Coordenadas polares

Coordenadas polares

(Parte 2 de 6)

- ) = n

r cos(

É fácil verificar que o ponto N( n, ) também satisfaz esta equação, daí podemos concluir que esta equação é uma equação polar da reta s.

Exemplo: Considere o paralelogramo ABCD, onde A(0, 123 ), B(4, /3) e o ponto C é o simétrico de B em relação ao eixo à 90 . Determine um par de coordenadas polares do vértice D e as equações polares das retas suporte dos lados e das diagonais deste paralelogramo.

Solução: Como o ponto C é simétrico de B em relação à eixo à 90 , podemos concluir que o triângulo ABC é isósceles da base CB. Por outro lado, como a reta CB e o eixo polar são perpendiculares ao eixo à 90 , temos que a reta CB é paralela ao eixo polar. Daí podemos concluir que: o vértice D é ponto do eixo polar e o ângulo ABC é igual a /3 . Portanto o triângulo ABC é equilátero. Consequentemente, d(C,B) = d(A,B) = 4. Mas, ABCD é um paralelogramo, podemos então concluir que d(A,D) também é 4. Logo, um par de coordenadas polares de D é ( 4, ).

As retas AB, AC e AD passam pelo polo, daí suas equações polares são: = /3, =

2/3 e = 0 , respectivamente. A reta CB não passa pelo polo e o pé da perpendicular traçada do polo à esta reta é o ponto (2 3,/2) . Assim, r cos( - /2 ) = 2 3 , ou ainda, r sen = 2 3 é uma equação polar da reta BC.

A reta DB também não passa pelo polo e o pé da perpendicular traçada do pólo à esta reta é o ponto N'( 2, 2/3) , pois as diagonais de um losango são perpendiculares e se interceptam no ponto médio de ambas. Daí, r cos( - 2/3 ) = 2 é uma equação da reta DB.

Finalmente a reta DC, que também não passa pelo polo. Seja M(m,) o pé da perpendicular traçada do polo à reta DC. No triângulo DMA os ângulos com vértices em M e D são /2 e /3, respectivamente. Daí, o ângulo com vértice em O é /6. Conseqüentemente, w = - /6 = 5/6 e m = 4 cos /6 = 2 3 . Logo, r cos( - 5 /6 ) = 23 é uma equação polar da reta DC.

Observações:

I - Consideremos M um conjunto abrangente de uma s de equação r cos( - ) = n. Daí,

Assim temos , (-1) r cos( ( - ) + m ) = n.

m par : r cos( - ) = n. m ímpar : (-r) (- cos( - ) = n. Ou ainda, r cos( - ) = n.

Logo, M = { r cos( - ) = n } é um conjunto abrangente de s. Portanto, qualquer ponto de s, com qualquer par de coordenadas polares, tem que satisfazer a esta equação! O que é, sem sombra de dúvidas, muito útil, como veremos mais adiante.

I - Quando uma reta s não passa pelo polo, além de utilizarmos a equação r cos( - ) = n , costumamos desenvolver o cos( - ) , obtendo:

r [cos cos + sen sen ] = n cos (cos)/n + sen (sen)/n = 1/r

s : A cos + B sen = 1/r

Fazendo, A = (cos )/n e B = (sen )/n obtemos uma outra forma da equação polar da reta

Daí, reta DC: ( -1/4) cos + (3 / 12)sen = 1/r

Nós ainda podemos obter a equação da reta DC acima , utilizando a observação I. De fato, consideremos a reta DC: A cos + B sen = 1/r .

Como sabemos que os pontos C(4, 2/3) e D(4, ) satisfazem a equação da reta CD, podemos fazer as substituições abaixo:

A cos + B sen = 1/4

Temos então o sistema:

Cuja solução é A = -1/4 e B = 3 / 12 .

Exemplo: Determine uma equação polar reta t que passa pelo ponto P( 4, /2) e é perpendicular à reta s: 3 cos - 4 sen = 25/r.

Solução: Como a reta s não passa pelo polo, temos: A = 3/25 = (cos )/n B = - 4/25 = (sen )/n

Daí, tg = - 4/25 . 25/3 = - 4/3 , = arc tg - 4/3 , que podemos escolher no segundo quadrante.

Então: cos = - 3/5 e 3/25 = (- 3/5) /n . Daí, n = ( - 3/5)(25/3) = - 5 .Consequentemente, Ns(-5, arc tg - 4/3 [2 quadrante] ) é o pé da perpendicular traçada do polo à reta s.

Observemos a figura anterior, como a reta t é perpendicular à reta s podemos concluir que o quadrilátero ONQN é um retângulo.

Além disso, o ângulo de N é arc tg 3/4 , sen = 3/5 e cos = 4/5. Utilizando o fato do ponto P( 4, /2) pertence a t, temos: t : r cos( - ) = n. Assim, 4 cos ( /2 - ) = n 4 sen = n , daí, n = 4 .3/5 = 12/5. Logo, t : r cos( - arc tg 3/4(1 quadrante) ) = 12/5 , ou na outra forma:

Equação Polar do Círculo

A equação cartesiana de um círculo é bem simples, como a equação cartesiana da reta. Entretanto, não são raros os momentos que precisamos determinar soluções de problemas que envolvem o círculo e outras curvas cujas equações cartesianas não são simples, mas suas equações polares são. Daí, a necessidade de conhecermos a equação polar de um círculo.

Para estabelecermos uma equação polar do círculo, utilizaremos a noção de distância entre dois pontos, por isso precisaremos determinar uma fórmula de distância entre dois pontos em coordenadas polares. Um modo razoavelmente simples para isso é utilizar a bem conhecida fórmula da distância entre dois pontos em coordenadas cartesianas.

De fato, sejam P(x,y) e P(x,y) , assim,

Então se P(r,) e P(r,) , utilizando as fórmulas de transformações entre cartesianas e polares, obtemos:

Logo,

Agora estamos aptos a estabelecer a equação polar do círculo. Consideremos um círculo de centro no ponto C(r,) e de raio R.

ou seja,R = r - 2 r r cos( - ) + r . Que é uma equação polar do círculo.

Para todo ponto P(r, ) deste círculo temos que d(P,C) = R , assim:

Exemplo: O segmento PQ é uma diagonal de um quadrado. Sabendo que P(4,/3) e Q(4,

5/6) determine uma equação polar do círculo inscrito e do círculo circunscrito a este quadrado.

Solução: Sabemos que um quadrado é decomposto por uma de suas diagonais em dois triângulos retângulos isósceles e congruentes, cuja hipotenusa coincide com esta diagonal. Como o triângulo OPQ satisfaz estas condições, podemos concluir que o pólo é um vértice desse quadrado. Além disso, os centros dos círculos inscrito e circunscrito a um quadrado coincidem o ponto de interseção de suas diagonais e estas são congruentes e se cortam no ponto médio de ambas.

Por outro lado, os raios dos círculos inscrito e circunscrito são 2 ( metade do lado) e

2 2 ( metade da diagonal), respectivamente. Daí,

Observações

r - 2 r r cos( - ) + r = REntão,
Daí,[(-1)r] - 2 [(-1)r] r cos( [ - ] + m ) + r = R

I - Consideremos M um conjunto abrangente de um círculo C de equação M = {[(-1)r] - 2 [(-1)r] r cos( [ + m ] - ) + r = R , m }. m par : r - 2 r r cos( - ) + r = R m ímpar: (- r ) - 2(- r )r(- cos( - )) + r = R , ou ainda, r - 2 r r cos( - ) + r = R

Logo, o conjunto M = {r - 2 r r cos( - ) + r = R } é unitário. Daí, um ponto qualquer do círculo, distinto do pólo, com qualquer par de coordenadas polares satisfaz a equação polar desse círculo, na forma anterior.

I - De modo análogo ao que fizemos para reta, desenvolvendo o cos( - ) temos : r - 2 r r[cos cos + sen sen ] + r - R = 0 r + r ( - 2 r cos ) cos + r ( - 2 r sen) sen + ( r - R ) = 0 Fazendo, a = - 2 r cos b = - 2 r sen c = r - R obtemos uma outra forma para a equação polar de um círculo:

r + a r cos + b r sen + c = 0

No exemplo anterior, temos C = (2 2, 7/12)e Rcric = 2 , então:
Logo, Ccirc: r + (- 2 + 2 3) r cos + (- 2 - 2 3) r sen = 0

b = -2 2 2 sen 7/12 = - 4 2 2/4 (1 + 3) = - 2 - 2 3 c = ( 2 2) - (2 2) = 0 Poderíamos também utilizar a observação I. De fato, os pontos C, D e O pertencem ao círculo circunscrito, logo satisfazem a equação r + a r cos + b r sen + c = 0 Ou seja,

( Observemos que o contrário também é verdade, ou seja, quando c = r - R = 0 , temos r = R . E portanto o círculo passa pelo polo).

P(4, /3) 4 + a 4 cos /3 + b 4 sen /3 = 0 , ou seja, 16 + 4 a 1/2 + 4 b 3/2 = 0
Cuja solução é a = - 2 + 2 3e b = - 2 - 2 3.

Daí, 8 - a 3 + b = 0. Temos então o sistema: 8 + a + b 3 = 0 8 - a 3 + b = 0

Determine os coeficientes a, b e c , para o círculo inscrito do exemplo anterior e compare com os coeficientes determinados para o círculo circunscrito. O que você pode concluir quando dois círculos são concêntricos?

Exemplo : Determine uma equação polar do círculo C tangente ao eixo polar e que é concêntrico com o círculo C: r - 4 r sen - 5 = 0 .

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