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JARAGUÁ DO SUL 2010

Projeto de Pesquisa apresentado à disciplina de álgebra linear e geometria analítica I no curso de engenharia mecânica do centro universitário de Jaraguá do Sul – UNERJ.

Orientador: Miriam Bernadete B. Oberziner

JARAGUÁ DO SUL 2010

Figura 1 – Primeiro segmento (RETA)7
Figura 2 – Segundo segmento (RETA)8
Figura 3 – Terceiro segmento (PARÁBOLA)9
Figura 4 – Quarto segmento (PARÁBOLA)10
Figura 5 – Quinto segmento (RETA)1
Figura 6 – Sexto segmento (PARÁBOLA)12
Figura 7 – Sétimo segmento (RETA)13
Figura 8 – Primeiro segmento (RETA) Área15
Figura 9 – Segundo segmento (RETA) Área16
Figura 10 – Terceiro segmento (PARÁBOLA) Área17
Figura 1 – Quarto segmento (PARÁBOLA) Área18
Figura 12 – Quinto segmento (RETA) Área19
Figura 13 – Sexto segmento (PARÁBOLA) Área20
Figura 14 – Sétimo segmento (RETA) Área21
Figura 15 – Primeiro segmento (RETA) Volume23
Figura 16 – Segundo segmento (RETA) Volume24
Figura 17 – Terceiro segmento (PARÁBOLA) Volume25
Figura 18 – Quarto segmento (PARÁBOLA) Volume26
Figura 19 – Quinto segmento (RETA) Volume27
Figura 20 – Sexto segmento (PARÁBOLA) Volume28 
Figura 21 – Sétimo segmento (RETA) Volume29 
Figura 2 – Corte Longitudinal Transversal (Sólido)30 
Figura 23 – Vista Isométrica (Sólido)30 
1 INTRODUÇÃO5
2 DEFINIÇÃO DAS EQUAÇÕES6
2.1 EQUAÇÃO DA RETA7
2.1.1 EQUAÇÃO DA RETA.............................................................................8
2.1.2 EQUAÇÃO DA PARÁBOLA9
2.1.3 EQUAÇÃO DA PARÁBOLA......................................................10
2.1.4 EQUAÇÃO DA RETA..........................................................1
2.1.5 EQUAÇÃO DA PARÁBOLA12
2.1.6 EQUAÇÃO DA RETA..............................................13
3 CÁLCULO DAS ÁREAS14
3.1 PRIMEIRO SEGMENTO (RETA)...................................................................15
3.1.1 SEGUNDO SEGMENTO (RETA)..........................................................16
3.1.2 TERCEIRO SEGMENTO (PARÁBOLA)..........................................17
3.1.3 QUARTO SEGMENTO (PARÁBOLA).......................................18
3.1.4 QUINTO SEGMENTO (RETA)............................................19
3.1.5 SEXTO SEGMENTO (PARÁBOLA)..............................20
3.1.6 SÉTIMO SEGMENTO (RETA)21
4 CÁLCULO DOS VOLUMES2
4.1 PRIMEIRO SEGMENTO (RETA)...................................................................23
4.1.1 SEGUNDO SEGMENTO (RETA)..........................................................24
4.1.2 TERCEIRO SEGMENTO (PARÁBOLA)..........................................25
4.1.3 QUARTO SEGMENTO (PARÁBOLA).......................................26
4.1.4 QUINTO SEGMENTO (RETA)............................................27
4.1.5 SEXTO SEGMENTO (PARÁBOLA)..............................28
4.1.6 SÉTIMO SEGMENTO (RETA)29
5 CONCLUSÃO31

1 INTRODUÇÃO

Para realizar o estudo completo sobre os cálculos das áreas e volumes deste sólido de revolução, efetuamos uma pesquisa muito extensa para que pudéssemos realizar com clareza o mesmo e cujo resultado final seria, sem dúvida, um trabalho claro e objetivo para entender como o cálculo nos auxilia praticamente em tudo em nossa vida. O nosso intuito é o de dar uma apresentação geral que contenha alguns fatos importantes que mostram como definir equações e utilizar estas equações para se calcular sua área e volume. Além disso, gostaríamos que ficasse claro que essa construção é o resultado de diversas contribuições de muitos personagens, como ocorre, de modo geral, com o conhecimento humano.

2 DEFINIÇÃO DAS EQUAÇÕES

A geometria analítica foi inventada pelo matemático e cientista Pierre de

Fermat (1629), Fermat descreveu suas idéias em um trabalho não publicado intitulado como Introdução aos lugares geométricos planos e sólidos que circulou apenas na forma de manuscrito. Neste trabalho Fermat expôs a idéia dos eixos paralelos, descobriu as equações gerais de reta e circunferência e equações mais simples de parábolas, hipérboles e elipses. Ainda neste trabalho Fermat demonstrou que toda equação do primeiro e segundo grau podem ser reduzidas a uma destas equações gerais.

Utilizando as equações gerais de Pierre de Fermat, poderemos definir as equações que rege cada segmento. Sendo elas as equações utilizadas para este trabalho, equação de reta e equação de parábola. Segue abaixo as equações gerais.

y= ax + b(1)

2.1 EQUAÇÃO DA RETA

O primeiro segmento do sólido de revolução é uma reta, para desenvolvermos a equação do mesmo, utilizaremos a equação (1) e utilizando os pontos que definem a reta do primeiro segmento encontraremos a seguinte equação.

Figura 1 – Primeiro segmento (RETA)

A – (0 , 20)

B – (5 , 30)

30= 5a + 20
30 – 20= 5a
10= 5a
a= 2

y= ax + b 20= a(0) + b b= 20 30= a(5) + b 30= 5a + b y= ax + b y= 2x + 20

2.1.1 EQUAÇÃO DA RETA

O segundo segmento do sólido também é uma reta, portanto utilizaremos novamente a equação (1), neste caso só irá mudar os pontos que definem a reta. Substituindo os valores encontraremos:

Figura 2 – Segundo segmento (RETA)

A – (5 , 30)

B – (15 , 20) y= ax + b 30= a(5) + b (-1) 20= a(15) + b -30= -5a – b 20= 15a + b -10= 10 a a= -1 20= 15(1) + b

20= 15 + b

b= 5 y= ax + b y= ‐x + 5

2.1.2 EQUAÇÃO DA PARÁBOLA

O terceiro segmento do sólido de revolução é ma parábola, para efetuar a definição desta equação, utilizaremos a equação (2) e substituindo os valores pelos pontos que definem a parábola encontraremos:

A – (15 , 30)
B – (40 , 30)
C – (65 , 20)

Figura 3 – Terceiro segmento (PARÁBOLA)

20= (15)2a + (15)b + c225a + 15b + c= 20 c= 20 – 225a – 15b
30= (40)2a + (40)b + c1600a + 40b + c= 30 c= 20- 225(-2/125) – 15(64/50)
20= (65)2a + (65)b + c4225a + 65b + c= 20 c= 5000 + 900 - 4800

y= ax2 + bx + c 250

1600a + 40b + 20 – 225a – 15b= 30c= ଵଵ଴
4225a + 65b + 20 – 225a – 15b= 20
1375a + 25b= 10 (-2)-2750a – 50b= -20
4000a + 50b= 04000a + 50b= 0 4000(-2/125) + 50b= 0
1250a= -20-64 + 50b= 0
y= ax2 + bx + c a= ିଶଵଶହ50b= 64

y= ିଶଵଶହݔଶ൅ ଺ସହ଴ݔ൅ ଵଵ଴ଶହ b= ଺ସହ଴

2.1.3 EQUAÇÃO DA PARÁBOLA

O quarto segmento do sólido é mais uma parábola, pegando os pontos que definem esta outra parábola e substituindo na equação (2) encontraremos a seguinte equação geral:

A – (21 , 15) B – (40 , 30) C – (59 , 15)

Figura 4 – Quarto segmento (PARÁBOLA)

15= (21)2a + (21)b + c441a + 21b + c= 15 c= 15 – 441a – 21b
30= (40)2a + (40)b + c1600a + 40b + c= 30
15= (59)2a + (59)b + c3481a + 59b + c= 15 c= 15െ441ቀିଵହଷ଺ଵቁെ 21ቀଶଶ଼଴଴ହ଼ହଽቁ
1600a + 40b + 15 – 441a – 21b= 30c= 102885 + 125685 + 478800
3481a + 59b + 15 – 441a – 21b= 156859
c= ିଵଷଵ଻଴

y= ax2 + bx + c ଷ଺ଵ

1159a + 19b= 15 (-2)-2318a – 38b= -30
3040a + 38b= 03040a + 38b= 0 3040(-15/361) + 38b
722a= -30-45600/361 + 38b
y= ax2 + bx + ca= ିଵହ
ଷ଺ଵ38b= 45600/361
ଷ଺ଵb= ଶଶ଼଴଴

y= ିଵହଷ଺ଵݔଶ൅ ଶଶ଼଴଴଺଼ହଽݔെ ଵଷଵ଻଴ ଺଼ହଽ

2.1.4 EQUAÇÃO DA RETA

O quinto segmento do sólido é uma reta, neste segmento utilizaremos a equação (1) e como nas equações anteriores substituiremos os valores que definem a reta em estudo, com isto encontrando a equação:

A – (59 , 15) B - (65 , 15)

Figura 5 – Quinto segmento (RETA)

15= (65)a + b
15= 65a + b
a= 015= 65(0) + b
15= 0 + b
b= 15

Y= ax + b 15= (59)a + b (-1) -15= -59a – b 0= 6a y= ax + b y= a(0) + 15 y= 15

2.1.5 EQUAÇÃO DA PARÁBOLA

O sexto segmento é uma parábola, como nas equações anteriores devemos encontrar os pontos que definem esta parábola e substituir na equação (2) e desenvolvendo a mesma encontraremos a seguinte equação geral:

A – (65 , 15)

B – (70 , 10) C – (75 , 15)

Figura 6 – Sexto segmento (PARÁBOLA)

15= (65)2a + (65)b + c4225a + 65b + c= 15 c= 15 – 4225a – 65b
10= (70)2a + (70)b + c4900a + 70b + c= 10 c= 15 – 4225(1/5) – 65(-28)
15= (75)2a + (75)b + c5625a + 75b + c= 15 c= 15 – 845 + 1820
4900a + 70b + 15 – 4225a – 65b= 10c= 990
675a + 5b= -5 (-2)-1350a – 10b= 10
1400a + 10b= 01400a + 10b= 0 1400(1/5) + 10b= 0
50a= 10 280 + 10b= 0
a= ଵହ b= -28

y= ax2 + bx + c 5625a + 75b + 15 – 4225a – 65b= 15 y= ax2 + bx + c y= ଵହݔଶ െ 28ݔ൅990

2.1.6 EQUAÇÃO DA RETA

O sétimo e último segmento do sólido de revolução é uma reta, como desenvolvido com as equações anteriores substituiremos na equação (1) pelos pontos que definem a reta e em seguida encontraremos a equação geral:

A – (75 , 15) B – (80 , 15)

Figura 7 – Sétimo segmento (RETA)

15= 80a + b15= 80(0) + b
0= 5a15= 0 + b
a= 0b= 15

Y= ax + b 15= (75)a + b (-1) 15= (80)a + b -15= -75a – b y= ax + b y= 0x + 15 y= 15

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