Probabilidade

Probabilidade

(Parte 3 de 3)

Valor médio e variância da média

Dada uma amostra aleatória (X,…,X) proveniente de uma população X de valor médio μe desvio padrão σ, então

n nXnXn nXEn niXXE n XXE var

Distribuição da média para populações normais

Jádissemos que qualquer combinação linear de v.a.’s independentes com distribuição normal ainda tem distribuição normal. Como a média éuma combinação linear vem que:

Nn XZn niNXXX μσμ σμEntão que em aleatória amostra uma Seja……

Quando o parâmetro σédesconhecido, estima-se σpor S dado por

Então / ns XTXXn

T tem distribuição t-Studentcom n-1 graus de liberdade.

()(1)(1)(2)com

X n S n Stn n S

n S

Distribuição da média para populações não normais

Quando a distribuição da população X não énormal, a distribuição de amostragem da média dependeráda distribuição de X, não sendo em geral conhecida. No entanto, um dos teoremas fundamentais da Teoria das Probabilidades fornece uma indicação sobre o comportamento da distribuição da média de um número suficientemente grande de v.a.’s i.i.d.

Se X,…, Xsão v.a.’s independentes e identicamente distribuídas, com valor médio μe variância σfinita, então a distribuição da soma Sn= X+…+ Xou da média (X+…+ X)/n tende a aproximar-se da distribuição normal para n suficientemente grande.

O Teorema Limite Central dá-nos uma justificação teórica para a grande utilização da distribuição normal como modelo de fenómenos aleatórios.

Quantidades tais como altura e peso dos indivíduos de uma população razoavelmente homogénea podem ser consideradas como somas de um grande número de causas genéticas e efeitos ambientais, mais ou menos independentes entre si, cada um contribuindo com uma pequena quantidade para a soma.

Qual o valor de n a partir do qual se pode considerar que temos uma boa aproximação àdistribuição normal?

Este valor de n depende da distribuição da população de onde foi extraída a amostra e serátanto maior quanto mais assimétrica for a distribuição da população. No entanto, de uma maneira geral, éhabitual considerar n=30.

Aplicações do Teorema Limite Central Aproximação da distribuição Binomial pela distribuição normal

Uma v.a. X com distribuição Bi(n,p) pode ser considerada como a soma de n v.a.’s independentes cada uma com distribuição Bi(1,p). Então, pelo Teorema Limite Central, temos o seguinte resultado:

Se X∩Bi(n,p) , então para n suficientemente grande

)pnpN(np, pBi(nX)1(), −∩ ãodistribuiç pela aproximadaser pode v.a.da ãodistribuiç a i.e.,

Regra prática: considera-se uma aproximação razoável da distribuição Binomial pela distribuição normal quando np>10 e n(1-p)>10

Aproximação da distribuição de Poissonpela distribuição normal

Uma v.a. X com distribuição P(λ) pode ser considerada como a soma de n v.a.’s independentes cada uma com distribuição P(λ/n). Então, pelo Teorema Limite Central, temos o seguinte resultado:

Se X∩P(λ) , então para λsuficientemente grande

Regra prática: considera-se uma aproximação razoável da distribuição de Poissonpela distribuição normal quando λ>20.

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