7 - Coordenadas Polares e Curvas Paramétricas

7 - Coordenadas Polares e Curvas Paramétricas

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MATEMÁTICA I (Módulo de Análise Matemática) Apontamentos das aulas Problemas propostos Soluções dos problemas propostos Mestrado Integrado em Engenharia Química FEUP João M. M. Mendonça MATEMÁTICA I (Módulo de Análise Matemática) Apontamentos das aulas Problemas propostos Soluções dos problemas propostos Mestrado Integrado em Engenharia Química FEUP João M. M. Mendonça

Capítulo # 7 COORDENADAS POLARES E CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 7.1 Coordenadas polares no plano 7.2 Curvas paramétricas no plano 7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas” Capítulo # 7 COORDENADAS POLARES E CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 7.1 Coordenadas polares no plano 7.2 Curvas paramétricas no plano 7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas”

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

1 7.1 Coordenadas polares no plano A posição de qualquer ponto P do plano pode ser representada pelas suas coordenadas polares (r,θ), depois de definirmos um ponto O como sendo o pólo, e uma semi-recta com origem em O como sendo o eixo polar. A coordenada radial r representa a distância do ponto P ao pólo O, enquanto que a coordenada angular θ representa o ângulo que o segmento

OP faz com o eixo polar: Por definição, o sentido positivo para a marcação da coordenada angular ou ângulo polar é o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O valor de θ é arbitrário para o pólo O, já que este é o único ponto do plano cuja coordenada radial é igual a zero.

CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

As coordenadas polares de um ponto, ao contrário das suas coordenadas rectangulares, não têm um valor único, pois o ponto P(r,θ) também pode ser representado por P(r, θ + 2kπ), com k ∈ Z. Por vezes, é conveniente utilizar coordenadas radiais negativas, definidas da seguinte forma: (r,θ) e (– r, θ + π) são representações alternativas do mesmo ponto em coordenadas polares. Como iremos ver mais à frente, esta definição é particularmente útil quando lidamos com curvas em coordenadas polares7.1.1 Relações entre coordenadas polares e rectangulares Em muitos problemas, há necessidade de utilizar simultaneamente coordenadas polares e coordenadas rectangulares no plano. Quando tal acontecer, considera- -se por convenção que o pólo do sistema de coordenadas polares é coincidente com a origem do sistema de coordenadas rectangulares, e que o eixo polar é coincidente com a parte positiva do eixo Ox:

2 Utilizando esta convenção, resultam imediatamente da figura as seguintes relações entre os dois sistemas de coordenadas:

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

x = r cosθ y = r senθ tg θ = y

3)

Se x > 0, o ponto P estará situado no 1º ou no 4º quadrantes, e então podemos escrever que θ = arctg (y/x); porém, se x < 0, o ponto P estará situado no 2º ou no 3º quadrantes, e deveremos escrever θ = π + arctg (y/x), já que, como é sabido, o contradomínio da função arctg é o intervalo ]– π/2, π/2[. Como a coordenada θ não está definida para a origem das coordenadas, este ponto pode ser representado em coordenadas polares por (0, θ), em que o ângulo θ é arbitrário. Exemplo 7.1 Escrever todas as representações possíveis em coordenadas polares do ponto com coordenadas rectangulares (1, x = 1

⎩ Como o ponto em causa é do 1º quadrante (x > 0 ∧ y > 0), se utilizarmos o valor positivo para a coordenada radial, a correspondente coordenada angular deverá ser π/3: (2, π/3) ou, mais geralmente, (2, π/3 + 2kπ), com k ∈ Z. Se, porém, utilizarmos o valor negativo para a coordenada radial, então a correspondente coordenada angular deverá ser 4π/3: (– 2, 4π/3) ou, mais geralmente, (– 2, 4π/3 + 2kπ), com k ∈ Z.

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7.1.2 Curvas em coordenadas polares Algumas curvas têm equações muito mais simples em coordenadas polares do que em coordenadas rectangulares, o que justifica a utilização de coordenadas polares em muitos problemas que envolvam essas curvas. O gráfico da equação F(r,θ) = 0 é definido como sendo o conjunto de todos os pontos do plano Oxy em que cada ponto tem pelo menos um par de coordenadas polares (r,θ) que satisfaz aquela equação. Em muitos casos, verifica-se que a equação F(r,θ) = 0 pode ser resolvida em ordem a r, isto é, pode ser escrita na chamada forma explícita, r = f(θ). A curva correspondente poderá ser esboçada se prepararmos uma tabela com alguns valores de (r,θ) que satisfaçam a equação dada. Apresentamos a seguir três testes de simetria que poderão ser utilizados com vantagem para esboçar os gráficos de curvas em coordenadas polares7.1.2.1 Testes de simetria

4 Se a equação não se alterar quando se substitui θ por – θ, o gráfico é simétrico com respeito ao eixo Ox:

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

Se a equação não se alterar quando se substitui θ por π – θ, o gráfico é simétrico com respeito ao eixo Oy:

Se a equação não se alterar quando se substitui r por – r, o gráfico é simétrico com respeito à origem: Estas são condições suficientes de simetria, mas não são necessárias; isto significa que as simetrias referidas podem ocorrer mesmo que estas condições não sejam satisfeitas.

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6 7.1.2.2 Rectas em coordenadas polares As únicas rectas que têm uma representação simples em coordenadas polares são as rectas verticais, as rectas horizontais e as rectas que passam pela origem das coordenadas: A recta vertical que passa pelo ponto de coordenadas rectangulares (a, 0) tem a seguinte equação em coordenadas polares: r cos θ = a ou r = a sec θ em que θ ∈ ]– π/2, π/2[. A recta horizontal que passa pelo ponto de coordenadas rectangulares (0, a) tem a seguinte equação em coordenadas polares: r sen θ = a ou r = a cosec θ em que θ ∈ ]0, π[.

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

Uma recta que passe pela origem das coordenadas e que faça um ângulo θo com a parte positiva do eixo Ox tem a seguinte equação em coordenadas polares: θ = θo em que r ∈ ]– ∞, ∞[7.1.2.3 Circunferências em coordenadas polares As únicas circunferências com equações simples em coordenadas polares são as circunferências centradas na origem, e as circunferências centradas num dos eixos e tangentes ao outro eixo na origem das coordenadas Uma circunferência com centro na origem e de raio igual a

7 a tem a seguinte equação em coordenadas polares: r = a em que θ ∈ [0, 2π].

CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

a tem a seguinte equação em coordenadas polares: r = 2a cos θ em que θ ∈ [– π/2, π/2]Uma circunferência com centro no ponto (0, a) e de raio igual a

Uma circunferência com centro no ponto (a, 0) e de raio igual a a tem a seguinte equação em coordenadas polares: r = 2a sen θ em que θ ∈ [0, π].

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

Exemplo 7.2 Mostre que a curva polar de equação r = – 4 sen θ é uma circunferência, obtendo a sua equação em coordenadas rectangulares; em seguida, calcule as coordenadas polares de alguns pontos e faça um esboço da curvar = – 4 sen θ ⇒ r2 = – 4 r sen θ ⇒ x2 + y2 = – 4y ⇒ x2 + (y + 2)2 = 4 A equação r = – 4 sen θ representa uma circunferência de raio 2 centrada no ponto (0, – 2); calculemos as coordenadas polares de alguns pontos do gráfico: θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π r 0 – 2 – 2

3 2 0 A circunferência é gerada quando θ percorre qualquer intervalo [α, π + α]:

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7.1.2.4 Caracóis de Pascal Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações: r = a + b cos θ ou r = a + b sen θ Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer o intervalo [0, 2π]. A forma do caracol de Pascal é determinada apenas pelo valor absoluto do quociente a/b: 0 < a/b < 1: caracolde Pascalcom laço

⎪ Quanto à posição do caracol de Pascal em relação aos eixos coordenados, ela depende de a/b ser positivo ou negativo, e de aparecer cos θ ou sen θ na equação respectiva:

Caracol com laço de equação r = 1 + 2 cos θ: a/b = 1/2

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

a/b = 1

Cardióide de equação r = 2 + 2 cos θ:

Caracol com reentrância de equação r = 3 + 2 cos θ: a/b = 3/2

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Caracol convexo de equação r = 5 + 2 cos θ: a/b = 5/2 A resolução analítica de duas equações simultâneas em coordenadas polares nem sempre produz todos os pontos de intersecção dos respectivos gráficos, devido ao facto de cada ponto ter múltiplas representações em coordenadas polares. Assim, a única forma certa de visualizar todos os pontos de intersecção de duas curvas polares consiste em traçar os gráficos dessas curvas. Exemplo 7.3 Determine as coordenadas polares de todos os pontos de intersecção dos cardióides de equações r = 1 + cos θ e r = 1 – cos θ. Comecemos por determinar as coordenadas polares de todos os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações dadas: 1 + cos θ = 1 – cos θ ⇒ 2 cos θ = 0 ⇒ θ = π/2 ∨ θ = 3π/2 ⇒ r = 1 As soluções encontradas algebricamente são portanto as seguintes, utilizando coordenadas polares: A(1, π/2) e B(1, 3π/2)

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

A única forma certa de verificar se existem mais pontos de intersecção consiste em traçar as duas curvas no mesmo gráfico: Claramente, há um terceiro ponto de intersecção, que é a origem. Porém, as coordenadas polares deste ponto não podem ser obtidas por métodos algébricos, já que essas coordenadas são (0, π) para o cardióide de equação r = 1 + cos θ, mas são (0, 0) para o cardióide de equação r = 1 – cos θ. 7.1.2.5 As rosáceas Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações: r = a cos nθ ou r = a sen nθ em que n ∈ IN . Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer o intervalo [0, 2π] quando n for par, ou o intervalo [0, π] quando n for ímpar. A posição da rosácea em relação aos eixos coordenados, depende de a ser positivo ou negativo, e de aparecer cos nθ ou sen nθ na equação.

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Se n for par, as rosáceas apresentam 2n “laços”, igualmente espaçados em torno da origem (em termos angulares); se n for ímpar, as rosáceas só apresentam n “laços”, também igualmente espaçados. O comprimento do diâmetro de cada um dos “laços”, medido a partir da origem até à sua extremidade, é igual a a :

Rosácea de 4 laços de equação r = 2 cos 2θ Rosácea de 3 laços de equação r = 2 cos 3θ

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

Rosácea de 8 laços de equação r = 2 cos 4θ Rosácea de 5 laços de equação r = 2 cos 5θ

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7.1.2.6 As espirais Este é o nome genérico que é dado a todas as curvas polares abertas que dão infinitas “voltas” em torno da origem à medida que θ aumenta ou diminui. Há vários tipos diferentes de espirais, dos quais mencionaremos apenas os três exemplos mais conhecidos: • Espirais de Arquimedes: Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = aθ, em que θ ≥ 0 ou θ ≤ 0, e a ∈ IR \ {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ: Espiral de Arquimedes de equação r = 2θ, com θ ≥ 0 • Espirais logarítmicas: Estas são curvas que se obtêm como gráfico da equação r = eaθ, em que θ ∈ IR , e a ∈ IR \ {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em torno da origem depende apenas do sinal de a:

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

Espiral logarítmica de equação r = eθ/5 • Espirais hiperbólicas: Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = a/θ , em que θ > 0 ou θ < 0, e a ∈ IR \ {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ: Espiral hiperbólica de equação r = 10/θ, com θ > 0 (notar a assímptota y = 10)

CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

Note-se que a recta de equação y = a é uma assímptota horizontal do gráfico da espiral hiperbólica de equação r = a/θ, já que:

lim

= a (1) = a7.1.2.7 As lemniscatas (de Bernoulli) Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações: r2 = ± a2 cos 2θ ou r2 = ± a2 sen 2θ Trata-se de curvas fechadas “em forma de hélice”, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π/2, e considerando apenas os pontos em que r2 ≥ 0. A posição da lemniscata com respeito aos eixos coordenados depende de o sinal de a2 ser positivo ou negativo, e de aparecer cos 2θ ou sen 2θ na equação:

A lemniscata de equação r2 = 4 cos 2θ, com θ ∈ [– π/4, π/4]

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO _

19 A lemniscata de equação r2 = 4 sen 2θ, com θ ∈ [0, π/2] 7.1.2.8 As curvas “em forma de oito” Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações: r2 = ± a2 cos θ ou r2 = ± a2 sen θ Trata-se de curvas fechadas “em forma de oito”, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π, e considerando apenas os pontos em que r2 ≥ 0. A posição destas curvas com respeito aos eixos coordenados depende apenas de aparecer cos θ ou sen θ na equação:

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