probabilidade

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M A T 0 2 7 - E S T A T IS T I C A IV

Expected Normal

Upper Boundaries (x <= boundary)

No of obs

1I NTRODUÇÃO

Os estudos apresentados até o momento incidiram sobre a finalidade descritiva, isto é, visaram descrever as características de amostras efetivamente observadas. A partir de agora, passa-se ao estudo da inferência ou indução estatística, isto é, a generalização para o universo ou população correspondente às conclusões obtidas a partir da amostra. Nesse sentido, o cálculo das probabilidades é fundamental, razão pela qual iremos conhecer noções básicas sobre a teoria das probabilidades.

O estudo da probabilidade teve sua origem ligada aos jogos de azar, que implicam em ações como girar uma roleta, lançar um dado ou uma moeda, retirar uma carta do baralho, etc. A estes jogos podemos associar duas características: a primeira é a da incerteza dos resultados em determinada tentativa; a segunda refere-se a regularidade que é observada a longo prazo.

Na ciência experimental existe um tipo semelhante de incerteza e de regularidade a longo prazo. Por isso, nós nos utilizaremos destas experiências mais simples para gradativamente generalizar para o experimento desejado. Inicialmente precisaremos também introduzir alguns conceitos gerais, indispensáveis para o entendimento do leitor.

1.1 Tipos de Modelos Matemáticos: 1.1.1 Determinísticos:

ocorrem quando, dadas as condições de experimentação, pode-se determinar ou predizer com certeza o resultado final do experimento.

Ex: Formulações matemáticas e físicas para comprovação de teorias, como a lei da queda e movimentos dos corpos.

1.1.2 Não-determinísticos (ou probabilísticos):

ocorrem quando não é possível predizer, com certeza, o resultado antes da realização do experimento.

Ex: Investigação sobre o efeito de um novo tratamento em pacientes. Ou o efeito de um fertilizante químico no solo.

1.2 Objetivo Geral da Teoria das Probabilidades

Definição de um modelo matemático não-determinístico, que seja conveniente à descrição e interpretação dos fenômenos aleatórios.

Algumas definições importantes:

1.2.1 Fenômenos ou Experimentos Aleatórios (E)

São aqueles em que o processo de experimentação está sujeito a incertezas. Logo não é possível controlar as circunstâncias relevantes, não sendo possível prever com exatidão o resultado das manifestações individuais. Características de um experimento aleatório:

1. Cada experimento poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmas condições;

2. Não podemos afirmar que resultado particular ocorrerá, porém podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento - as possibilidades de resultado.

3. Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é que torna possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento.

Refere-se ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplo:

2. E: Utilização de um novo medicamento para uma dada doença em três pacientes e observação de cura ou não.

Ω = {(C,C,C);(C,C,C);(C,C, C);(C, C,C);(C,C, C);(C, C,C);(C, C, C);(C, C, C)}, onde C = representaop acientec uradoe C = representa o paciente não curado.

Refere-se a um resultado particular de um experimento.

Utilizaremos letras maiúsculas para representar os eventos. Exemplos: em relação aos dois experimentos citados anteriormente teríamos:

1. Um evento possível seria: a ocorrência de números pares no lançamento de um dado. A = {2,4,6}

2. Um outro evento podederia ser: a observação de dois pacientes curados no segundo exemplo: D = {(C, C,C);(C,C,C);(C,C, C)}

1.2.4 Ponto Amostral Refere-se a um elemento qualquer de um evento, por exemplo o elemento (C, C, C) do último exemplo.

Costuma-se definir um evento como qualquer subconjunto de um espaço amostral. Neste sentido, veremos agora uma pequena revisão da teoria de conjuntos, direcionada aos espaços amostrais e eventos.

Operações entre eventos Entre eventos em um mesmo espaço amostral são permitidas todas as operações relativas aos conjuntos contidos num mesmo conjunto universo, como: união (∪),i nterseção (∩), diferença (−) ou diferença simétrica (4). Maiores detalhes com seu professor em sala de aula.

Tipos de Eventos

1. Evento simples ou elementar

É o evento formado por um único ponto amostral. Exemplo: D = {(C, C, C)}

2. Evento certo

É o evento formado por todos os pontos amostrais. Exemplo: no exemplo do dado, temos F = {1,2,3,4,5,6} = Ω éu m evento certo.

3. Evento impossível

É o evento que não possui elementos em Ω. Exemplo: ainda no exemplo do dado, seja G =“sair face 7”, G = ∅.

Relação entre Eventos

1. Eventos mutuamente exclusivos:

Dizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um impossibilita a ocorrência do outro, ou seja, se A e B são eventos mutuamente exclusivos então A ∩ B= ∅

2. Eventos complementares

Dizemos que dois eventos são complementares, se a união entre eles resulta no espaço amostral e se a interseção resultado num evento impossível, ou seja, se A e B são eventos complementares então A ∩ B = ∅ eA ∪ B= Ω

Ex.: O evento C = {1,2,4} é o complementar do evento D = {3,5,6}, ou C = D. Ou ainda os eventos Ae Bd oe xemplo anterior sãoe ventos cmplementares.

2 PROBABILIDADE

Se conhecemos todos os resultados possíveis (Ω) de um experimento E então podemos determinar qual a chance de ocorrência de cada evento, ou seja, a probabilidade de ocorrência do evento. A probabilidade de ocorrência de um evento A será definida por P(A),q ue será:

P(A)= número de casos favoráveis ao evento A número de casos possíveis em Ω

Exemplos:

1. E: Lançamento de uma moeda

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