Coordenadas polares

Coordenadas polares

(Parte 4 de 6)

O número de pétalas de uma Rosácea depende do número n:

Se n é par, temos 2n pétalas. Se n é ímpar, temos n pétalas.

r = 3 sen 2r = 4 cos 5

Clique nas equações a seguir para ver as animações das curvas. Observações:

I - Para = /2n ou = /n , temos r = 0 . Daí, toda Rosácea passa pelo polo.

I - As extremidades das pétalas de uma Rosácea distribuem - se igualmente espaçadas no intervalo de 0 à 2. Assim, se conhecemos uma dessas extremidades, as outras são facilmente determinadas, adicionando ao arco dessa extremidade o ângulo obtido quando dividimos 2 pelo números de pétalas. Chamaremos a medida desse ângulo de espaçamento entre as extremidades.

escolher = /2n e o pontoP(a , /2n ) é uma extremidade de uma pétala.

I - Sem perda de generalidade, consideremos a Rosácea C: r = a sen n . Para os pontos dessa curva mais afastados do polo, temos r = a . Chamamos estes pontos de extremidades de uma pétala. Por exemplo, se r = a , temos sen n = 1 , daí podemos Por outro lado, observemos que os pontos de uma Rosácea são pontos interiores ao círculo de centro no polo e raio igual a a + 1. Daí, a Rosácea tem extensão limitada.

Além disso, se consideramos uma reta s que passa pelo polo e por uma das extremidades de uma pétala, por exemplo, podemos considerar s: = /2n . Estudando a simetria em relação a s, temos:

r = re = + 2 ( – ) = 2 -
Aqui, = /2n , daír = r e = 2(/2n) - = /n -

Seja G a curva simétrica de C em relação à reta s , então: G: r= a sen n ( /n - ) r = a sen ( - n ), daí , G : r= a sen n Ou ainda, G : r = a sen n , logo a curva C é simétrica em relação à reta s.

Raciocínio análogo nos leva a concluir que uma Rosácea é simétrica em relação às retas que passam pelo polo e por uma das extremidades de suas pétalas.

IV - Consideremos ainda a Rosácea C: r = a sen n , pelo item anterior, o ponto P(a, /2n) é uma extremidade de uma pétala. Seja o menor ângulo tal que P(0, /2n + ) satisfaz a equação dessa Rosácea, ou seja:

0 = a sen n(/2n + ) . Daí, sen (/2 + n ) = 0

Como a Rosácea é simétrica em relação à reta = /2n , temos que P(0, /2n - /2n) satisfaz também a equação da mesma. Daí podemos concluir que cada pétala dessa Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede o dobro de /2n , ou seja, /n.

De modo análogo, pode-se mostrar que se a Rosácea possui equação r = a cos n , cada pétala está compreendida entre os lados de ângulo que mede /n.

Exemplos: a)Seja C = 2 cos 2 . Observemos que o valor de n é igual a 2. Assim, que cada pétala

abaixo e à esquerda )

dessa Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede /2.( Figura b) Seja C = - 2 sen 3 . Observemos que o valor de n é igual a 3. Assim, que cada pétala dessa Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede /3.( Figura abaixo e à direita ) .

Após identificarmos uma Rosácea através de sua equação, o seu traçado rápido pode ser obtido, determinando as seguintes características de suas pétalas: número, espaçamento entre as extremidades e extremidades.

Exemplos

Esboce as curvas dadas a seguir: C : r = - 3 cos 2 C é uma Rosácea de 4 pétalas. O espaçamento entre as extremidades das pétalas é igual a

2/4, ou seja /2. Podemos calcular as coordenadas de uma das extremidades de uma pétala, fazendo r = 3 em sua equação:

3 = - 3 cos 2 , daí cos 2 = -1 e 2 pode ser . Portanto, = /2 e P( 3, /2) é uma extremidade de uma pétala. Utilizando o espaçamento entre as extremidades das pétalas ,

obtemos as outras extremidade das pétalas: P( 3, ) , P( 3, 3/2) e P( 3, 2)

C : r = 2 sen 3 C é uma Rosácea de 3 pétalas. O espaçamento entre as extremidades das pétalas é igual a

2/3. Podemos calcular as coordenadas de uma das extremidades de uma pétala, fazendo r = 2 em sua equação:

2 = 2 sen 3 , daí sen 3 = 1 , daí , 3 = /2 e = /6 . Logo, P( 2, /6) é uma extremidade de uma pétala. Utilizando o espaçamento entre as extremidades das pétalas , obtemos as

outras extremidade das pétalas: P( 2, 5/6) e P( 2, 3/2)

Lemniscata Toda curva de equação polar do tipo:

r = a cos 2ou r = a sen 2

onde, a * , chamamos de Lemniscata.

Observações:

I - Para = /4 ou = /2, temos r = 0 . Daí, toda Lemniscata passa pelo polo. I - Como r está elevado a uma potência par, a Lemniscata é simétrica em relação ao polo.

I - Consideremos C: r = a cos 2 , assim, r = (a cos 2) . Daí, r é real quando a cos 2 0.

Se a > 0, temos que cos 2 0 . E então 2 é um arco do 1 e 4 quadrantes, ou seja: -/2 2 /2 . Daí, -/4 /4.

Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos concluir que esta curva está localizada na região ilustrada a seguir.

Se a < 0, temos que cos 2 0 . E então 2 é um arco do 2 e 3 quadrantes, ou seja:

Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos concluir que esta curva está localizada na região ilustrada a seguir.

Faça um estudo análogo para C : r = a sen 2.

IV - Observemos que os pontos P( a , ) que satisfaz a equação de uma Lemniscata são os mais afastados do polo. Chamamos estes dois pontos de extremidades. Daí, os pontos de uma Lemniscata são pontos interiores do círculo de centro no polo e raio R = a + 1 . Logo, a Lemniscata possui extensão limitada.

V - De modo análogo ao feito para a Rosácea, podemos mostrar que a Lemniscata é simétrica em relação à reta que passa pelo polo e por uma das suas extremidades.

Após identificarmos uma Lemniscata através de sua equação, o seu traçado rápido pode ser obtido, determinando as seguintes características: região onde a curva se localiza e as extremidades.

Exemplos

Esboce as curvas dadas a seguir: C : r = - 9 cos 2 C é uma Lemniscata e podemos escrever: r = (- 9 cos 2) Daí, cos 2 0 . E então 2 é um arco do 2 e 3 quadrantes, ou seja: /2 2 3/2 . Assim, /4 3/4.

9 = - 9 cos 2 , daí, cos 2 = -1, ou seja, 2 =Assim, podemos considerar = /2 , A(3,

As suas extremidades são A( 3 , ) e B ( -3 , ). Substituindo na equação obtemos:

/2) e B(-3,/2). Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos esboçar:

Daí, sen 2 0 . E então 2 é um arco do 1 e 2 quadrantes, ou seja: 0 2

C : r = 9 sen 2 C é uma Lemniscata e podemos escrever: r = (9 sen 2 ) Assim, 0 /2. As suas extremidades são A( 3 , ) e B ( -3 , ). Substituindo na equação obtemos: 9 = 9 sen 2 , daí, sen 2 = 1, ou seja, 2 = /2.

Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos esboçar:

Espiral de Arquimedes Toda curva de equação polar do tipo r = a , a *, chamamos Espiral de Arquimedes.

Observações:

I - Estudando a simetria desta curva em relação ao eixo à 90, temos : r' = - r e ' = -
Então a equação da curva G simétrica de C será: - r' = a (-')Daí , G: r'= a '. Ou ainda,

I - Para = 0, temos r = 0 . Daí, toda Espiral de Arquimedes passa pelo polo. G: r = a , logo G coincide com C e portanto C é simétrica em relação ao eixo à 90.

I - Não existe um círculo tal que os pontos de uma Espiral de Arquimedes sejam pontos interiores. Logo, esta curva não possui extensão limitada.

IV - Consideremos a Espiral C: r = 2 e observemos as tabelas a seguir:

Distinguimos então dois ramos dessa curva unidos pelo polo e que são simétricos, um do outro, em relação ao eixo à 90 . Por esta razão estes ramos se interceptam em pontos sobre este eixo.

Clique na equação para ver a animação da curva: r = 2

0 ou 0 ) e utilizar a simetria em relação ao eixo à 90

Após identificarmos uma Espiral de Arquimedes através de sua equação, o seu traçado rápido pode ser obtido, determinando alguns pontos de um dos seus ramos(

Esboce a curva C : r = - 3

Exemplo:

(Parte 4 de 6)

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