Coordenadas polares

Coordenadas polares

(Parte 5 de 6)

C é uma Espiral de Arquimedes. Construindo a tabela para 0 e utilizando a simetria em relação ao eixo à 90 , temos o esboço:

Interseção de curvas

Muitas vezes a resolução de uma situação problema recai na determinação dos pontos de interseção de curvas. Este problema em geral é resolvido determinando as soluções do sistema construído pelas equações das curvas envolvidas.

Em coordenadas polares, a resolução deste problema requer um pouco mais de cuidado, pois um ponto do plano possui um número infinito de pares de coordenadas polares e pode acontecer que um ponto de interseção das curvas envolvidas, satisfaça uma equação com um par de coordenadas e a uma outra com outro par de coordenadas.

Consequentemente, nenhum desses pares será uma solução para o sistema formado pelas equações das curvas envolvidas.

Contornamos desta dificuldade, utilizando as equações dos conjuntos abrangentes das curvas. Constituímos sistemas combinando as equações desses conjuntos abrangentes. As soluções encontradas constituirão as coordenadas polares de todos os pontos de interseção das curvas, exceto talvez o polo. Assim, para concluímos a interseção, teremos ainda que verificar se cada uma dessas curvas passa pelo polo.

O fato de conhecermos as curvas através das suas equações, poderá fornecer dados concretos que, na maioria das vezes, reduzem a necessidade de resolução de todos os sistemas construídos com as equações dos conjuntos abrangentes das curvas envolvidas, como veremos nos exemplos dados a seguir.

Exemplos: Determine o conjunto S dos pontos de interseção das curvas dadas a seguir:

a)C: r = 4 cos 2e C: r = 2.

Resolução:

Consideremos os conjuntos M = {r = 4 cos 2 , r = - 4 cos 2} e M = {r = 2, r = - 2}, conjuntos abrangentes de C e C , respectivamente. Então temos os sistemas:

Por substituição podemos obter as soluções do sistema I: 2 = 4 cos2 . Daí, cos 2 = 1/2 e assim, 2 = /3 ou 2 = - /3. Ou ainda, = - /6 ou = - /6.

Logo, temos os pontos P(2, /6) e P(2, -/6). Resolvendo o sistema I:

De modo análogo, com as soluções dos sistema I e IV, Obtemos os pontos de interseção:

Finalizando, observemos que a curva C: r = 2, não passa pelo polo. Assim, podemos concluir que o polo não é um dos pontos de interseção dessas curvas. Logo,

Gostaríamos de chamar a atenção que poderíamos obter o conjunto S resolvendo apenas um dos sistemas acima se utilizarmos o nosso conhecimentos sobre as curvas

pétalas é /2 e uma extremidade é o ponto Q(4,0)E a curva C é um círculo de
centro no polo e raio 2

envolvidas. De fato, a curva C é uma Rosácea de quatro pétalas, o espaçamento entre as

Se considerarmos os pontos obtidos no sistema I, os outros pontos são facilmente determinados utilizando as simetrias da Rosácea e do círculo.

b) C: r = 4 - 6 sene C: = - /6

Resolução:

Consideremos os conjuntos abrangentes de C e C , M ={ r = 4 - 6 sen 2 , r = - 4

Aqui precisamos um pouco mais de cuidado, pois M é infinito. Uma opção é resolvermos os sistemas obtidos combinando uma equação de M com as equações de M e esboçarmos as curvas envolvidas. Então temos os sistemas:

Por substituição podemos obter as soluções do sistema I:

A curva C: r = 4 - 6 sen é um Limaçon. Observemos que para r = 0 temos que sen = 2/3 . Daí, = arc sen 2/3. Logo a curva passa pelo polo.

Interseção com: a) Eixo polar:

Por outro lado, C: = - /6 é uma reta que passa pelo polo e faz um ângulo de - /6 com o eixo polar. Como as duas curvas passam pelo polo, este é um dos pontos de interseção. Observemos a tabela a seguir:

Ela nos assegura que os esboços das curvas C e C é:

E, portanto, E, portanto,

Lista de exercícios

a) A representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar. b) Três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos P e P. c) Quais desses pontos coincidem com o ponto P(3,2310). d) O conjunto principal de coordenadas polares do ponto P. e) Um conjunto de coordenadas polares (r,) do ponto P , tal que r > 0 e ( -7 , - 5 ).

2. Em cada um dos itens a seguir, identifique o lugar geométrico do ponto que se move e faça um esboço desse lugar.

a) Um ponto P(r,) se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial

( ), seu raio vetor( r) permanece constante e igual a 4. b) Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo vetorial permanece constante e igual a 45.

a) C: r = 4b) C: =/2
c) C: r = 2 cosd) C: r = 2 cos4

3. Determine um conjunto abrangente para cada uma das curva dadas a seguir:

a) P( -1, /6) eC: r 2 - 2 cos 2 = 0.

4. Verifique se o ponto P pertence à curva C, quando:

/2) eC: r(1- 3 sen ) = 4.
c) P(4,/2) eC: r = 4 sen 3 .
a) C: r = 2 + 2 cose C: = /4.
b) C r = 3e C: r = 6 sen 2 .
c) C: r = 2 - 2cose C: r = 16 cos 2.
d) C: r = 4 - 2sene C: r - r sen = 4.

5. Determine as interseções das curvas C e C, analiticamente.

6. Determine o conjunto principal de coordenadas polares dos pontos de coordenadas retangulares:

a) (3/2, (-3)/2)b) ( 3,-2) c) (cos2, sen2)
a) 2x - y = 0b) x
+ y - 2y = 0c) x y = 2 d) x - 4y = 4

7. Transforme a equação retangular dada em sua forma polar: 8. Transforme a equação polar dada em sua forma retangular:

a) r cos - 2 = 0 b) r = 4 cos 2 c) r(1 + 2 cos ) = 4

9. Determine os pontos do eixo polar distando 5 unidades do ponto P(4,4 /3).

10. Dado o círculo C: r + 4 r cos - 3r sen - 15 = 0 , determine uma equação polar do círculo concêntrico com o círculo C e que passa pelo ponto P(4,45).

1. Dado o círculo C: r - 4 3 r cos + 4 r sen + 7 = 0 , determine uma equação polar do círculo concêntrico com C e cujo raio é o dobro do raio de C.

12. Determine uma equação polar da reta s que passa pelo P(3,60), sabendo que o segmento OP é normal à reta s.

13. Determine a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC, sabendo que o vértice A é o polo e que os vértices B e C pertencem à reta s: r cos( + 15) = 1.

a) é paralela ao eixo à 90
b) é perpendicular ao eixo à 90

14. Determine uma equação polar da reta m que passa pelo ponto P(-2,330) e que:

c) é paralela à reta s: = /6.

d) é perpendicular à reta t: r(cos + sen ) = 2. e) passa pelo ponto Q(1,-30). f) passa pelo ponto R(4,210).

15. Determine todos os pares de coordenadas polares do ponto Q simétrico de P(2, /3) em relação :

a) ao eixo polarb) ao eixo à 90 c) ao polo.

16. Considere a curva C: r = 2 sen 2. a) Determine uma equação polar da curva C’ simétrica de C em relação:

(i) ao eixo polar(i ) ao eixo à 90

(i) ao polo.

b) Verifique se C é simétrica em relação:

(i) ao eixo polar(i ) ao eixo à 90 (ii) ao polo.

17. Determine uma equação polar do círculo de centro no ponto C, simétrico de C(-2,-60)

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