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Coordenadas polares, Notas de estudo de Química Analítica

apostila sobre coordenadas polares

Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 04/11/2010

ananda-moura-2
ananda-moura-2 🇧🇷

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Baixe Coordenadas polares e outras Notas de estudo em PDF para Química Analítica, somente na Docsity!              Coordenadas Polares O sistema de coordenadas polares é um outro recurso que podemos utilizar para localizar pontos no plano e conseqüentemente, representar lugares geométricos através de equações, o que é de grande utilidade em várias áreas da Matemática, como por exemplo, no cálculo de áreas limitadas por duas ou mais curvas planas, áreas de superfícies, etc. Este fato você terá oportunidade de comprovar quando cursar as disciplinas de Cálculo II-A e Cálculo IV. Este sistema é geralmente utilizado quando a equação cartesiana de um lugar geométrico apresenta dificuldades operacionais na sua utilização, devido, por exemplo, ao grau elevado de suas variáveis. Na maioria das vezes a equação deste lugar geométrico em coordenadas polares é simples e de fácil manipulação. O Sistema Polar O sistema polar é constituído de um eixo e um ponto fixo sobre este. O eixo chamamos de eixo polar e o ponto fixo de pólo. A todo ponto P do plano associamos um par de elementos: o primeiro é a distância do ponto P ao polo e o segundo é o ângulo formado pelo eixo polar e a semi-reta de origem O e que passa por P (figura1). Marcamos este ângulo como fazemos em trigonometria, ou seja, no sentido anti- horário o ângulo é positivo, caso contrário, o ângulo é negativo. Observemos o plano polar da figura 2. Ao pólo podemos associar o par de coordenadas (0, θ ), onde θ representa qualquer ângulo. O ponto A podemos também associar as coordenadas (2, 2θ ). Dê pelo menos mais um par de coordenadas polares para os outros pontos que aparecem nesta figura. Costumamos também utilizar o sinal negativo anterior à primeira coordenada polar do ponto P, distância do ponto P ao polo, para significar que esta distância deve ser marcada na semi-reta oposta a semi-reta de origem O e que passa por P. Deste modo, ao ponto A podemos também associar o par de coordenadas (-2,). Dê um par de coordenadas polares para o ponto F da figura 2, com a primeira coordenada negativa. Costumamos chamar o par de coordenadas polares de um ponto P(r,), onde r>0 e  é maior ou igual a zero e menor que 2, de conjunto principal do ponto P. Observemos que, por esta definição, o polo é o único ponto do plano polar que não possui um conjunto principal. O conjunto principal do ponto F na figura 2 é o par (3,/3). Podemos concluir então que cada par de coordenadas polares está associado a um único ponto do plano, mas um ponto do plano está associado a um conjunto infinito de pares de coordenadas polares. Vamos investigar se é possível obter uma expressão matemática que represente todas as coordenadas de um ponto P, com exceção do polo. Seja P( r,) o conjunto principal do ponto P. Considerando o sentido anti-horário, observemos a figura 3: são equivalentes a equação f(r,) = 0, ou seja representam também a curva C. Definição: Um conjunto M de equações polares é chamado conjunto abrangente de uma curva C, se qualquer ponto de C, distinto do polo, com qualquer par de coordenadas polares, satisfaz a uma das equações de M. Por exemplo: M ={ r = -2 , r = 2 } é um conjunto abrangente do círculo de centro no polo e raio 2. Mas, N = { r = 2} não é um conjunto abrangente para este círculo, pois o ponto P(- 2, 45o) não satisfaz a uma equação de N. O conjunto M = { x2 = 4 } é um conjunto abrangente do círculo descrito acima? Um conjunto abrangente de uma curva é uma ferramenta matemática de grande utilidade na verificação se um dado ponto P(r,), distinto do polo, pertence ou não à uma dada curva C. O Teorema dado a seguir estabelece um processo de determinação de um conjunto abrangente de uma curva C. Teorema: Seja F(r,) = 0 uma equação de uma curva C. O conjunto é um conjunto abrangente de C. Sistema de transformação de coordenadas polares e cartesianas Uma das maneiras de se relacionar os sistemas de coordenadas polares e cartesianas é considerando o eixo polar coincidindo com o eixo OX e o polo coincidindo com a origem do sistema cartesiano. Seja um ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r, ). A figura a seguir nos ajuda a estabelecer as relações: Exemplo 1 - Determine: (a) as coordenadas polares do ponto P(-2 , 2); (b) as coordenadas cartesianas do ponto Q(2, arctg 1/2( 1o quadrante)); (c) uma equação polar da curva C: y = 2x +1; (d) uma equação cartesiana da curva G: r(1 + cos) = 2. Solução: C: y = 2x + 1 r sen = 2 r cos + 1 . Daí, r (sen - 2 cos) = 1. Ou ainda, sen - 2 cos = 1/r Simetrias O fato de sabermos se uma dada curva é, ou não, simétrica em relação a um ponto(ou a um eixo) é, sem sombra de dúvidas, muito útil no esboço dessa curva. Quando a simétrica de uma curva C em relação ao eixo s ( ou ao ponto O) coincide com ela própria, dizemos que a curva C é simétrica em relação a s ( ou em relação a O). No exemplo anterior, podemos concluir diretamente que C é simétrica em relação ao eixo à 90o. No entanto, mesmo que as equações dos itens a e b sejam diferentes da equação de C, temos que averiguar se estas são equações equivalentes à equação de C. Para isso, vamos determinar um conjunto abrangente de C. O que podemos concluir? Equação Polar da Reta É bem comum defrontarmos com problemas de interseção de curvas em polar, onde uma delas é uma reta. Assim, embora a equação cartesiana de uma reta seja simples, necessitamos conhecer equações polares de retas. Para determinarmos uma equação polar de uma reta, consideraremos dois casos: I - A reta passa pelo polo. Neste caso, todos os pontos dessa reta satisfazem à equação = , assim esta é uma equação polar dessa reta. Exemplos: r : = 3 /2 , s : = 0 , t : = 75 . Verifique que o conjunto abrangente de uma reta deste tipo é M = { = + n ; n }, que é infinito. II - A reta não passa pelo polo Consideremos uma reta s tal que a distância do polo à reta s é n. Seja N( n, ) o pé da perpendicular traçada à reta s que passa por O. Se o ponto P(r, ) pertence à reta s e é distinto de N, podemos considerar o triângulo ONP. Observemos que - é a medida de um dos ângulos deste triângulo. Assim, todos os pontos P(r, ) que pertence à reta s, satisfaz a equação: r cos( - ) = n . É fácil verificar que o ponto N( n, ) também satisfaz esta equação, daí podemos concluir que esta equação é uma equação polar da reta s. Exemplo: Considere o paralelogramo ABCD, onde A(0, 123 ), B(4, /3) e o ponto C é o simétrico de B em relação ao eixo à 90 . Determine um par de coordenadas polares do vértice D e as equações polares das retas suporte dos lados e das diagonais deste paralelogramo. Solução: Como o ponto C é simétrico de B em relação à eixo à 90 , podemos concluir que o triângulo ABC é isósceles da base CB. Por outro lado, como a reta CB e o eixo polar são perpendiculares ao eixo à 90 , temos que a reta CB é paralela ao eixo polar. Daí podemos concluir que: o vértice D é ponto do eixo polar e o ângulo ABC é igual a /3 . Portanto o triângulo ABC é equilátero. Consequentemente, d(C,B) = d(A,B) = 4. Mas, ABCD é um paralelogramo, podemos então concluir que d(A,D) também é 4. Logo, um par de coordenadas polares de D é ( 4, ). As retas AB, AC e AD passam pelo polo, daí suas equações polares são: = /3, = 2 /3 e = 0 , respectivamente. A reta CB não passa pelo polo e o pé da perpendicular traçada do polo à esta reta é o ponto (2 3, /2) . Assim, r cos( - /2 ) = 2 3 , ou ainda, r sen = 2 3 é uma equação polar da reta BC. A reta DB também não passa pelo polo e o pé da perpendicular traçada do pólo à esta reta é o ponto N'( 2, 2 /3) , pois as diagonais de um losango são perpendiculares e se interceptam no ponto médio de ambas. Daí, r cos( - 2 /3 ) = 2 é uma equação da reta DB. Finalmente a reta DC, que também não passa pelo polo. Seja M(m, ) o pé da perpendicular traçada do polo à reta DC. No triângulo DMA os ângulos com vértices em M e D são /2 e /3, respectivamente. Daí, o ângulo com vértice em O é /6. Conseqüentemente, w = - /6 = 5 /6 e m = 4 cos /6 = 2 3 . Logo, r cos( - 5 /6 ) = 2 3 é uma equação polar da reta DC. Observações: I - Consideremos M um conjunto abrangente de uma s de equação r cos( - ) = n. Daí, problemas que envolvem o círculo e outras curvas cujas equações cartesianas não são simples, mas suas equações polares são. Daí, a necessidade de conhecermos a equação polar de um círculo. Para estabelecermos uma equação polar do círculo, utilizaremos a noção de distância entre dois pontos, por isso precisaremos determinar uma fórmula de distância entre dois pontos em coordenadas polares. Um modo razoavelmente simples para isso é utilizar a bem conhecida fórmula da distância entre dois pontos em coordenadas cartesianas. De fato, sejam P (x ,y ) e P (x ,y ) , assim, Então se P (r , ) e P (r , ) , utilizando as fórmulas de transformações entre cartesianas e polares, obtemos: Logo, Agora estamos aptos a estabelecer a equação polar do círculo. Consideremos um círculo de centro no ponto C(r , ) e de raio R. Para todo ponto P(r, ) deste círculo temos que d(P,C) = R , assim: ou seja, R = r - 2 r r cos( - ) + r . Que é uma equação polar do círculo. Exemplo: O segmento PQ é uma diagonal de um quadrado. Sabendo que P(4, /3) e Q(4, 5 /6) determine uma equação polar do círculo inscrito e do círculo circunscrito a este quadrado. Solução: Sabemos que um quadrado é decomposto por uma de suas diagonais em dois triângulos retângulos isósceles e congruentes, cuja hipotenusa coincide com esta diagonal. Como o triângulo OPQ satisfaz estas condições, podemos concluir que o pólo é um vértice desse quadrado. Além disso, os centros dos círculos inscrito e circunscrito a um quadrado coincidem o ponto de interseção de suas diagonais e estas são congruentes e se cortam no ponto médio de ambas. Então, por Pitágoras obtemos que d(P,Q) = 4 2, assim: C( 2 2, /3 + /4) = (2 2, 7 /12). Por outro lado, os raios dos círculos inscrito e circunscrito são 2 ( metade do lado) e 2 2 ( metade da diagonal), respectivamente. Daí, Cinsc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) + 8 = 4 , ou ainda, Cinsc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) + 4 = 0 Ccirc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) + 8 = 8 , ou ainda, Ccirc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) = 0 Observações I - Consideremos M um conjunto abrangente de um círculo C de equação r - 2 r r cos( - ) + r = R . Então, M = {[(-1) r] - 2 [(-1) r] r cos( [ + m ] - ) + r = R , m }. Daí, [(-1) r] - 2 [(-1) r] r cos( [ - ] + m ) + r = R m par : r - 2 r r cos( - ) + r = R m ímpar: (- r ) - 2(- r )r (- cos( - )) + r = R , ou ainda, r - 2 r r cos( - ) + r = R Logo, o conjunto M = {r - 2 r r cos( - ) + r = R } é unitário. Daí, um ponto qualquer do círculo, distinto do pólo, com qualquer par de coordenadas polares satisfaz a equação polar desse círculo, na forma anterior. II - De modo análogo ao que fizemos para reta, desenvolvendo o cos( - ) temos : r - 2 r r [cos cos + sen sen ] + r - R = 0 r + r ( - 2 r cos ) cos + r ( - 2 r sen ) sen + ( r - R ) = 0 Fazendo, a = - 2 r cos b = - 2 r sen c = r - R obtemos uma outra forma para a equação polar de um círculo: r + a r cos + b r sen + c = 0 No exemplo anterior, temos C = (2 2, 7 /12) e Rcric = 2 2 , então: a = -2 2 2 cos 7 /12 = - 4 2 2/4 (1 - 3) = - 2 + 2 3 b = -2 2 2 sen 7 /12 = - 4 2 2/4 (1 + 3) = - 2 - 2 3 c = ( 2 2) - (2 2) = 0 Logo, Ccirc: r + (- 2 + 2 3) r cos + (- 2 - 2 3) r sen = 0 . Poderíamos também utilizar a observação I. De fato, os pontos C, D e O pertencem ao círculo circunscrito, logo satisfazem a equação r + a r cos + b r sen + c = 0 Ou seja, O ( 0, 0) 0 + a 0 cos 0 + b 0 sen 0 + c = 0, daí, c = 0. ( Observemos que o contrário também é verdade, ou seja, quando c = r - R = 0 , temos r = R . E portanto o círculo passa pelo polo). P(4, /3) 4 + a 4 cos /3 + b 4 sen /3 = 0 , ou seja, 16 + 4 a 1/2 + 4 b 3/2 = 0. Daí, 8 + a + b 3 = 0. Q(4, 5 /6) 4 + a 4 cos 5 /6 + b 4 sen 5 /6 = 0 , ou seja, 16 + 4 a ( - 3/2 ) + 2 b = 0. r = -2 + 2 cos r = - 2 + 2 cos 0 = 0 , O (0 , 0) . b) Eixo à 90 : todo ponto P do eixo à 90 possui um par de coordenadas ( r, /2). De modo análogo ao item anterior, vamos verificar que pontos com esta característica satisfazem às equações do conjunto M, ou seja, r = 2 + 2 cos r = 2 + 2 cos /2 = 2 , P ( 2 , /2). r = -2 + 2 cos r = - 2 + 2 cos /2 = 0 , P (- 2 , /2) . Observemos que com apenas estes quatro pontos fica difícil imaginarmos o traçado da curva C. IV - Estudo de simetrias. Simetria em relação: a) Ao eixo polar: Seja G a curva simétrica de C em relação ao eixo polar: G : r = 2 + 2 cos( - ) r = 2 + 2 cos Daí, G coincide com C e portanto a curva C é simétrica em relação ao eixo polar. Este fato nos sinaliza que, para a construção do esboço dessa curva é suficiente fazermos variar de 0 até e utilizarmos esta simetria para obtermos os outros pontos necessários. b) Ao eixo à 90 : Seja G' a curva simétrica de C em relação ao eixo à 90 : G' : - r = 2 + 2 cos( - ) G' : - r = 2 + 2 cos r = - 2 - 2 cos Como esta equação não pertence ao conjunto M, G' não coincide com C e portanto a curva C não é simétrica em relação ao eixo à 90 c) Ao polo: Seja G'' a curva simétrica de C em relação ao polo: G'' : - r = 2 + 2 cos r = - 2 - 2 cos Como esta equação não pertence ao conjunto M, G'' não coincide com C e portanto a curva C não é simétrica em relação ao polo. V - Análise da extensão da curva. Este item tem como um dos objetivos determinar se existe, ou não, um círculo de raio R, tal que todos os pontos da curva são pontos interiores a este círculo. Ora, como r representa a distância dos pontos da curva ao polo, basta verificar se r assume um menor e um maior valor. Quando este círculo existe, dizemos que a curva possui extensão limitada. Caso contrário, dizemos que a curva não possui extensão limitada. No nosso exemplo C: r = 2 + 2 cos , o menor valor que r assume é zero, pois a curva passa pelo polo. E o maior valor é 4, pois o maior valor que o cosseno assume é 1. Logo, os pontos de C são pontos interiores do círculo de centro no polo e raio 5, por exemplo. Portanto, C possui extensão limitada. Por outro lado, como a Geometria que estudamos trabalha com os números reais, interessa-nos apenas os valores de que estão associados a um número real r. Os valores de que não satisfazem a essa condição devem ser excluídos e portanto não fazem parte da Tabela. Observemos que para a curva C: r = 2 + 2 cos , qualquer valor de está associado a um número real r. Pela análise acima, podemos concluir que é suficiente considerarmos 0 , para construímos um esboço da curva C. Tabela e Esboço Como vimos no exemplo anterior, fazer um esboço de uma curva é uma tarefa trabalhosa. Esta tarefa pode ser simplificada se conseguimos identificar a curva através de sua equação, pois neste caso, alguns pontos principais são suficientes para fazermos um esboço. Daremos a seguir as equações de algumas curvas mais conhecidas em Matemática e os seus respectivos esboços. Limaçon Esta curva também conhecida de Caracol possui equação polar do tipo: r = a + b cos ou r = a + b sen onde, a, b são números reais distintos de zero. Quando os números a e b possuem módulos iguais, costumamos chamar o Limaçon de Cardióide, devido a sua forma que lembra o desenho de um coração. Clique nas equações a seguir para ver as animações das curvas. r = 1 + 2 cos r = 2 + 2 cos r = - 3 + 2 cos Após identificarmos um Limaçon através de sua equação, o seu traçado rápido pode ser obtido, verificando se este passa pelo polo e determinando seus pontos de interseção com os eixos polar e à 90 . Exemplos Esboce as curvas dadas a seguir: 1. C : r = 2 + cos C é um Limaçon e não passa pelo polo, pois quando r = 0 , cos = -2 e não existe que satisfaça a essa condição. Cálculo do conjunto abrangente de C : ( -1) r = 2 + cos( + n ), n n par r = 2 + cos n ímpar - r = 2 + ( - cos ) , ou seja, r = - 2 + cos M = { r = 2 + cos , r = - 2 + cos } Interseção com: a) Eixo polar: r = 2 + cos r = 2 + cos 0 = 3 , P ( 3, 0) r = - 2 + cos r = - 2 + cos 0 = - 1 , P (-1,0) b) Eixo à 90 : Além disso, se consideramos uma reta s que passa pelo polo e por uma das extremidades de uma pétala, por exemplo, podemos considerar s: = /2n . Estudando a simetria em relação a s, temos: r = r e = + 2 ( – ) = 2 - Aqui, = /2n , daí r = r e = 2( /2n) - = /n - Seja G a curva simétrica de C em relação à reta s , então: G: r = a sen n ( /n - ) r = a sen ( - n ), daí , G : r = a sen n Ou ainda, G : r = a sen n , logo a curva C é simétrica em relação à reta s. Raciocínio análogo nos leva a concluir que uma Rosácea é simétrica em relação às retas que passam pelo polo e por uma das extremidades de suas pétalas. IV - Consideremos ainda a Rosácea C: r = a sen n , pelo item anterior, o ponto P (a, /2n) é uma extremidade de uma pétala. Seja o menor ângulo tal que P (0, /2n + ) satisfaz a equação dessa Rosácea, ou seja: 0 = a sen n( /2n + ) . Daí, sen ( /2 + n ) = 0 . E então: /2 + n = n = - /2 = /2n Como a Rosácea é simétrica em relação à reta = /2n , temos que P (0, /2n - /2n) satisfaz também a equação da mesma. Daí podemos concluir que cada pétala dessa Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede o dobro de /2n , ou seja, /n. De modo análogo, pode-se mostrar que se a Rosácea possui equação r = a cos n , cada pétala está compreendida entre os lados de ângulo que mede /n. Exemplos: a)Seja C = 2 cos 2 . Observemos que o valor de n é igual a 2. Assim, que cada pétala dessa Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede /2.( Figura abaixo e à esquerda ) . b) Seja C = - 2 sen 3 . Observemos que o valor de n é igual a 3. Assim, que cada pétala dessa Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede /3.( Figura abaixo e à direita ) . Após identificarmos uma Rosácea através de sua equação, o seu traçado rápido pode ser obtido, determinando as seguintes características de suas pétalas: número, espaçamento entre as extremidades e extremidades. Exemplos Esboce as curvas dadas a seguir: C : r = - 3 cos 2 C é uma Rosácea de 4 pétalas. O espaçamento entre as extremidades das pétalas é igual a 2 /4, ou seja /2. Podemos calcular as coordenadas de uma das extremidades de uma pétala, fazendo r = 3 em sua equação: 3 = - 3 cos 2 , daí cos 2 = -1 e 2 pode ser . Portanto, = /2 e P ( 3, /2) é uma extremidade de uma pétala. Utilizando o espaçamento entre as extremidades das pétalas , obtemos as outras extremidade das pétalas: P ( 3, ) , P ( 3, 3 /2) e P ( 3, 2 ) . C : r = 2 sen 3 C é uma Rosácea de 3 pétalas. O espaçamento entre as extremidades das pétalas é igual a 2 /3. Podemos calcular as coordenadas de uma das extremidades de uma pétala, fazendo r = 2 em sua equação: 2 = 2 sen 3 , daí sen 3 = 1 , daí , 3 = /2 e = /6 . Logo, P ( 2, /6) é uma extremidade de uma pétala. Utilizando o espaçamento entre as extremidades das pétalas , obtemos as outras extremidade das pétalas: P ( 2, 5 /6) e P ( 2, 3 /2) . Lemniscata Toda curva de equação polar do tipo: r = a cos 2 ou r = a sen 2 onde, a * , chamamos de Lemniscata. Observações: I - Para = /4 ou = /2, temos r = 0 . Daí, toda Lemniscata passa pelo polo. II - Como r está elevado a uma potência par, a Lemniscata é simétrica em relação ao polo. III - Consideremos C: r = a cos 2 , assim, r = (a cos 2 ) . Daí, r é real quando a cos 2 0. Espiral de Arquimedes Toda curva de equação polar do tipo r = a , a *, chamamos Espiral de Arquimedes. Observações: I - Para = 0, temos r = 0 . Daí, toda Espiral de Arquimedes passa pelo polo. II - Estudando a simetria desta curva em relação ao eixo à 90 , temos : r' = - r e ' = - . Então a equação da curva G simétrica de C será: - r' = a (- ') . Daí , G: r'= a '. Ou ainda, G: r = a , logo G coincide com C e portanto C é simétrica em relação ao eixo à 90 . III - Não existe um círculo tal que os pontos de uma Espiral de Arquimedes sejam pontos interiores. Logo, esta curva não possui extensão limitada. IV - Consideremos a Espiral C: r = 2 e observemos as tabelas a seguir: 8 ê r=28 0 0 0 15 | (x/12) | 05236 30 | (2x/12)| 1,0472 45 [(2m/12)| 15708 60 | (4rf12)| 20944 75 [(5m/12) | 261709 00 | (6m/12) | 3,14189 105 [(77/12)| 3,66519 120 | (87/12) | 4,18879 135 | (9x/12) | 4,71239 150 [(10x/12)] 5,23599 165 |(11x/12)] 5,75959 180. |(i2x/125)] 6,28319 210 | (7/6) | 7,33038 240 | (8x/6) | 837758 270 | (9x/6) | 942478 300 [(10m/6) | 10472 330 | (11x/6) | 115192 360 |(12x/6) | 125664 390 | (12x/6) | 13,5136 420 | (t4x/6) | 14,5608 450 [(15=/6)| 15,708 Distinguimos então dois ramos dessa curva unidos pelo polo e que são simétricos, um do outro, em relação ao eixo à 90 . Por esta razão estes ramos se interceptam em pontos sobre este eixo. Finalizando, observemos que a curva C : r = 2, não passa pelo polo. Assim, podemos concluir que o polo não é um dos pontos de interseção dessas curvas. Logo, Gostaríamos de chamar a atenção que poderíamos obter o conjunto S resolvendo apenas um dos sistemas acima se utilizarmos o nosso conhecimentos sobre as curvas envolvidas. De fato, a curva C é uma Rosácea de quatro pétalas, o espaçamento entre as pétalas é /2 e uma extremidade é o ponto Q (4,0). E a curva C é um círculo de centro no polo e raio 2 . Se considerarmos os pontos obtidos no sistema I, os outros pontos são facilmente determinados utilizando as simetrias da Rosácea e do círculo. b) C : r = 4 - 6 sen e C : = - /6 Resolução: Consideremos os conjuntos abrangentes de C e C , M ={ r = 4 - 6 sen 2 , r = - 4 - 6 sen 2 } e M { = (1+6n)(- /6), n }, respectivamente. Aqui precisamos um pouco mais de cuidado, pois M é infinito. Uma opção é resolvermos os sistemas obtidos combinando uma equação de M com as equações de M e esboçarmos as curvas envolvidas. Então temos os sistemas: Por substituição podemos obter as soluções do sistema I: r = 4 – 6 sen (- /6) = 4 – 6 ( -1/2) = 7 . Daí, Q ( 7,- /6). De modo análogo, resolvemos o sistema II: r = - 4 – 6 sen ( - /6) = - 4 – 6 (-1/2) = -1 . Daí, Q ( -1,- /6). A curva C : r = 4 - 6 sen é um Limaçon. Observemos que para r = 0 temos que sen = 2/3 . Daí, = arc sen 2/3. Logo a curva passa pelo polo. Interseção com: a) Eixo polar: r = 4 - 6 sen r = 4 - 6 sen 0 = 4 , P ( 4, 0) r = - 4 - 6 sen r = - 4 - 6 sen 0 = - 4 , P (- 4,0) b) Eixo à 90 : r = 4 –6 sen r = 4 – 6 sen /2 = - 2 , P ( -2, /2) r = - 4 - 6 sen r = - 4 - 6 sen /2 = - 10 , P (- 10, /2) Por outro lado, C : = - /6 é uma reta que passa pelo polo e faz um ângulo de - /6 com o eixo polar. Como as duas curvas passam pelo polo, este é um dos pontos de interseção. Observemos a tabela a seguir: Ela nos assegura que os esboços das curvas C e C é: E, portanto, S=L0/(7. - 46), QL, - 2/6), 0(0.0)) Respostas: 1. b) P (1,120 ), P (1,480 ) e P (- 1,300 ). P ( 2,45 ) , P (- 2,-135 ) , P (- 2,225 ). c) P d) P (3,150 ) e) P (1, -16 /3) 2. a) Círculo : r = 4 b) reta  = 45o. 3. a) E(C) = { r = 4 , r = -4} b) E(C) = { = (2n+1) /2 ; n } c) E(C) = {r = 2 cos }. d) E(C) = { r = 2 cos 4 , r = - 2 cos 4 } 4. a) Sim b) Sim c) Não d) Sim. 5. a) S = { (0, /4), ( 2 + 2, /4), (2 - 2, 5 /4)} b) S = { (3 , /12), ( 3, 5 /12), (3 ,13 /12), (3 , 17 /12), (-3 , 7 /12), (- 3 ,19 /12), (-3 , 11 /12), (-3 , 23 /12)} c) S = { (4, ), ( 0,0), ( 4/7, arc cos 5/7 ( 1 quadrante)) ,( 4/7, - arc cos 5/7(4 quadrante))} d) S = { (4, ) , ( 4,0)} 6. a) ( 3, 5 /3) b) ( 13, 2 + arc tg(-2/3) ) c) ( 1,2) 7. a) = arc tg 2 b) r = 2 sen c) r sen 2 = 4 d) r cos - 4 r sen = 4 8. a) x = 2 b) x + y = 2 ( (x - y )) ; x y . c) 3x - y - 16x + 16 =0 9. A( - 2 + 13, 0) e B( - 2 - 13, 0). 10. r + 4 r cos - 3 r sen - 16 - 2 2 = 0 11. r - 4 3 r cos + 4 r sen - 20 = 0 12. s : 3 = r cos( - 60 ) 13. h = 1 14. a) m: 3 = r cos( - ) b) m: r cos( - /2) = 1 c) m: 3 = r cos( - 120 ) d) m : ( 2 + 6) /2 = r cos( - 135 ) e) m: = 150 ; f) m: 1/r = - 3/4 cos + 1/4 sen . 15. a) ( (-1)n 2 , - /3 + n) , n Z b) ( (-1) 2 , 2 /3 + n ) , n c) ( (-1) 2 , 4 /3 + n ) , n . 16. a) ( i ) r = -2 sen 2 ( ii ) r = -2 sen 2 r = 2 sen 2 b) ( i ) Não ( ii ) Não (iii ) Sim 17. r - 2 r cos + 2 3 r sen - 5 = 0. 18. ajr=2sec& bjr?=-25en28 Qr=3-4c0s8 a 4 so0o 4000 2 a000 2000 “et 2 2 5 54 8 2 - 1 25 2 «000 4 4 cdjt=2sent ejri=8c0s26 fjr=2cen38 125 05 1 hr=4+2seng jr=4cos26 ” FEÇEA
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