Apostila de Topografia

(Parte 1 de 4)

Luis Augusto Koenig Veiga Maria Aparecida Z. Zanetti Pedro Luis Faggion

TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion

Sumário	i
Lista de Figuras	v
Lista de Tabelas	ix

Sumário

1.1 Introdução	1
1.2 Sistemas de Coordenadas	3
1.2.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas	3
1.2.2 Sistemas de Coordenadas Esféricas	5
1.3 Superfícies de Referência	5
1.3.1 Modelo Esférico	5
1.3.2 Modelo Elipsoidal	6
1.3.3 Modelo Geoidal	7
1.3.4 Modelo Plano	8
1.3.4.1 Efeito da Curvatura na Distância e Altimetria	10
1.4 Classificação dos Erros de Observação	12
1.4.1 Erros Grosseiros	13
1.4.2 Erros Sistemáticos	13
1.4.3 Erros Acidentais ou Aleatórios	13
1.4.3.1 Peculiaridade dos Erros Acidentais	14
1.4.1 Precisão e Acurácia	14
2 REVISÃO MATEMÁTICA	15
2.1 Unidades de Medida	15
2.1.1 Medida de Comprimento (Metro)	15
2.1.2 Medida Angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos)	15
2.1.2.1 Radiano	15
2.1.2.2 Unidade Sexagesimal	16
2.1.2.3 Unidade Decimal	16
2.1.2.4 Exercícios	16
2.2 Revisão de Trigonometria Plana	18
2.2.1 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo	18
2.2.2 Teorema de Pitágoras	18
2.3 Exercícios	19
2.4 Relações Métricas com o Triângulo Retângulo	21
2.5 Exercício	2
2.6 Triângulo Qualquer	23
2.6.1 Lei Dos Senos	23
2.6.2 Lei Dos Cossenos	23
2.7 Exercício	23
3 ESCALAS	25
3.1 Principais Escalas e suas Aplicações	26
3.2 Exercício	27
3.3 Erro de Graficismo (Eg)	28
3.4 A Escala Gráfica	29
4 NORMALIZAÇÃO	31
4.1 Introdução	31
4.2 NBR 13133 – Execução de Levantamentos Topográficos	32

1 INTRODUÇÃO À TOPOGRAFIA 4.3 NBR 14166 – Rede de Referência Cadastral Municipal – Procedimento..........................3

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5 MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS	34
5.1 Medida Direta de Distâncias	34
5.1.1 Trena de Fibra de Vidro	34
5.1.2 Piquetes	35
5.1.3 Estacas Testemunhas	35
5.1.4 Balizas	35
5.1.5 Nível de Cantoneira	36
5.2 Cuidados na Medida Direta de Distâncias	36
5.3 Métodos de Medida com Trena	37
5.3.1 Lance Único	37
5.3.2 Vários Lances - Pontos Visíveis	37
5.4 Erros na Medida Direta de Distâncias	38
5.5 Medidas Indiretas de Distâncias	39
5.5.1 Taqueometria ou Estadimetria	39
5.5.1.1 Formulário Utilizado	40
5.5.2 Medição Eletrônica de Distâncias	42
5.5.2.1 Correções Ambientais das distâncias obtidas com MED	46
5.6 Exemplos da obtenção da correção	48
6 MEDIÇÃO DE DIREÇÕES	51
6.1 Ângulos Horizontais e Verticais	51
6.2 Medida Eletrônica de Direções	54
6.2.1 Introdução	54
6.2.2 Teodolito	54
6.2.2.1 Sistema de Eixos	5
6.2.2.2 Círculos Graduados (Limbos)	56
6.2.2.3 Luneta de Visada	56
6.2.2.4 Níveis	56
6.2.3 Princípio da Leitura Eletrônica de Direções	56
6.2.4 Sensor Eletrônico de Inclinação	57
6.3 Estações Totais	59
6.4 Métodos de Medida Angular	60
6.4.1 Aparelho não Orientado	60
6.4.2 Aparelho Orientado pelo Norte Verdadeiro ou Geográfico	60
6.4.3 Aparelho Orientado pela Bússola	60
6.4.4 Aparelho Orientado na Ré	60
6.4.5 Aparelho Orientado na Vante	61
6.4.6 Deflexão	61
6.5 Técnicas de Medição de Direções Horizontais	61
6.5.1 Simples	61
6.5.2 Pares Conjugados (PD E PI)	62
6.5.3 Medidas com Reiterações	63
6.5.4 Medidas com Repetição	64
6.6 Procedimento de Medida em Campo utilizando um Teodolito	68
6.6.1 Instalação do Equipamento	68
6.6.2 Focalização da Luneta	75
6.6.3 Leitura da Direção	76
6.7 Ângulos Verticais	76
7 ORIENTAÇÃO	7
7.1 Norte Magnético e Geográfico	7
7.2 Azimute e Rumo	78

i 7.2.1 Azimute ...........................................................................................................................78

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7.2.2 Rumo	78
7.2.3 Conversão entre Rumo e Azimute	79
7.2.4 Exercícios	80
7.3 Declinação Magnética	83
7.3.1 Cálculo da Declinação Magnética	83
7.3.2 Exemplos	84
7.3.3 Cálculo da Declinação Magnética utilizando Programa Computacional	87
7.3.4 Transformação de Norte Magnético em Geográfico e Vice-Versa	8
7.4 Bússolas	89
7.4.1 Inversão dos Pontos “E” e “W” da Bússola	90
7.4.2 Utilização da Bússola	90
7.4.3 Exercício	90
7.5 Métodos de Determinação do Norte Verdadeiro	91
7.6 Exercício	91
8 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO - PLANIMETRIA	92
8.1 Introdução	92
8.2 Cálculo de Coordenadas na Planimetria	93
9 TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO	95
9.1 Levantamento e Cálculo de Poligonais Fechadas	9
9.1.1 Levantamento da Poligonal	9
9.1.2 Cálculo da Poligonal	101
9.1.2.1 Verificação do Erro de Fechamento Angular	102
9.1.2.2 Cálculo dos Azimutes	103
9.1.2.3 Cálculo das Coordenadas Parciais	104
9.1.2.4 Verificação do Erro de Fechamento Linear	104
9.1.2.5 Correção do Erro Linear	106
9.1.2.6 Resumo do Cálculo da Poligonal Fechada	106
9.2 Poligonal Enquadrada	110
9.2.1 Exemplo	1
9.3 Irradiação	118
10 CÁLCULO DE ÁREAS	121
10.1 Processo Gráfico	121
10.2 Processo Computacional	121
10.3 Processo Mecânico	121
10.4 Processos Analíticos	122
1 MEMORIAL DESCRITIVO	128
12 NIVELAMENTO	130
12.1 Introdução	130
12.2 Levantamento Topográfico Altimétrico	133
12.2.1 Nivelamento Geométrico	136
12.2.1.1 Níveis	136
12.2.1.2 Miras	137
12.2.2 Métodos de Nivelamento Geométrico	139
12.2.2.1 Visadas Iguais	139
12.2.2.2 Método das Visadas Extremas	153
12.2.2.3 Método das Visadas Eqüidistantes	160
12.2.2.4 Método das Visadas Recíprocas	161
12.2.3 Nivelamento Trigonométrico	162
12.2.3.1 Nivelamento Trigonométrico para Lances Curtos	162
12.2.3.2 Nivelamento Trigonométrico para Lances Longos	163

i 13 INTRODUÇÃO AO DESENHO TOPOGRÁFICO ASSISTIDO POR

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COMPUTADOR	165
13.1 Introdução	165
13.2 Desenho Técnico	169

GEODÉSICA	173
15 REPRESENTAÇÃO DO RELEVO	177
15.1 Introdução	177
15.2 Métodos Para a Interpolação e Traçado das Curvas de Nível	183
15.2.1 Método Gráfico	183

iv 14 TERMOS TÉCNICOS UTILIZADOS EM INSTRUMENTAÇÃO TOPOGRÁFICA E 16 Bibliografia........................................................................................................................191

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Figura 1.1 - Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimétrico	2
Figura 1.2 - Sistema de coordenadas cartesianas	3
Figura 1.3 - Representação de pontos no sistema de coordenadas cartesianas	4
Figura 1.4 - Sistema de coordenadas cartesianas, dextrógiro e levógiro	4
Figura 1.5 - Sistema de coordenadas esféricas	5
Figura 1.6 - Terra esférica - Coordenadas astronômicas	6
Figura 1.7 - Elipsóide de revolução	6
Figura 1.8 - Coordenadas elipsóidicas	7
Figura 1.9 - Superfície física da Terra, elipsóide e geóide	7
Figura 1.10 - Vertical	8
Figura 1.1 - Plano em Topografia	9
Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direção notável	10
Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distância	10
Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria	1
Figura 1.15 - Precisão e acurácia	14
Figura 2.1 - Representação de um arco de ângulo	15
Figura 2.2 - Triângulo retângulo	18
Figura 3.1 - Quadrado 2u x 2u	26
Figura 4.1 - Logotipo ANBT e ISO	31
Figura 5.1 - Modelos de Trenas	34
Figura 5.2 - Representação da implantação de um piquete e estaca testemunha	35
Figura 5.3 - Exemplos de balizas	36
Figura 5.4 - Nível de cantoneira	36
Figura 5.5 - Medida de distância em lance único	37
Figura 5.6 - Exemplo de medida direta de distância com trena	37
Figura 5.7 - Medida de distância em vários lances	38
Figura 5.8 - Falta de verticalidade da baliza	39
Figura 5.9 - Exemplo de um teodolito	39
Figura 5.10 - Mira estadimétrica	40
Figura 5.1 - Determinação da distância utilizando estadimetria	41
Figura 5.12 - Princípio de medida de um MED	42

coordenadas polares e retangulares	43
Figura 5.14 - Dois sinais senoidais com a mesma amplitude e fases diferentes	4
Figura 5.15 - Modelo de prisma de reflexão total	45
Figura 5.16 - Alvo de reflexão através de superfície espelhada	45
Figura 5.17 - Alvo de reflexão difusa	46
Figura 5.18 - Ábaco utilizado para a obtenção da correção ambiental	48
Figura 5.19 - Ábaco utilizado para a obtenção da correção ambiental	49
Figura 6.1 - Leitura de direções e cálculo do ângulo	51
Figura 6.2 - Ângulo horizontal	51
Figura 6.3 - Pontaria para leitura de direções horizontais	52
Figura 6.4 - Ângulo vertical	52
Figura 6.5 - Ângulo zenital	53
Figura 6.6 - Ângulos horizontal e zenital	53
Figura 6.7 - Indicação da precisão de um teodolito	5
Figura 6.8 - Teodolito	5

Lista de Figuras Figura 5.13 - Representação da função trigonométrica envolvida em um sistema de Figura 6.9 - Modelo de limbo incremental...............................................................................57

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Figura 6.10 - Sistema de codificação absoluto	57
Figura 6.1 - Esquema do sensor de inclinação	58
Figura 6.12 - Detalhe do sensor de inclinação	58
Figura 6.13 - Estação Total	59
Figura 6.14 - Ângulo α	60
Figura 6.15 - Aparelho não orientado	60
Figura 6.16 - Aparelho orientado na estação ré	61
Figura 6.17 - Aparelho orientado na estação vante	61
Figura 6.18 - Deflexão	61
Figura 6.19 - Leitura por pares conjugados	62
Figura 6.20 - Leituras utilizando o método de reiteração – posição I	63
Figura 6.21 - Leituras utilizando o método de reiteração – posição I	63
Figura 6.2 - Leituras utilizando o método de reiteração – posição I	64
Figura 6.23 - Medida com repetição	65
Figura 6.24 - Direções medidas com o método de repetição	6
Figura 6.25 - Direções medidas com o método de repetição, segundo exemplo	6
Figura 6.26 - Exemplificando o método de repetição	67
Figura 6.27 - Marco de concreto	68
Figura 6.28 - Chapa metálica com a indicação do ponto topográfico	69
Figura 6.29 - Disposição dos equipamentos enquanto não utilizados	69
Figura 6.30 - Movimento de extensão das pernas do tripé	69
Figura 6.31 - Cravando o tripé no solo	70
Figura 6.32 - Cuidados a serem seguidos na instalação do tripé	70
Figura 6.3 - Retirando o instrumento da caixa	70
Figura 6.34 - Fixando o equipamento ao tripé	71
Figura 6.35 - Eixo principal do equipamento passando pelo ponto	71
Figura 6.36 - Níveis esférico, tubular e digital	72
Figura 6.37 - Posicionando o prumo sobre o ponto	72
Figura 6.38 - Ajustando o nível de bolha utilizando os movimentos de extensão do tripé	72
Figura 6.39 - Calagem da bolha do nível esférico	73
Figura 6.40 - Nível alinhado a dois calantes	73
Figura 6.41 - Movimentação dos dois calantes ao mesmo tempo, em sentidos opostos	73
Figura 6.42 - Alinhamento do nível ortogonalmente à linha inicial	74
Figura 6.43 - Calagem da bolha atuando no parafuso ortogonal a linha inicial	74
Figura 6.4 - Retículos focalizados	75
Figura 7.1 - Campo magnético ao redor da Terra	7
Figura 7.2 - Representação do azimute	78
Figura 7.3 - Representação do rumo	78
Figura 7.4 - Representação do rumo em função do azimute	79
Figura 7.5 - Representação da declinação magnética	83

respectivas legendas	86
Figura 7.7 - Tela principal do programa ELEMAG	87
Figura 7.8 - Resultados de Curitiba	87
Figura 7.9 - Resultados de Foz do Iguaçu	8
Figura 7.10 - Transformação de azimute e rumo magnético para verdadeiro e vice-versa	89
Figura 7.1 - Teodolito TC100 com bússola	89
Figura 8.1 - Diferentes formas de materialização de pontos	92
Figura 8.2 - Monografia de ponto topográfico	93
Figura 8.3 - Representação da projeção da distância D em X (ΔX) e em Y (ΔY)	93

vi Figura 7.6 - Exemplo de apresentação de um mapa de declinação magnética com as Figura 8.4 - Representação de uma poligonal e suas respectivas projeções.............................94

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Figura 9.1 - Levantamento de uma poligonal	95
Figura 9.2 - Poligonal fechada	96
Figura 9.3 - Poligonal enquadrada	96
Figura 9.4 - Poligonal aberta	96

poligonal	97
Figura 9.6 - Pontos com coordenadas conhecidas entre pontos da poligonal	97
Figura 9.7 - Um vértice de apoio pertencente a poligonal e observação a um segundo
vértice	97
Figura 9.8 - Norte geográfico e um ponto com coordenadas conhecidas	98
Figura 9.9 - Transporte de coordenadas utilizando uma poligonal de apoio	98
Figura 9.10 - Problema de Pothénot	98
Figura 9.1 - Eixo Y orientado segundo um alinhamento de meio fio	9
Figura 9.12 - Ângulos externos e internos de uma poligonal fechada	9
Figura 9.13 - Ângulos de deflexão de uma poligonal fechada	100
Figura 9.14 - Estação ré e vante	100
Figura 9.15 - Medida do ângulo horizontal	101
Figura 9.16 - Cálculo das coordenadas	101
Figura 9.17 - Pontaria em baliza próxima ao equipamento e longe	103
Figura 9.18 - Cálculo do azimute	103
Figura 9.19 - Erro Planimétrico	104
Figura 9.20 - Decomposição do erro planimétrico	104
Figura 9.21 - Desenho da poligonal	110
Figura 9.2 - Desenho da poligonal enquadrada	1
Figura 9.23 - Configuração da poligonal levantada no Centro Politécnico	113
Figura 9.24 - Método de Irradiação	118
Figura 9.25 - Levantamento por irradiação	119
Figura 9.26 - Exemplo de caderneta de campo de levantamento de detalhes	119
Figura 9.27 - Croqui	120

equivalentes	121
Figura 10.2 - Planímetro digital	122
Figura 10.3 - Cálculo de áreas	123
Figura 10.4 - Cálculo da área de um trapézio	123
Figura 10.5 - Trapézio 2 1 1	124
Figura 10.6 - Forma de multiplicação dos valores	126
Figura 12.1 - Cota e altitude	130
Figura 12.2 - Rede Altimétrica Brasileira	132
Figura 12.3 - Referência de nível - RN 2053-D	132
Figura 12.4 - Amostragem de pontos altimétricos e representação do relevo	135
Figura 12.5 - Eixos do nível	136
Figura 12.6 - Diferentes modelos de miras	137
Figura 12.7 - Convenção para a indicação do metro para a mira utilizada	138
Figura 12.8 - Mira e leituras	138
Figura 12.9 - Nivelamento geométrico – método das visadas iguais	140
Figura 12.10 - Nível a igual distância entre os pontos	140
Figura 12.1 - Nível em duas alturas diferentes	141
Figura 12.12 - Erro de colimação e curvatura terrestre	141
Figura 12.13 - Lance	142
Figura 12.14 - Seção	142

vii Figura 9.5 - Dois pontos com coordenadas conhecidas e vinculadas ao SGB comuns a Figura 10.1 - Cálculo de área por métodos gráficos: quadriculado e figuras geométricas Figura 12.15 - Rede, circuito e linha de nivelamento.............................................................143

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Figura 12.16 - Nivelamento simples e composto	143
Figura 12.17 - Leituras efetuadas e distância calculada	144
Figura 12.18 - Caderneta modelo G4 de nivelamento geométrico	145
Figura 12.19 - Preenchimento da caderneta	145
Figura 12.20 - Rotacionando a mira durante o nivelamento composto	147
Figura 13.1 - Croqui e desenho final	165
Figura 13.2 - Exemplos de convenções topográficas	167
Figura 13.3 - Diferentes formas de indicação do norte	167
Figura 13.4 - Diferentes representações para uma mesma área	168
Figura 13.5 - Divisão do desenho em camadas	168
Figura 13.6 - Camadas auxiliares	169
Figura 13.7 - Folhas na horizontal e vertical	169
Figura 13.8 - Espaços para desenho, texto e legenda	170
Figura 13.9 - Exemplo de legenda	171
Figura 13.10 - Exemplo de quadriculado	172
Figura 15.1 - Diferentes formas de representação do relevo	177
Figura 15.2 - Pontos cotados	177
Figura 15.3 - Interseção de um plano vertical com o relevo	178
Figura 15.4 - Perfil	178
Figura 15.5 - Interseção do plano horizontal com a superfície física	179
Figura 15.6 - Elevação e depressão	180
Figura 15.7 - Curvas mestras e secundárias	180
Figura 15.8 - Curvas de nível “lisas”	181
Figura 15.9 - Erro na representação das curvas: cruzamento	181
Figura 15.10 - Erro na representação das curvas: encontro de curvas	181
Figura 15.1 - Representação de relevos com diferentes inclinações	182
Figura 15.12 - Representação tridimensional do relevo e curvas de nível	182
Figura 15.13 - Representação a partir dos pontos obtidos em campo	183
Figura 15.14 - Interpolação da cota de um ponto	183
Figura 15.15 - Diagrama de linhas paralelas	184
Figura 15.16 - Interpolação das curvas empregando diagrama de linhas paralelas	184
Figura 15.17 - Traçado de uma reta r com comprimento igual ao desnível entre os pontos
A e B	185
Figura 15.18 - Retas paralelas ao segmento AB	185
Figura 15.19 - Exemplo de interpolação numérica	186
Figura 15.20 - Resultado da interpolação numérica para o segmento AB	186
Figura 15.21 - Interpolação e desenho das curvas em uma célula da malha quadrada	187
Figura 15.2 - Ambigüidade na representação em uma célula da malha quadrada	187
Figura 15.23 - Malha triangular	188

viii Figura 15.24 - Triangulação. ..................................................................................................188

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Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distâncias	1
Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria	12
Tabela 2.1 - Prefixos	15
Tabela 3.1 - Principais escalas e suas aplicações	27
Tabela 3.2 - Representação da precisão da escala	29
Tabela 5.1 - Precisão das trenas	37
Tabela 6.1 - Classificação dos teodolitos	54
Tabela 7.1 - Valor da fração do ano	84
Tabela 9.1 - Poligonal topográfica enquadrada	112

anterior	112
Tabela 13.1 - Formatos da série A	170

Lista de Tabelas Tabela 9.2 - Coordenadas dos pontos de partida e de chegada obtidas em levantamento Tabela 15.1 - Escala e eqüidistância.......................................................................................179

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1.1 - INTRODUÇÃO

O homem sempre necessitou conhecer o meio em que vive, por questões de sobrevivência, orientação, segurança, guerras, navegação, construção, etc. No princípio a representação do espaço baseava-se na observação e descrição do meio. Cabe salientar que alguns historiadores dizem que o homem já fazia mapas antes mesmo de desenvolver a escrita. Com o tempo surgiram técnicas e equipamentos de medição que facilitaram a obtenção de dados para posterior representação. A Topografia foi uma das ferramentas utilizadas para realizar estas medições.

Etimologicamente a palavra TOPOS, em grego, significa lugar e GRAPHEN descrição, assim, de uma forma bastante simples, Topografia significa descrição do lugar. A seguir são apresentadas algumas de suas definições:

“A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e métodos utilizados para obter a representação gráfica de uma porção do terreno sobre uma superfície plana” DOUBEK (1989)

“A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante da esfericidade terrestre” ESPARTEL (1987).

O objetivo principal é efetuar o levantamento (executar medições de ângulos, distâncias e desníveis) que permita representar uma porção da superfície terrestre em uma escala adequada. Às operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para a posterior representação, denomina-se de levantamento topográfico.

A Topografia pode ser entendida como parte da Geodésia, ciência que tem por objetivo determinar a forma e dimensões da Terra.

Na Topografia trabalha-se com medidas (lineares e angulares) realizadas sobre a superfície da Terra e a partir destas medidas são calculados áreas, volumes, coordenadas, etc. Além disto, estas grandezas poderão ser representadas de forma gráfica através de mapas ou plantas. Para tanto é necessário um sólido conhecimento sobre instrumentação, técnicas de medição, métodos de cálculo e estimativa de precisão (KAHMEN; FAIG, 1988).

De acordo com BRINKER;WOLF (1977), o trabalho prático da Topografia pode ser dividido em cinco etapas:

1) Tomada de decisão, onde se relacionam os métodos de levantamento, equipamentos, posições ou pontos a serem levantados, etc. 2) Trabalho de campo ou aquisição de dados: fazer as medições e gravar os dados. 3) Cálculos ou processamento: elaboração dos cálculos baseados nas medidas obtidas para a determinação de coordenadas, volumes, etc. 4) Mapeamento ou representação: produzir o mapa ou carta a partir dos dados medidos e calculados.

01 - INTRODUÇÃO À TOPOGRAFIA

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5) Locação.

De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execução de Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por:

“Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com eqüidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.”

Classicamente a Topografia é dividida em Topometria e Topologia.

A Topologia tem por objetivo o estudo das formas exteriores do terreno e das leis que regem o seu modelado.

A Topometria estuda os processos clássicos de medição de distâncias, ângulos e desníveis, cujo objetivo é a determinação de posições relativas de pontos. Pode ser dividida em planimetria e altimetria.

Tradicionalmente o levantamento topográfico pode ser divido em duas partes: o levantamento planimétrico, onde se procura determinar a posição planimétrica dos pontos (coordenadas X e Y) e o levantamento altimétrico, onde o objetivo é determinar a cota ou altitude de um ponto (coordenada Z). A realização simultânea dos dois levantamentos dá origem ao chamado levantamento planialtimétrico. A figura 1.1 ilustra o resultado de um levantamento planialtimétrico de uma área.

Figura 1.1 – Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimétrico.

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A Topografia é a base para diversos trabalhos de engenharia, onde o conhecimento das formas e dimensões do terreno é importante. Alguns exemplos de aplicação:

• projetos e execução de estradas; • grandes obras de engenharia, como pontes, portos, viadutos, túneis, etc.;

• locação de obras;

• monitoramento de estruturas;

• planejamento urbano;

• irrigação e drenagem;

• reflorestamentos;

Em diversos trabalhos a Topografia está presente na etapa de planejamento e projeto, fornecendo informações sobre o terreno; na execução e acompanhamento da obra, realizando locações e fazendo verificações métricas; e finalmente no monitoramento da obra após a sua execução, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas.

1.2 - SISTEMAS DE COORDENADAS

Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas. São utilizados basicamente dois tipos de sistemas para definição unívoca da posição tridimensional de pontos: sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de coordenadas esféricas.

1.2.1 - SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS

Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas. Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente empregados em disciplinas como geometria e trigonometria, por exemplo. Estes sistemas normalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou tridimensional.

No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangulares ou cartesiano. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si (figura 1.2). A origem deste sistema é o cruzamento dos eixos X e Y.

Figura 1.2 - Sistema de coordenadas cartesianas. X

Y Origem

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Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada denominada abscissa (coordenada X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Um dos símbolos P(x,y) ou P=(x,y) são utilizados para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y.

Na figura 1.3 é apresentado um sistema de coordenadas, cujas coordenadas da origem são O (0,0). Nele estão representados os pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15).

Figura 1.3 - Representação de pontos no sistema de coordenadas cartesianas.

Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um único ponto, denominado de origem. A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é definida pelas coordenadas cartesianas retangulares (x,y,z) de acordo com a figura 1.4.

Figura 1.4 – Sistema de coordenadas cartesianas, dextrógiro e levógiro.

Conforme a posição da direção positiva dos eixos, um sistema de coordenadas cartesianas pode ser dextrógiro ou levógiro (GEMAEL, 1981, não paginado). Um sistema dextrógiro é aquele onde um observador situado no semi-eixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no sentido anti-horário. Um sistema x y z O

P(x,y,z) x y z O

Q(x,y,z )

-10 10 20 30 -20

TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion levógiro é aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no sentido horário (figura 1.4).

1.2.2 - SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS

Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado de forma unívoca, conforme a figura 1.5, pelo afastamento r entre a origem do sistema e o ponto R considerado, pelo ângulo β formado entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste sobre o plano xy e pelo ângulo α que a projeção do segmento OR sobre o plano xy forma com o semi-eixo OX. As coordenadas esféricas de um ponto R são dadas por (r, α, β). A figura 1.5 ilustra este sistema de coordenadas.

Supõe-se o sistema de coordenadas esféricas sobreposto a um sistema de coordenadas cartesianas (TORGE, 1980, p.16). Assim, o ponto R, determinado pelo terno cartesiano

(x, y, z) pode ser expresso pelas coordenadas esféricas (r, α, β), sendo o relacionamento entre os dois sistemas obtido pelo vetor posicional:

sen sencos coscos rz y x

(1.1)

Figura 1.5 – Sistema de coordenadas esféricas. 1.3 - SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA

Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os cálculos sobre esta superfície.

1.3.1 - MODELO ESFÉRICO

Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e

R (r, α, β) r β

TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e longitude astronômicas. A figura 1.6 ilustra estas coordenadas.

- Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o equador até o ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul.

- Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o meridiano de origem (Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção a longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich.

Figura 1.6 – Terra esférica - coordenadas astronômicas. 1.3.2 - MODELO ELIPSOIDAL

A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução (figura 1.7). O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos de Geodésia no mundo.

Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a (maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior a e o achatamento f, expresso pela equação (1.2).

baf−=

(1.2)

a: semi-eixo maior da elipse b: semi-eixo menor da elipse

Figura 1.7 - Elipsóide de revolução.

ab a

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As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim definidas (figura 1.8):

Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul.

Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.

A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física.

Figura 1.8 - Coordenadas Elipsóidicas.

No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de

Referência Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são:

a = 6.378.137,0 m f = 1/298,257222101

1.3.3 - MODELO GEOIDAL

O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na figura 1.9 são representados de forma esquemática a superfície física da Terra, o elipsóide e o geóide.

Figura 1.9 - Superfície física da Terra, elipsóide e geóide.

Superfície Física

Geóide Elipsóide

P’ h h = altitude geométrica (P’ ) normal

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O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado.

As linhas de força ou linhas verticais (em inglês “plumb line”) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês “direction of plumb line”) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical. A figura 1.10 ilustra este conceito.

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