Coordenadas polares

Coordenadas polares

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Solução : Comparando as equaçõesr - 4 r sen - 5 = 0 e r + a r cos + b r sen + c =

0 , temos que:

Observemos que a = 0e r não é zero, pois b = - 4.
Daí, cos = 0e pode ser /2 .
Consequentemente, r = 2e ( 2, /2 ) é um par de coordenadas polares do centro do

a = 0 = - 2 r cos b = - 4 = - 2 r sen círculo C, que coincide com o centro do círculo C. Por outro lado, C é tangente ao eixo polar, assim, R = 2.

Daí, a = 0 ,b = - 4 e c = r - R = 0.

Logo, C : r - 4 r sen = 0

Discussão e traçado de curvas

Um dos problemas estudados pela Geometria Analítica é: "Dado uma equação esboçar o lugar geométrico que ela representa" . Resolver este problema, nem sempre é uma tarefa simples, muitas vezes requer recursos avançados do cálculo. Aqui, nos restringiremos a recursos matemáticos elementares, pois cálculo não é pré-requisito para MAT.002.

Tudo começa com análise ou discussão de uma equação da curva e posteriormente compõe-se uma tabela de pontos que orientará o esboço do lugar geométrico. Vamos dividir a análise ou discussão da equação nas seguintes etapas:

I - Verificação se a curva passa pelo polo. I - Construção de um conjunto abrangente da curva.

I - Interseções com eixos polar e à 90. IV - Estudo de simetrias. V - Análise da extensão da curva.

O exemplo dado a seguir pode ser utilizado como modelo para o esboço de uma curva qualquer.

Exemplo: Esboce a curva C de equação r = 2 + 2 cos . Solução: Análise ou discussão da equação:

I - Verificação se a curva passa pelo polo.

Aqui, basicamente procuramos a resposta para a pergunta: " Existe para o qual r = 0? "

, daí cos = -1E pode ser .

No nosso exemplo, temos: 0 = 2 + 2 cos

Assim, o polo satisfaz a essa equação com o par de coordenadas O( 0 , ). Portanto, a curva C passa pelo polo.

I - Construção de um conjunto abrangente da curva.

n par r = 2 + 2 cos

n ímpar -r = 2 + 2( - cos ),ou seja, r = - 2 + 2 cos

I - Interseção com os eixos:

a) Eixo polar: todo ponto P do eixo polar possui um par de coordenadas ( r, 0). Aqui, vamos verificar que pontos com esta característica satisfazem às equações do conjunto M, ou seja, b) Eixo à 90: todo ponto P do eixo à 90 possui um par de coordenadas ( r, /2). De modo análogo ao item anterior, vamos verificar que pontos com esta característica satisfazem às equações do conjunto M, ou seja,

r = -2 + 2 cos r = - 2 + 2 cos /2 = 0 , P (- 2 , /2)

Observemos que com apenas estes quatro pontos fica difícil imaginarmos o traçado da curva C.

IV - Estudo de simetrias.

Simetria em relação: a) Ao eixo polar: Seja G a curva simétrica de C em relação ao eixo polar:

G : r = 2 + 2 cos( - ) r = 2 + 2 cos Daí, G coincide com C e portanto a curva C é simétrica em relação ao eixo polar.

Este fato nos sinaliza que, para a construção do esboço dessa curva é suficiente fazermos variar de 0 até e utilizarmos esta simetria para obtermos os outros pontos necessários. b) Ao eixo à 90: Seja G' a curva simétrica de C em relação ao eixo à 90:

G' : - r = 2 + 2 cos r = - 2 - 2 cos Como esta equação não pertence ao conjunto M, G' não coincide com C e portanto a curva

C não é simétrica em relação ao eixo à 90 c) Ao polo: Seja G'' a curva simétrica de C em relação ao polo:

Como esta equação não pertence ao conjunto M, G'' não coincide com C e portanto a curva C não é simétrica em relação ao polo.

V - Análise da extensão da curva.

Este item tem como um dos objetivos determinar se existe, ou não, um círculo de raio R, tal que todos os pontos da curva são pontos interiores a este círculo. Ora, como r representa a distância dos pontos da curva ao polo, basta verificar se r assume um menor e um maior valor.

Quando este círculo existe, dizemos que a curva possui extensão limitada. Caso contrário, dizemos que a curva não possui extensão limitada.

No nosso exemplo C: r = 2 + 2 cos , o menor valor que r assume é zero, pois a curva passa pelo polo. E o maior valor é 4, pois o maior valor que o cosseno assume é 1. Logo, os pontos de C são pontos interiores do círculo de centro no polo e raio 5, por exemplo. Portanto, C possui extensão limitada. Por outro lado, como a Geometria que estudamos trabalha com os números reais, interessa-nos apenas os valores de que estão associados a um número real r. Os valores de que não satisfazem a essa condição devem ser excluídos e portanto não fazem parte da Tabela.

Observemos que para a curva C: r = 2 + 2 cos , qualquer valor de está associado a um número real r.

Pela análise acima, podemos concluir que é suficiente considerarmos 0 , para construímos um esboço da curva C.

Tabela e Esboço

Como vimos no exemplo anterior, fazer um esboço de uma curva é uma tarefa trabalhosa. Esta tarefa pode ser simplificada se conseguimos identificar a curva através de sua equação, pois neste caso, alguns pontos principais são suficientes para fazermos um esboço. Daremos a seguir as equações de algumas curvas mais conhecidas em Matemática e os seus respectivos esboços.

Limaçon

Esta curva também conhecida de Caracol possui equação polar do tipo:

our = a + b sen

r = a + b cos onde, a, b são números reais distintos de zero.

Quando os números a e b possuem módulos iguais, costumamos chamar o Limaçon de Cardióide, devido a sua forma que lembra o desenho de um coração. Clique nas equações a seguir para ver as animações das curvas.

r = 1 + 2 cosr = 2 + 2 cos r = - 3 + 2 cos

Após identificarmos um Limaçon através de sua equação, o seu traçado rápido pode ser obtido, verificando se este passa pelo polo e determinando seus pontos de interseção

com os eixos polar e à 90

Exemplos

Esboce as curvas dadas a seguir: 1. C : r = 2 + cos

C é um Limaçon e não passa pelo polo, pois quando r = 0 , cos = -2 e não existe que satisfaça a essa condição.

Cálculo do conjunto abrangente de C : ( -1) r = 2 + cos( + n ), n n par r = 2 + cos n ímpar - r = 2 + ( - cos ) , ou seja, r = - 2 + cos

M = { r = 2 + cos , r = - 2 + cos } Interseção com: a) Eixo polar:

2. C : r = 1 + 3 sen C é um Limaçon.

Observemos que para r = 0, temos que sen = - 1/3 . Daí, = arc sen - 1/3 e ( 0 , arc sen - 1/3) é par de coordenadas polares do polo que satisfaz a esta equação. Logo a curva passa pelo polo.

M = { r = 1 + 3 sen ,r = - 1 + 3 sen }

Cálculo do conjunto abrangente de C: ( -1) r = 1 + 3 sen( + n ), n n par r = 1 + 3 sen n ímpar - r = 1 + 3( - sen ), ou seja, r = - 1 + 3 sen Interseção com: a) Eixo polar:

Rosáceas

Toda curva de equação polar do tipo:

our = a sen n

r = a cos n onde, a * , n e n 1 , chamamos de Rosácea.

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