Coordenadas polares

Coordenadas polares

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Coordenadas Polares

O sistema de coordenadas polares é um outro recurso que podemos utilizar para localizar pontos no plano e conseqüentemente, representar lugares geométricos através de equações, o que é de grande utilidade em várias áreas da Matemática, como por exemplo, no cálculo de áreas limitadas por duas ou mais curvas planas, áreas de superfícies, etc. Este fato você terá oportunidade de comprovar quando cursar as disciplinas de Cálculo I-A e Cálculo IV.

Este sistema é geralmente utilizado quando a equação cartesiana de um lugar geométrico apresenta dificuldades operacionais na sua utilização, devido, por exemplo, ao grau elevado de suas variáveis. Na maioria das vezes a equação deste lugar geométrico em coordenadas polares é simples e de fácil manipulação.

O Sistema Polar

O sistema polar é constituído de um eixo e um ponto fixo sobre este. O eixo chamamos de eixo polar e o ponto fixo de pólo.

A todo ponto P do plano associamos um par de elementos: o primeiro é a distância do ponto P ao polo e o segundo é o ângulo formado pelo eixo polar e a semi-reta de origem O e que passa por P (figura1).

Marcamos este ângulo como fazemos em trigonometria, ou seja, no sentido antihorário o ângulo é positivo, caso contrário, o ângulo é negativo. Observemos o plano polar da figura 2.

Ao pólo podemos associar o par de coordenadas (0, θ), onde θ representa qualquer ângulo. O ponto A podemos também associar as coordenadas (2, 2θ). Dê pelo menos mais um par de coordenadas polares para os outros pontos que aparecem nesta figura.

Costumamos também utilizar o sinal negativo anterior à primeira coordenada polar do ponto P, distância do ponto P ao polo, para significar que esta distância deve ser marcada na semi-reta oposta a semi-reta de origem O e que passa por P. Deste modo, ao ponto A podemos também associar o par de coordenadas (-2, ). Dê um par de coordenadas polares para o ponto F da figura 2, com a primeira coordenada negativa.

Costumamos chamar o par de coordenadas polares de um ponto P(r, ), onde r>0 e é maior ou igual a zero e menor que 2 , de conjunto principal do ponto P. Observemos que, por esta definição, o polo é o único ponto do plano polar que não possui um conjunto principal. O conjunto principal do ponto F na figura 2 é o par (3, /3).

Podemos concluir então que cada par de coordenadas polares está associado a um único ponto do plano, mas um ponto do plano está associado a um conjunto infinito de pares de coordenadas polares.

Vamos investigar se é possível obter uma expressão matemática que represente todas as coordenadas de um ponto P, com exceção do polo. Seja P( r, ) o conjunto principal do ponto P. Considerando o sentido anti-horário, observemos a figura 3:

Se considerarmos o sentido horário, figura 4, temos:

Podemos então concluir que a expressão matemática dada a seguir representa todas as coordenadas polares do ponto P.

Equações polares de curvas

De modo análogo ao sistema de coordenadas cartesianas, uma equação polar de uma curva estabelece uma relação entre as coordenadas polares (r, ) de todos os pontos desta curva. Por exemplo, a equação r = 2 é uma equação polar da curva constituída de todos os pontos do plano que possuem um par de coordenadas (2, ), podendo assumir um valor real qualquer.Observemos a figura 5

Que curva esta equação representa? E a equação r = -2 representa que curva? O ponto P(-2, 45o) pertence à curva de equação r = 2?

Podemos concluir que se um par de coordenadas polares de um ponto P não satisfaz a uma equação polar, não podemos garantir a não existência de um outro par de coordenadas polares deste mesmo ponto que satisfaça a esta equação. Em outras palavras, o fato que um par de coordenadas polares de um ponto P não satisfaz a uma equação polar de uma curva, não garante que este ponto não pertença à esta curva.

Esboce a curva de equação = 45o.

Definição: Dizemos que duas ou mais equações são equivalentes se elas representam o mesmo lugar geométrico.

As equações r = 2 , 2r = 4 e r = -2 são equações equivalentes, pois representam o círculo de centro no polo e raio 2. Observemos que a segunda equação pode ser obtida da primeira, bastando multiplicar ambos os membros por 2. No entanto, a terceira não pode ser obtida da primeira através das operações fundamentais. Mesmo assim, são equivalentes.

Teorema: Seja f(r, ) = 0 uma equação polar de uma curva C. As equações polares da forma são equivalentes a equação f(r, ) = 0, ou seja representam também a curva C.

Definição: Um conjunto M de equações polares é chamado conjunto abrangente de uma curva C, se qualquer ponto de C, distinto do polo, com qualquer par de coordenadas polares, satisfaz a uma das equações de M. Por exemplo: M ={ r = -2 , r = 2 } é um conjunto abrangente do círculo de centro no polo e raio 2. Mas, N = { r = 2} não é um conjunto abrangente para este círculo, pois o ponto P(- 2, 45o) não satisfaz a uma equação de N.

O conjunto M = { x2 = 4 } é um conjunto abrangente do círculo descrito acima? Um conjunto abrangente de uma curva é uma ferramenta matemática de grande utilidade na verificação se um dado ponto P(r, ), distinto do polo, pertence ou não à uma dada curva C.

O Teorema dado a seguir estabelece um processo de determinação de um conjunto abrangente de uma curva C.

Teorema: Seja F(r, ) = 0 uma equação de uma curva C. O conjunto é um conjunto abrangente de C.

Sistema de transformação de coordenadas polares e cartesianas

Uma das maneiras de se relacionar os sistemas de coordenadas polares e cartesianas é considerando o eixo polar coincidindo com o eixo OX e o polo coincidindo com a origem do sistema cartesiano. Seja um ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r, ). A figura a seguir nos ajuda a estabelecer as relações:

Exemplo 1 - Determine: (a) as coordenadas polares do ponto P(-2 , 2); (b) as coordenadas cartesianas do ponto Q(2, arctg 1/2( 1o quadrante)); (c) uma equação polar da curva C: y = 2x +1; (d) uma equação cartesiana da curva G: r(1 + cos ) = 2.

Solução:

Simetrias

O fato de sabermos se uma dada curva é, ou não, simétrica em relação a um ponto(ou a um eixo) é, sem sombra de dúvidas, muito útil no esboço dessa curva.

Estudaremos nesta seção as simetria em relação: ao polo, ao eixo polar e ao eixo que possui equação, = 90o. Este último eixo é também conhecido por eixo à 90o.

Seja P(r, ) um ponto do plano polar e P' o seu simétrico em relação ao polo. Observe a figura a seguir, ela nos ajuda a obter um par de coordenadas polares de P'.

De modo análogo, a figura a seguir nos fornece um par de coordenadas polares dos pontos A e B, simétricos de P em relação ao eixo polar e ao eixo à 90o, respectivamente.

Exemplo 2 - Determine as coordenadas polares dos pontos A, B e C simétricos de P (2,3 /4) em relação ao polo, ao eixo polar e ao eixo à 90o, respectivamente.

Definição: Dizemos que uma curva G é a curva simétrica da curva C em relação ao eixo s (ou em relação ao ponto O), se para todo ponto P de C, o ponto P’, simétrico de P em relação ao eixo s (ou em relação ao ponto O), é um ponto de G, e todo ponto Q’ de G é simétrico em relação ao eixo s (ou em relação ao ponto O), de algum ponto Q de C.

Sejam P( r, ) um ponto da curva C e P’( r’, ’) o ponto de G simétrico de P em relação ao eixo s( ou em relação ao ponto O). Podemos então estabelecer as relações de transformações entre coordenadas de P e P’.

Considerando F(r, ) = 0 uma equação polar da curva C e utilizando as igualdades acima obtemos: F(g(r’), h( ’)) = 0, que é uma equação polar que relaciona as coordenadas de P’, logo é uma equação da curva G.

Exemplo: Determine a curva simétrica da curva C : r = 2 sen 2 , em relação: a) ao eixo polar; b) ao eixo à 90º; c) ao polo.

Quando a simétrica de uma curva C em relação ao eixo s ( ou ao ponto O) coincide com ela própria, dizemos que a curva C é simétrica em relação a s ( ou em relação a O).

No exemplo anterior, podemos concluir diretamente que C é simétrica em relação ao eixo à 90o. No entanto, mesmo que as equações dos itens a e b sejam diferentes da equação de C, temos que averiguar se estas são equações equivalentes à equação de C. Para isso, vamos determinar um conjunto abrangente de C.

O que podemos concluir? Equação Polar da Reta

É bem comum defrontarmos com problemas de interseção de curvas em polar, onde uma delas é uma reta. Assim, embora a equação cartesiana de uma reta seja simples, necessitamos conhecer equações polares de retas. Para determinarmos uma equação polar de uma reta, consideraremos dois casos:

I - A reta passa pelo polo.

Neste caso, todos os pontos dessa reta satisfazem à equação = , assim esta é uma equação polar dessa reta. Exemplos: r : = 3/2 , s : = 0 , t : = 75 . Verifique que o conjunto abrangente de uma reta deste tipo é M = { = + n ; n }, que é infinito.

I - A reta não passa pelo polo

Consideremos uma reta s tal que a distância do polo à reta s é n. Seja N( n, ) o pé da perpendicular traçada à reta s que passa por O.

Se o ponto P(r, ) pertence à reta s e é distinto de N, podemos considerar o triângulo

ONP. Observemos que - é a medida de um dos ângulos deste triângulo. Assim, todos os pontos P(r, ) que pertence à reta s, satisfaz a equação:

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