Trabalho de Fundamentos Profissionais - Funções Circulares

Trabalho de Fundamentos Profissionais - Funções Circulares

(Parte 1 de 2)

Funções Circulares

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

I - Função Seno: y = sen (x)

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Sinal:

1º Q

2º Q

3º Q

4º Q

Intervalo

[0,/2]

[/2,]

[,3/2]

[3/2,2]

Função Seno

positivo

positivo

negativo

negativo

Valores Notáveis: Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x

0

/4

/2

3 /4

5/4

3/2

7/4

2

y

0

½

1

½

0

-1

0

Exercícios:

  1. Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade sen(x) = 2m – 5 ?

R= Para que a igualdade sen(x) = 2m – 5 seja satisfeita, devemos ter

-1 < 2m – 5 < 1

4 < 2m < 6

  1. < m < 3

  1. Determine o valor de sen(-17/6).

R= Como: sen(-17/6) = sen(-17/6+4) = sen(7/6)

Então: sen(-17/6) = -1/2

II - Função Cosseno: y = cos (x)

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).

Sinal:

1º Q

2º Q

3º Q

4º Q

Intervalo

[0,/2]

[/2,]

[,3/2]

[3/2,2]

Função Cosseno

positivo

negativo

negativo

positivo

Valores Notáveis: Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x

0

/4

/2

3 /4

5/4

3/2

7/4

2

y

1

½

0

½

-1

0

½

1

Exercícios:

  1. Determine o valor de cos(9/4).

R= Como: cos(9/4) = cos(9/4-2) = cos(/4)

Então: cos(9/4) =/2

  1. Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade cos(x) = 2m – 1 ?

R= Para que a igualdade cos(x) = 2m – 1 seja satisfeita, devemos ter

-1 < 2m-1 < 1

0 < 2m < 2

0 < m < 1

III - Relação entre Seno e Cosseno (Relação Fundamental I)

Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é:

sin²(a) + cos²(a) = 1

que é verdadeira para todo ângulo a.

Exercícios:

  1. Se x está no segundo quadrante e cos(x) = -12/13, qual é o valor de sen(x)?

Como: sen²(x) + cos²(x)=1, então:

sen²(x) + (-12/13)² = 1

sen²(x) = 1 - (144/169)

sen²(x) = 25/169

Como o ângulo x pertence ao segundo quadrante, o sen(x) deve ser positivo, logo:

sen(x) = 5/13

  1. Quais são os valores de y que satisfazem a ambas as igualdades:

Como: sen²(x) + cos²(x) = 1, segue que:

[(y + 2) / y]² + [(y + 1) / y]² = 1

(y² + 4y + 4) / y² + (y² + 2y + 1) / y² = 1

y² + 6y + 5 = 0

y = 3   e   y = -1

IV - Função Tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).

f(x) = tan(x) =

sen(x)

cos(x)

Relação Fundamental II

Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por:

tan(a) =

sen(a)

cos(a)

Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.

Se a=0, a= ou a=2, temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a=/2 ou a=3/2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.

Valores Notáveis:

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x

0

/4

/2

3 /4

5/4

3/2

7/4

2

y

0

1

não existe

-1

0

1

não existe

-1

0

Domínio:

Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos: Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k}

Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I = R.

Sinais:

1º Q

2º Q

3º Q

4º Q

Intervalo

[0,/2]

[/2,]

[,3/2]

[3/2,2]

Função Tangente

positivo

negativo

positivo

negativo

Exercícios:

  1. Determine o valor de tan(-35/4).

R= Como: tan(-35/4) = tan(-35/4 + 5.2) = tan(5/4)

Então: tan(-35/4) = 1

  1. Se x pertence ao segundo quadrante e sen(x)=1/, calcular o valor de tan(x).

R= Seja: sen(x)=1/. Substituindo este dado na relação fundamental da trigonometria: sen²(x)+cos²(x)=1, obtemos:

(1/)²+cos²(x)=1

Como x pertence ao segundo quadrante, cos(x) é negativo e resolvendo a equação do segundo grau, segue que:

cos(x)=-5/

tan(x)=(1/)/(-5/)=-1/5

V - Função Cotangente

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