Economia - Dinâmica Não-Linear e Caos

Economia - Dinâmica Não-Linear e Caos

(Parte 1 de 6)

Introducao a Dinamica Nao-Linear e Caos em Economia

Ricardo L. Viana

Programa de Pos-Graduacao em Desenvolvimento Economico

Departamento de Fısica

Universidade Federal do Parana Curitiba, Parana, Brasil

Sumario

Introducao 9

I Metodos e Modelos em Dinamica Economica 15

1.1 Equacoes diferenciais17
1.1.1 Equacoes diferenciais lineares19
1.1.2 Existencia e unicidade das solucoes20
1.1.3 Diagramas de fase2
1.2 Exemplos em Economia: Modelos de crescimento populacional23
1.2.1 Crescimento exponencial23
1.2.2 Crescimento logıstico25
1.2.3 Modelo logıstico e o crescimento demografico27
1.3 Pontos de equilıbrio e estabilidade29
1.4 Solucoes numericas3
1.4.1 Metodo de Euler3
1.4.2 Metodo de Runge-Kutta39
1.4.3 Uso de software matematico41
1.5 Exemplos em Economia: Modelos de crescimento economico4
1.5.1 Macrovariaveis4
1.5.2 Modelo de Domar46
1.5.3 Modelo de Solow47
1.6 Equacoes nao-autonomas53
1.7 Exploracao de recursos naturais renovaveis56
1.7.1 Taxa de exploracao constante56
1.7.2 Taxa de exploracao proporcional a populacao58
1.7.3 Modelo de exploracao com variacoes sazonais59
1.8 Problemas61

1 Modelos contınuos unidimensionais 17

2.1 Matrizes bidimensionais65
2.1.1 Operacoes elementares com matrizes65
2.1.2 Vetores e matrizes coluna67
2.1.3 Autovalores e autovetores69
2.2 Modelos bidimensionais lineares70
2.2.1 Pontos de equilıbrio71
2.2.2 Conceitos de estabilidade72

2 Modelos contınuos bidimensionais lineares 65 3

2.3 Analise da estabilidade do equilıbrio75
2.3.1 Autovalores reais e distintos75
2.3.2 Autovalores reais e iguais82
2.3.3 Autovalores complexos87
2.3.4 Criterio geral para estabilidade93
2.4 Exemplo em Economia: Modelo de inflacao e desemprego94
2.4.1 Macrovariaveis e logaritmos95
2.4.2 Curva de Phillips96
2.4.3 Equacoes e hipoteses do modelo97
2.4.4 Ponto de equilıbrio e sua estabilidade98
2.5 Exemplo em Economia: Modelo macroeconomico IS-LM101
2.5.1 Macrovariaveis e hipoteses do modelo101
2.5.2 Modelo estatico102
2.5.3 Modelo dinamico104
2.5.4 Ponto de equilıbrio e sua estabilidade106
2.6 Problemas109
3.1 Trajetorias no plano de fase112
3.1.1 Existencia e unicidade115
3.2 Diagramas de fase116
3.3 Solucoes numericas118
3.3.1 Uso de planilhas eletronicas119
3.3.2 Programa em linguagem C120
3.3.3 Uso de software matematico122
3.4 Solucoes de equilıbrio e sua estabilidade127
3.4.1 Pontos hiperbolicos e o Teorema de Hartman e Grobman129
3.4.2 Exemplos de analise pelo diagramas de fase132
3.5 Exemplo em Economia: Modelo de capital fısico e humano137
3.5.1 Hipoteses do modelo138
3.5.2 Derivacao das equacoes do modelo138
3.5.3 Solucoes de equilıbrio139
3.5.4 Diagrama de fase141
3.5.5 Estabilidade do equilıbrio143
3.6 Direcoes e curvas invariantes145
3.6.1 Auto-direcoes e autovetores145
3.6.2 Teorema das curvas invariantes146
3.7 Trajetorias fechadas151
3.7.1 Criterios para impossibilidade de trajetorias fechadas153
3.7.2 Indice de Poincare157
3.7.3 Criterios para existencia de trajetorias fechadas159
3.7.4 Orbitas homoclınicas163
3.8 Exemplo em Economia: Modelo de luta de classes de Goodwin166
3.8.1 Macrovariaveis e hipoteses do modelo166
3.8.2 Solucoes de equilıbrio e sua estabilidade169
3.8.3 Diagrama de fase171
3.9 Problemas173

3 Modelos contınuos bidimensionais nao-lineares 1 4

4.1 Complementos de algebra linear177
4.1.1 Autovalores e autovetores177
4.1.2 Espacos e sub-espacos vetoriais178
4.1.3 Matrizes semelhantes180
4.1.4 Formas de Jordan181
4.1.5 Fatos sobre matrizes de terceira ordem182
4.2 Modelos lineares183
4.2.1 Solucao geral do modelo linear184
4.3 Solucoes de equilıbrio e sua estabilidade186
4.3.1 Analise da estabilidade do equilıbrio186
4.3.2 Criterio de Routh-Hurwitz187
4.3.3 Sub-espacos invariantes190
4.4 Analise de estabilidade em alguns casos191
4.4.1 Tres autovalores reais e distintos191
4.4.2 Dois autovalores complexos e um real193
4.4.3 Dois autovalores reais repetidos e outro distinto197
4.5 Estabilidade do equilıbrio199
4.5.1 Variedades invariantes202
4.6 Exemplo em Economia: Modelo WKP de Tobin203
4.6.1 Hipoteses do modelo204
4.6.2 Ponto de equilıbrio e sua estabilidade205
4.7 Solucoes numericas207
4.7.1 Uso de software matematico210
4.8 Exemplo em Economia: Modelo de Inovacao Tecnologica217
4.8.1 Macrovariaveis e hipoteses do modelo217
4.8.2 Pontos de equilıbrio e sua estabilidade219
4.8.3 Exemplo numerico2
4.9 Problemas223

4 Modelos contınuos multidimensionais 177

5.1 Modelos discretos unidimensionais lineares227
5.1.1 Modelo discreto afim227
5.1.2 Diagramas de escada229
5.1.3 Pontos fixos e sua estabilidade230
5.2 Exemplo em Economia: Modelo linear da teia de aranha233
5.2.1 Versao tradicional233
5.2.2 Expectativas adaptativas235
5.3 Modelos discretos unidimensionais nao-lineares237
5.3.1 Modelo logıstico discreto238
5.4 Iteracoes sucessivas239
5.4.1 Pontos finalmente fixos241
5.5 Estabilidade dos Pontos Fixos242
5.5.1 Modelo logıstico discreto243
5.6 Orbitas periodicas244
5.6.1 Estabilidade das orbitas periodicas246
5.6.2 Modelo logıstico discreto248
5.7 Solucoes numericas250
5.7.1 Uso de planilhas eletronicas250

5 Modelos discretos unidimensionais 227 5.7.2 Programa de computador para iteracoes do modelo discreto . 253

5.8 Exemplos em Economia: Modelos nao-lineares de teia de aranha264
5.8.1 Modelo generalizado de teia de aranha265
5.8.2 Modelo generalizado com expectativas adaptativas266
5.8.3 Modelo sigmoide de Hommes267
5.8.4 Pontos fixos e sua estabilidade269
5.8.5 D270
5.9 Problemas274
6.1 Modelos discretos bidimensionais lineares277
6.1.1 Solucao geral do modelo linear278
6.2 Estabilidade para modelos lineares279
6.2.1 Autovalores reais e distintos282
6.2.2 Autovalores reais e iguais286
6.2.3 Autovalores complexos288
6.2.4 Criterio geral de estabilidade293
elson296
6.3.1 Hipoteses e equacoes do modelo296
6.3.2 Ponto fixo e sua estabilidade297
6.4 Modelos discretos bidimensionais nao-lineares299
6.4.1 Pontos fixos300
6.4.2 Orbitas periodicas301
6.5 Estabilidade para modelos bidimensionais nao-lineares303
6.5.1 Estabilidade dos pontos fixos303
6.5.2 Estabilidade de orbitas periodicas307
6.6 Direcoes e curvas invariantes309
6.7 Solucoes numericas311
6.7.1 Uso de planilhas eletronicas311
6.7.3 Uso de software matematico313
6.8.1 Pontos fixos e estabilidade318
6.9 Problemas322

6 Modelos discretos bidimensionais 277 6.3 Exemplo em Economia: Modelo de multiplicador-acelerador de Samu- 6.7.2 Programa de computador para iteracoes do modelo discreto . 312 6.8 Exemplo em Economia: Modelo discreto com curva de Phillips nao-linear316

7.1 Modelos multidimensionais lineares325
7.2 Pontos fixos e estabilidade326
7.2.1 Criterio de Jury328
7.2.2 Criterio de Schur331
7.3 Exemplo em Economia: Multiplicadores numa economia aberta3
7.3.1 Modelo com tres paıses3
7.3.2 Estabilidade do ponto fixo337
7.3.3 Um caso particular: acoplamento unidirecional338
7.4 Sub-espacos invariantes339
7.5 Analise da estabilidade em alguns casos340
7.5.1 Tres autovalores reais e distintos340
7.5.2 Dois autovalores reais repetidos e outro distinto341
7.5.3 Dois autovalores complexos e um real342

7 Modelos discretos multidimensionais 325 6

7.6.1 Pontos fixos e orbitas periodicas344
7.6.2 Estabilidade para modelos nao-lineares345
7.6.3 Pontos Hiperbolicos346
7.6.4 Variedades invariantes347
7.7 Exemplo em Economia: Triopolio de Cournot348
7.7.1 Variaveis e hipoteses do modelo348
7.7.2 Obtencao do modelo dinamico349
7.7.3 Ponto fixo e equilıbrio de Cournot350
7.7.4 Estabilidade dos pontos fixos351
7.7.5 Exemplo numerico353
7.8 Exercıcios354

I Dinamica Nao-Linear e Caos 357

8.1 Tipos elementares de bifurcacao359
8.2 Bifurcacao do tipo sela-no360
8.3 Bifurcacao do tipo transcrıtica367
8.4 Exemplo em economia: modelo de crescimento de Solow370
8.5 Bifurcacoes do tipo forquilha372
8.6 Exemplo em Economia: Modelo de Ciclos de Comercio377
8.7 Problemas380

8 Bifurcacoes em modelos contınuos unidimensionais 359 8.2.1 Exemplo em economia: dinamica do mercado de trabalho 364

9.1 Diagrama de bifurcacoes383
9.1.1 Obtencao numerica do diagrama de bifurcacoes384
9.2 Tipos de bifurcacoes em modelos discretos unidimensionais389
9.2.1 Bifurcacao de duplicacao de perıodo390
9.2.2 Bifurcacao tangente393
9.2.3 Bifurcacao transcrıtica395
9.3 Cascata de bifurcacoes de duplicacao de perıodo396
9.3.1 Universalidade398
9.4 Exercıcios400

9 Bifurcacoes em modelos discretos unidimensionais 383

10.1 Comportamento caotico401
10.1.1 Aperiodicidade402
10.1.2 Sensibilidade as condicoes iniciais403
10.2 Janelas periodicas406
10.2.1 “Perıodo 3 implica em caos”408
10.2.2 Sequencia-U410
10.2.3 Derivada Schwarziana411
10.3 Outras rotas para o caos412
10.3.1 Intermitencia412
10.3.2 Mecanismo da intermitencia do tipo I414
10.3.3 Crise416
10.4 Expoente de Lyapunov422

10 Caos em modelos discretos unidimensionais 401 7

10.4.2 Calculo do expoente de Lyapunov423
10.4.3 Um exemplo: o modelo discreto da tenda424
10.5 Determinacao numerica do expoente de Lyapunov425
10.5.1 Uso do Maple427
10.5.2 Uso do Mathematica427
10.5.3 Uso do Matlab428
10.5.4 Diagrama de bifurcacao de Lyapunov428
10.5.5 Uso do Mathematica431
de aranha nao-linear432
10.6.1 Diagrama de bifurcacoes433
10.7 Transitividade e caos forte441
10.7.1 O deslocamento de Bernoulli441
10.7.2 Transitividade4
10.7.3 Caos forte446
10.7.4 Conjugacao Topologica447
10.8 Exercıcios449
1.1 Diagrama de bifurcacao451
1.1.1 Obtencao numerica do diagrama de bifurcacoes451
1.1.2 Cascata de bifurcacoes de duplicacao de perıodo454
1.2 Sistemas conservativos e dissipativos455
1.3 Atratores458
1.3.1 Atratores pontuais459
1.3.2 Atratores estranhos459
1.4 Fractais460
1.4.1 Auto-similaridade460
1.4.2 Dimensao de contagem de caixas461
1.4.3 Conjunto de Cantor464
1.4.4 Junta de Sierpinski465
1.4.5 Curva de Koch465
1.4.6 Fractalidade do atrator de Henon467
1.5 Expoentes de Lyapunov468
1.5.1 Dois expoentes negativos (−,−)469
1.5.2 Um expoente nulo e outro negativo (0,−)470
1.5.3 Um expoente positivo e outro negativo (+,−)470
1.5.4 Atrator de Henon471
1.5.5 Mecanismo estica-e-dobra472
1.5.6 Dimensao de Lyapunov473
1.6 Fronteiras fractais de bacias de atracao474
1.7 Crise476
1.7.1 Crise de fronteira477
1.7.2 Crise interior479
1.7.3 Crise de fusao de atratores480
flacao-desemprego de Soliman480
1.8.1 Diagrama de bifurcacoes481

1 Bifurcacoes, caos e fractais em modelos discretos bidimensionais 451 1.8 Aplicacao em Economia: Caos, crise e fractais no modelo de in- 8

Apendice A: Numeros complexos 484

Apendice B: Potencias e exponenciais de matrizes na forma de

.1 Autovalores reais e distintos486
.2 Autovalores reais e iguais487
.3 Autovalores complexos488
.1 Metodo geral489
.2 Metodo de Diagonalizacao de Householder491
.3 Algoritmo no caso bidimensional493
.4 Exemplo: o modelo de Henon495

Apendice C: Determinacao dos expoentes de Lyapunov para um modelo discreto bidimensional 489 9

Introducao

A dinamica economica tem por finalidade estudar a evolucao temporal das variaveis economicas atraves de modelos matematicos. Por evolucao temporal entendemos o modo pelo qual tais variaveis mudam seus valores a medida em que o tempo passa, de um valor inicial ate um valor final (que pode, eventualmente, ser um tempo infinitamente grande).

Na estatica comparativa, estuda-se a evolucao das variaveis economicas unicamente no inıcio e no final de um dado processo. No entanto, nao se cogita como tais variaveis evoluem no intervalo entre esses tempos inicial e final. E tal conhecimento e frequentemente tao importante como aquele fornecido pela estatica comparativa.

Consideremos, por exemplo, um modelo do tipo IS-LM, cuja analise estatica e feita em todos os textos de teoria macroeconomica. As variaveis economicas sao a renda e a taxa de juros, e seus valores de equilıbrio sao obtidos pela intersecao das retas IS e LM para os mercados de bens e moeda. Se alterarmos uma das duas variaveis os novos valores de equilıbrio sao obtidos deslocandose as retas, o que muda a posicao do ponto de intersecao. Desejarıamos, por exemplo, saber mais: como as mudancas nao ocorrem instantaneamente qual das duas variaveis chega mais rapidamente ao valor de equilıbrio. Alem disso, as variaveis convergem de forma monotonica ou com oscilacoes. Todas essas perguntas so podem ser respondidas uma vez que um modelo dinamico seja construido (o que sera feito no Cap. 2 desse livro).

Modelos em dinamica economica sao amplamente utilizados na formulacao de polıticas macroeconomicas, pois podem ser utilizados para estudar possıveis cenarios que ocorram em funcao de mudancas realizadas nas variaveis disponıveis. Por esse motivo, muitos dos exemplos a serem vistos nesse livro provem da macroeconomia, mas ha tambem varias situacoes em microeconomia onde problemas dinamicos sao importantes, como na teoria de formacao de precos, ou na dinamica da concorrencia. Na medida do possıvel tentaremos manter um equilıbrio nessa distribuicao entre exemplos macro e microeconomicos.

Ha diversas abordagens possıveis no estudo da dinamica economica. Uma delas e a analise separada de processos fundamentais, como a dinamica da inflacao, a formacao de precos (teias de aranha), os modelos IS-LM, e assim por diante. Outra abordagem, e que sera adotada neste trabalho, e tratar os modelos gradativamente, partindo dos mais simples em direcao aos mais complexos. Fazemos isso introduzindo os metodos matematicos a medida em que sejam necessarios, e usando os modelos como exemplos de utilizacao de tais metodos.

Num estudo de modelos dinamicos, seja em que area do conhecimento for, ha varios aspectos envolvidos. Um deles e a descricao matematica da evolucao temporal do sistema estudado, como ja vimos. Mas tambem sera possıvel, uma vez identificado o mecanismo subjacente a dinamica, efetuar previsoes sobre o comportamento futuro do sistema. Esse aspecto da dinamica e particularmente importante pela possibilidade que abre de controlar a evolucao do sistema, pela manipulacao adequada das variaveis, no sentido de leva-lo a um estado futuro desejado. Esse ultimo enfoque e fundamental na elaboracao e conducao de polıticas macroeconomicas complexas, como inflation targeting por exemplo.

Este livro e dividido em duas partes complementares mas nao totalmente interdependentes, cada qual com objetivos bem definidos, e que atendem a demandas diferentes de pesquisadores e estudantes de pos-graduacao.

Primeira Parte: Metodos e Modelos em Dinamica Economica

Na primeira parte desse trabalho (que vai dos Capıtulos 1 a 7) objetivamos a apresentacao dos metodos basicos usados na dinamica economica, procurando sempre a maior generalidade, a fim de que o leitor possa usa-los proveitosamente no estudo dos modelos de seu proprio interesse. Alem do mais, nos exemplos que apresentamos, procuramos nos deter rapidamente na derivacao dos modelos a partir das hipoteses economicas adotadas, de modo a auxiliar o leitor a formular seus proprios modelos, dentro do assunto particular em que trabalhe.

A classificacao dos modelos economicos seguira dois criterios: como o tempo e tratado, e quantas variaveis relevantes sao utilizadas. O tempo e a variavel central em modelos da dinamica economica, e que podem ser classificados como contınuos ou discretos, caso o tempo seja representado por uma variavel real (contınua) ou inteira (discreta), respectivamente. No primeiro caso, temos as chamadas equacoes diferenciais, enquanto no segundo, as equacoes a diferencas. Ambas sao igualmente importantes na dinamica economica, embora os modelos discretos tendam a ser mais identificados com a maneira como os variaveis sao obtidos na pratica. Dessa forma, os modelos contınuos constituem uma aproximacao, as vezes ate algo grosseira, mas que tem importancia devido a grande quantidade de metodos matematicos disponıveis para equacoes diferenciais.

Por razoes pedagogicas, introduzimos primeiramente os modelos contınuos, ja que os conceitos matematicos envolvidos sao mais familiares aos estudantes que tenham feito um curso basico de calculo diferencial e integral. Alem disso, a apresentacao grafica dos resultados e mais direta para modelos onde o tempo e uma variavel contınua. Num segundo momento abordamos os modelos discretos, onde os conceitos e tecnicas matematicas sao as vezes muito parecidos, mas com diferencas essenciais com modelos contınuos.

O segundo criterio de classificacao dos modelos em dinamica economica e o numero de variaveis de interesse. Adotaremos uma representacao geometrica que introduz espaco abstrato, onde as dimensoes sao essas variaveis, tambem chamado espaco de fase. Por exemplo, no modelo IS-LM comentado anteriormente, temos duas delas: a taxa de juros e a renda, donde o espaco de fase e bidimensional, assim como o modelo. A maioria dos modelos em dinamica economica contidos em textos basicos de pos-graduacao sao uni e bidimensionais, donde o estudo dos mesmos e colocado em grande evidencia nesse trabalho (Capıtulos 1, 2 e 3 para modelos contınuos, e Capıtulos 5 e 6 para modelos discretos). No entanto, em estudos mais avancados (sobretudo em macroeconomia), aparecem modelos com tres ou ate mais dimensoes (Capıtulos 4 e 7 para modelos contınuos e discretos, respectivamente). Embora a metodologia deste livro nao seja essencialmente diferente da litera- tura existente, adotei uma abordagem na linha da teoria dos sistemas dinamicos. Essa ultima, que tem raizes nos trabalhos matematicos de Henri Poincare no final do Seculo XIX, privilegia o conhecimento qualitativo das solucoes, em oposicao a enumeracao de metodos gerais e particulares de solucao dos problemas dinamicos. Tal conhecimento enfatiza solucoes de equilıbrio e sua estabilidade, bem como possıveis alteracoes de tais solucoes, como as chamadas bifurcacoes (que sao mudancas qualitativas na natureza das solucoes quando um parametro e alterado).

Nao obstante, em paralelo as definicoes e demais resultados teoricos apresentados, procurei tambem dar uma base ao leitor para que este possa obter solucoes numericas aos seus modelos com o auxılio de diversos recursos computacionais. Essa e uma circunstancia motivada pelo fato que apenas modelos lineares tem solucoes analıticas fechadas, o que nos forca ao uso de metodos numericos se o modelo contiver uma nao-linearidade. E modelos nao-lineares sao realmente mais comuns na pratica, embora frequentemente o desejo da simplicidade nos leve ao uso de modelos lineares (tratados em especial cuidado no Cap. 3).

Uma expressiva fracao da primeira parte pode ser usada num curso basico de metodos quantitativos que enfatize os metodos da dinamica economica. Em particular, os capıtulos 1, 2, parte do Cap. 3, parte do Cap. 4, 5, 6 e parte do Cap. 7, foram utilizados por mim em uma disciplina dessa natureza no curso de pos-graduacao em desenvolvimento economico da UFPR, onde dividi o programa com outro professor que desenvolveu topicos em otimizacao. As secoes que constituem esse nucleo duro sao indicadas por asteriscos no livro.

Ja a parte do capıtulo 3 que aborda trajetorias cıclicas, bem como as secoes sem asterisco dos capıtulos podem ser usadas em uma disciplina optativa de dinamica nao-linear aplicada a Economia, conforme descrevemos a seguir.

Segunda Parte: Dinamica Nao-linear e Caos em Economia

A segunda parte do livro (Capıtulos 8 e seguintes) aborda topicos mais avancados em dinamica economica. As abordagens tradicionais (como o que e feito na primeira parte do livro) tratam essencialmente dos pontos de equilıbrio e sua estabilidade, assim como de ciclos simples. Varias evidencias econometricas, entretanto, sugerem a existencia do que chamamos de dinamica complexa.

Uma dessas situacoes envolve as bifurcacoes que ocorrem nas solucoes de um modelo quando um parametro e variado. Por exemplo, uma solucao de equilıbrio pode perder a sua estabilidade ou mesmo desaparecer nessas circunstancias. Ou entao as solucoes podem tornar-se mais complicadas, mesmo irregulares, como no comportamento caotico.

A dinamica nao-linear, apos decadas de relativo abandono, sofreu um impulso consideravel em finais da decada de 70 com a disseminacao do uso de computadores pessoais para a solucao de modelos matematicos contınuos e discretos. Solucoes caoticas so podem ser convenientemente estudadas com o auxılio do computador, com o que profissionais de diversas areas tornaram sua atencao para as novas perspectivas abertas pela dinamica nao-linear.

Nao tardou muito para que os especialistas em dinamica economica tambem comecassem a investigar comportamentos complexos em modelos nao-lineares, tanto discretos como contınuos. Por outro lado, acumulam-se evidencias econometricas de que pode haver um componente determinıstico e nao-linear em series economicas que justifique o interesse em solucoes caoticas, por exemplo.

A possibilidade de comportamento complexo aberta pela nao-linearidade dos modelos economicos, juntamente com sua observacao empırica em series temporais, torna a Dinamica Nao-Linear um topico de grande interesse na dinamica economica a nıvel de pesquisa e pos-graduacao. Ha varios textos sobre o assunto na literatura, mas nenhum em portugues, na linha que adotamos neste trabalho. Espero que a abordagem que utilizei, centrada nos aspectos qualitativos da teoria dos sistemas dinamicos, seja capaz de trazer o leitor a beleza conceitual e a economia de linguagem que e ganha com esse enfoque. Mesmo o leitor que ja tenha conhecimento nessa area, mas com um background dos textos mais tradicionais, podera se beneficiar dessa forma atraente de estudar os sistemas dinamicos.

O estudo de bifurcacoes e caos e particularmente simples em modelos discretos unidimensionais, sendo por eles que comecaremos nosso estudo sistematico (Capıtulo 8). A extensao dos conceitos a sistemas multidimensionais e o objeto do Capıtulo 9. A identificacao de comportamentos dinamicos em series economicas e financeiras sera vista no Capıtulo 10. O Cap. 1 trata de bifurcacoes em modelos contınuos, ao passo que o Cap. 12 trata de modelos com retardo.

Os conteudos da segunda parte desse trabalho foram estruturados de forma mais ou menos independente, tal que o professor possa usa-los como subsıdio para uma disciplina optativa de Dinamica Nao-Linear e Caos em Economia. Alem disso, o pesquisador podera encontrar fontes conceituais e bibliograficas para um aprofundamento ulterior, bem como temas recentes de pesquisa em dinamica economica complexa. Na medida do possıvel, desejamos que o leitor chegue a um ponto onde possa acompanhar uma parte da literatura recente sobre dinamica economica, como o Journal of Economic Dynamics, Journal of Economic Behavior and Organization, entre outros.

Parte I

Metodos e Modelos em Dinamica Economica

Capıtulo 1

(Parte 1 de 6)

Comentários