problema proposto

problema proposto

Estruturas Algebricas Recıproca Valida do Teorema de Lagrange

Onezimo Carlos Viana Cardoso

Em geral a recıproca do Teorema de Lagrange nao e verdadeira. Mas no presente trabalho mostraremos que, para o caso particular dos grupos cıclicos, ela e valida. Inicialmente provemos o Teorema de Lagrange:

Teorema de Lagrange: Seja G um grupo finito. Entao a ordem de qualquer subgrupo de G divide a ordem de G.

Demonstracao:

Seja H um subgrupo qualquer de G. Tomando a ∈ G, chamemos o conjunto aH = {ah;h ∈ H} de classes laterais a esquerda de H determinado por a. Dessa forma, um subconjunto C de G e chamado uma classe lateral a esquerda de H em G se C = aH para algum a em G. Denotaremos G/H o conjunto de todas as classes laterais a esquerda.

Uma classe lateral a direita e definida de maneira analoga e o conjunto de todas as classes laterais a direita de H em G sera denotado por H/G. Definamos uma aplicacao:

Temos claramente que f e uma bijecao. Assim, toda classe lateral a esquerda de H tem a mesma cardinalidade de H. Perceba que H e ele proprio uma classe lateral a esquerda de H, desde que H = eH.

Consideremos agora a relacao ∼ cujo as classes de equivalencia sao as proprias classes laterais a esquerda de H em G dada da seguinte maneira:

Note que tal relacao e de equivalencia pois:

Portanto, o conjunto G/H das classes laterais a esquerda de H em G e uma particao de G. Isto e, as distintas classes laterais a esquerda de H sao duas a duas disjuntas e a uniao delas e o proprio G. Consideremos agora as classes laterais a direita de H em G. De maneira analoga se mostra que H/G tambem e uma particao de G.

Mostremos agora que G/H e H/G tem a mesma cardinalidade. Para isso consideremos a seguinte aplicacao:

Mais ainda, ψ e claramente sobrejetiva; portanto ψ e bijetiva. Logo G/H e H/G tem a mesma cardinalidade.

Desse modo, definimos o numero de classes laterais a esquerda (direita) de H em G por ındice de H em G e o denotaremos por [G : H].

Se H e o subgrupo {e}, cada classe lateral a esquerda (direita) de H em

Agora, pela hipotese do teorema, consideremos G finito de ordem n. E consideremos o subgrupo H de G de ordem m. Entao, como ja vimos anteriormente, toda classe lateral a esquerda (direita) de H tem m elementos. Desde que distintas classes laterais a esquerda sao duas a duas disjuntas e a uniao delas e o proprio G, devemos ter n = km, onde k e a quantidade de classes laterais a esquerda de H em G. Em outras palavras,

Antes de partir para o teorema que demonstrara o objetivo do trabalho, provemos o seguinte lema.

Lema: Todo subgrupo de um grupo cıclico e cıclico. Demonstracao:

Tomemos um subgrupo H de um grupo cıclico G = [a]. Note que se ai ∈ H entao a−i ∈ H. Assim, pelo princıpio da Boa Ordenacao dos inteiros, existe um menor inteiro m tal que am = b ∈ H. Mostraremos que H = [b]. De fato, dado ai ∈ H. Pelo algoritmo da divisao temos que

Assim,

Partiremos enfim para o teorema que finda nosso trabalho.

Teorema: Seja G um grupo cıclico de ordem finita n, e seja d um divisor positivo de n. Entao G tem exatamente um subgrupo de ordem d.

Demonstracao:

O resultado e satisfeito trivialmente se d = 1 ou n. Seja entao 1 < d < n e seja m = nd . Consideremos G = [a]. Entao b = am e de ordem d. Assim [b] e um subgrupo cıclico de ordem d. Para provarmos a unicidade, consideremos H qualquer subgrupo de G de ordem d. Pelo lema anterior, temos que H e gerado por um elemento c = as. Entao temos que

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