invertida (lembremos que tanto o rosto quanto sua imagem estão representados por setas). 4 Figura 3 - O espelho conjuga uma imagem real e invertida do nosso rosto. A figura 4 representa a lente do olho interceptando os raios luminosos, provenientes de um ponto de nosso rosto e refletidos pelo espelho, antes da convergência dos mesmos. A figura não mostra o desvio que os três raios refletidos pelo espelho sofrem na lente do olho; as linhas tracejadas da figura indicam quais desses raios, ao emergirem da lente, não continuarão na direção de incidência sobre a lente. Estando a lente do olho na posição em que se encontra, a imagem real conjugada pelo espelho é um objeto virtual para o olho . Figura 4 - A imagem real conjugada pelo espelho côncavo é um objeto virtual para a lente do nosso olho. A figura 5 representa o traçado dos três raios principais que, incidindo na lente do olho, convergem e determinam uma imagem real (do objeto virtual indicado na figura 4). Esta imagem do nosso rosto, conjugada pela lente do olho, tem a mesma orientação do objeto virtual. Assim, temos uma imagem real e invertida do rosto na retina do nosso olho. 5 Figura 5 - A lente do olho conjuga uma imagem real e invertida do nosso rosto. Destaque-se que resulta na retina, independentemente de o rosto situar-se antes ou depois do foco (vide figuras 2 e 5), uma imagem invertida do rosto (portanto o percebemos direito). Ao passarmos pelo foco, afastando-nos do espelho, não há descontinuidade para a imagem conjugada pela lente do nosso olho na retina. O que existe é descontinuidade da imagem do nosso rosto que o espelho conjuga; entretanto, ao nos mirarmos no espelho, essa descontinuidade nunca é notada. Lembramos novamente da acaciana afirmativa: o que enxergamos são as imagens em nossa retina. Na próxima seção discutiremos o que vemos se estamos postados no plano focal do espelho côncavo. V - O que vemos quando nos postamos no plano focal do espelho côncavo? A figura 6 representa alguns raios refletidos quando o objeto (nosso rosto) situa-se no plano focal do espelho. Os raios refletidos, provenientes de um ponto do rosto, são paralelos entre si. Figura 6 - Quando nos posicionamos no plano focal do espelho, os raios refletidos pelo espelho, provenientes de um ponto do rosto, são paralelos entre si. Já a figura 7 representa a lente do nosso olho refratando os raios paralelos refletidos pelo espelho e conjugando, no plano focal da lente, uma imagem do nosso rosto invertida sobre a retina (portanto o percebemos direito). 6 curvatura (a orientação da imagem na retina inverte ao passarmos pelo centro de curvatura), mas não há descontinuidade ao passarmos pelo foco. VII - Comparação entre o que vemos em um espelho côncavo e em um espelho plano A seguir analisaremos as imagens que temos na retina quando nos miramos em um espelho côncavo e em um espelho plano, igualmente afastados de ambos. O objetivo precípuo desta seção é obter a razão entre os tamanhos das imagens na retina quando nos olhamos nos dois espelhos. Começamos pelo espelho côncavo. A figura 11 representa uma das situações anteriormente discutidas. Sejam do e di as distâncias que separam o espelho do objeto (nosso rosto) e da imagem conjugada pelo espelho, respectivamente. A distância focal do espelho é f. Figura 11 - Distâncias e tamanhos dos objetos e imagens conjugadas pelo espelho e pela lente do nosso olho. Da “equação de Gauss para o espelho” (equação (1)), obtém-se facilmente fd df d o o i -  (3) Por outro lado, sabe-se que a razão entre os tamanhos H do objeto (nosso rosto) e H’ da imagem é i o d d H H -  (4) 9 Substituindo (3) em (4), obtém-se H fd fH o - - (5) A imagem do nosso rosto, conjugada pelo espelho, é um objeto para a lente do nosso olho. Conforme a figura 11, a distância (Do) que separa esse objeto (imagem do rosto conjugada pelo espelho) da lente é ioo ddD - (6) É importante destacar que a equação (6) é válida em qualquer uma das situações discutidas anteriormente e não apenas na que foi exposta na figura 8 (lembremos que di resulta negativo quando a imagem conjugada pelo espelho é virtual). Substituindo-se (3) em (6), obtém-se o o o o oo dfd fd fd fdD       - -       - - 21 (7) Para que tenhamos uma imagem real nítida na retina5, a distância entre a lente do nosso olho e a imagem do nosso rosto, conjugada pela lente, é sempre L (distância da lente do nosso olho à retina, que é constante e da ordem de dois cm). Para a lente do nosso olho a razão entre o tamanho do objeto (H’) e o tamanho da imagem na retina (h) é L D h H o-  (8) Substituindo-se (5) e (7) em (8), obtém-se   LHdfd fh oo - - 2 (9) Se, ao invés de nos mirarmos em um espelho côncavo, utilizássemos um espelho plano, situado à mesma distância (do) de nós que o espelho côncavo, a imagem que o espelho plano conjuga estaria a uma distância Do = 2do da lente do nosso olho. Essa imagem teria o mesmo tamanho do objeto (H’ = H) e é um objeto real para a lente do nosso olho. O tamanho da imagem que então teríamos na retina (h’) é dado por 5 - O cristalino nem sempre consegue produzir um sistema ótico com distância focal necessária à conjugação de uma imagem nítida na retina. Por exemplo, para a maioria das pessoas não existe acomodação visual se o objeto real estiver a menos de 25 cm do olho (distância mínima de visão distinta). Neste trabalho pressupomos que a acomodação visual sempre ocorra. 10 L d L D h H oo 2--  (10) Donde se obtém LH d h o2 1 - (11) Para comparar o que vemos ao nos mirarmos nos dois espelhos, calcularemos a razão (Κ) entre os tamanhos h e h’ das imagens na retina para o espelho côncavo e para o espelho plano, dadas por (9) e (11) respectivamente. Desta forma escrevemos   LH d LH dfd f h h o oo 2 1 2 - - -    (12) odf f h h -    2 2 (13) A figura 12 é o gráfico da razão Κ em função da distância que nos afasta dos espelhos em que nos miramos. Figura 12 - Razão entre os tamanhos das imagens na retina em função da distância que nos afasta dos espelhos. A razão Κ resulta ser igual a 2 quando nos postamos frente aos dois espelhos a uma distância (do) que é igual à distância focal do espelho côncavo (já obtivemos este resultado da 11 A fotografia da figura 15 foi obtida situando a objetiva da máquina fotográfica no plano focal do espelho côncavo. Ao lado do espelho côncavo, apenas um pouco mais atrás, está o espelho plano. Esta foto permite comparar o que se vê nos dois espelhos. De acordo com o que foi demonstrado nas seções anteriores, os tamanhos das imagens nos dois espelhos está na razão de um para dois. Percebe-se que somente ocorre imagem nítida em um dos dois espelhos: quando se focaliza a máquina para objetos no infinito, a imagem é nítida no espelho côncavo. Já quando se focaliza a máquina para objetos situados a cerca de duas vezes a distância que separa a objetiva da máquina do espelho plano, obtém-se nitidez no espelho plano, pois ele conjuga uma imagem virtual, à mesma distância do plano do espelho em que o objeto se encontra. Figura 15 - Comparação do que se vê em um espelho plano com o que se vê em um espelho côncavo, posicionando a objetiva da máquina fotográfica no plano focal do espelho côncavo. 14 IX - Conclusão Para entender aquilo que vemos em um sistema óptico, devemos incluir o olho nesse sistema. Demonstramos neste trabalho que analisar o que se enxerga em espelhos, lentes, etc, é mais complexo do que analisar as imagens conjugadas por tais sistemas sem levar em conta o olho. Nossa análise prova que, ao nos mirarmos no espelho côncavo, posicionados no seu plano focal, apesar de ocorrer uma descontinuidade da imagem de nosso rosto conjugada pelo espelho - vide a equação (3) com do igual a f -, a descontinuidade não acontece em nossa retina7. Este fato reiteradamente tem sido ignorado por idealizadores de problemas e questões que se referem ao que se vê em espelhos e lentes. Exemplificamos com a questão abaixo, que segundo Caron e Guimarães (2002), constou de uma prova do concurso vestibular da UFSC. Uma pessoa, a 40 cm de um espelho côncavo, se vê (grifo nosso) três vezes maior e com imagem direita. A distância focal do espelho é: a) 120 cm b) –60 cm c) 30 cm d) 60 cm e) 13,3 cm Uma pessoa que se vê direita, tem uma imagem na retina invertida. Como demonstramos anteriormente, isto acontece quando a pessoa se posiciona entre o centro de curvatura do espelho e o próprio espelho e não apenas - como presumivelmente imaginaram os idealizadores da questão - entre o foco do espelho e o espelho. Assim sendo, a questão tem duas respostas corretas: 60 cm (resposta dada como correta no gabarito do concurso vestibular) e 30 cm. Agradecimento. Agradecemos à Profa Maria Cristina Varriale pela leitura crítica deste artigo e pelas sugestões apresentadas. Bibliografia Caron, W. e Guimarães, O. As faces da Física. São Paulo: Moderna 2002. Dawkins, R. A escalada do monte improvável. São Paulo: Companhia das Letras. Gaspar, A. Física 2. São Paulo: Ed. Ática, 2001. Nussenzveig, H. M. Curso de Física Básica. São Paulo: Ed. Edgard Blücher, 1998. 7 - Quando utilizamos uma lente convergente como lupa, também ocorre uma descontinuidade na imagem conjugada pela lente, para um objeto no plano focal. Entretanto não ocorre descontinuidade da imagem na retina do usuário da lupa (qualquer pessoa que disponha de uma lupa pode submeter esta afirmação a teste empírico). Ao colocarmos o objeto no plano focal da lupa, a luz proveniente do objeto, refratada pela lente, atinge o olho como raios paralelos (ou levemente divergentes ou levemente convergentes se o objeto estiver um pouco antes ou um pouco depois do plano focal), permitindo que tenhamos uma imagem na retina sem acomodação visual do cristalino. Desconhecemos a existência de algum texto de ensino médio ou ensino superior que trate da lupa, analisando o que vemos através dela quando o objeto está localizado além do foco da lupa. 15