resistencia

resistencia

(Parte 3 de 5)

Exemplo: Linhas de influência de momentos flectores para uma viga Gerberisostática.

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência

•LIspara estruturas hiperestáticas

–A validade do Princípio de Müller‐Breslaupara estruturas hiperestáticaspode ser demonstrada utilizando o Teorema de Betti, que é uma consequência do PDV.

Teorema de Betti: O trabalho da forças externas P de uma 1ª estrutura com os correspondentes deslocamentos externos de outra 2ª estrutura é igual ao trabalho das forças externas Q da 2ª estrutura com os correspondentes deslocamentos da 1ª (nota: só é válido para estruturas em regime elástico linear)

Teoremas

Energéticos em MRM

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência

•LIspara estruturas hiperestáticas

Teorema de Betti: Considere as duas vigas contínuas hiperestáticascom mesmo comprimento mostradas na figura. A viga (1) tem uma A viga (2).

viga (1): carga concentrada unitária P1 = 1, aplicada a uma distância xdo início da viga e que provoca os deslocamentos verticais v 1 (x) ao longo da viga viga (2): idêntica à viga (1) mas sem o primeiro apoio, sendo que naquela posição é aplicada uma carga concentrada P 2 que provoca um deslocamento unitário para baixo no seu ponto de aplicação. A elástica desta viga é dada por v 2 (x)

Princípio dos Deslocamentos Virtuais: O PDVé aplicado para as vigas (1) e (2), sendo que os campos de deslocamentos virtuais utilizados são os deslocamentos da outra viga, isto é, o campo de deslocamentos virtuais imposto à viga (1) é a elástica v 2

(x) da viga (2) e para a viga (2) é imposta a elástica v1 (x) como campo de deslocamentos virtuais. Considerando um comportamento elástico‐linear, as expressões do PDVpara as duas vigas estabelece que:

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência

•LIspara estruturas hiperestáticas

Teorema de Betti: Considere as duas vigas contínuas hiperestáticascom mesmo comprimento mostradas na figura. A viga (1) tem uma A viga (2).

Nota: 1.Os somatórios do lado esquerdo dos sinais de igualdade representam os trabalhos virtuais das forças externas, isto é,

ΣF 1v2 é o trabalho das forças da viga (1) com os correspondentesdeslocamentos externos da viga (2), e ΣF2v1 é o inverso. 2.Os integrais do lado direito dos sinaisde igualdade representam as energias de deformação virtual interna. O primeiro integral é a energia de deformação por flexão e a segunda é a energia de deformação devido ao corte. M 1 e Q1 são os diagramas de momento flector e esforço transverso da viga (1), e M 2 e Q2 são os diagramas da viga (2). E é o módulo de elasticidade do material, G é o módulo de distorção, Ié momento de inércia da secção transversal e A c é a área efectiva de corte da secção transversal (MRM). 3.Como que as energia de deformação virtual interna das duas expressões são iguais. Portanto:

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência

•LIspara estruturas hiperestáticas

Teorema de Betti: Considere as duas vigas contínuas hiperestáticascom mesmo comprimento mostradas na figura. A viga (1) tem uma A viga (2).

1.As LIspara estruturas hiperestáticassão formadas por trecho curvos, enquanto que para estruturas isostáticas elas são formadas por trechos rectos. 2.A liberação do vínculo no caso de uma estrutura hiperestáticaresulta numa estrutura que ainda oferece resistência ao deslocamento generalizado imposto. Isto significa que a estrutura sofre deformações internas para se ajustar ao deslocamento imposto, isto é, as barras sofrem deformações de flexão. 3.Se forem desprezadas deformações por esforço transverso e considerando barras prismáticas (secções transversais constantes), a equação diferencial que governa o comportamento de barras à flexão é a Equação de Navier:

Aplicando o Teorema de Bettipara as duas vigas, tem‐se:

Aplicando o Teorema de Bettipara as duas vigas, tem‐se:

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência

•LIspara estruturas hiperestáticas

•Equação de Navierpara o comportamento à flexão : desprezando as deformações devidas ao esforço transverso, a Navier(sec. 19) deduziu uma equação diferencial que relaciona os deslocamentos transversais v(x)de uma viga com o carregamento distribuído transversalmente q(x) ao longo da viga

Relações de Equilíbrio:

No caso de barras prismáticas ( I(x) = const. ):

Equação de Navierpara o comportamento à flexão :

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência

•LIspara estruturas hiperestáticas •Equação de Navierpara o comportamento à flexão :

Como no caso do método cinemático para o traçado de LI o carregamento distribuído é nulo, a elástica resultante (que é a própria LI)é regida pela seguinte equação diferencial:

Portanto, no caso geral, as LI’spara estruturas hiperestáticassão formadas por trechos curvos que são descritos matematicamente por polinómios do 3º grau.

1.O método cinemático é bastante útil para a determinação do aspecto qualitativo de uma LI, isto é, quando se deseja obter apenas a forma da LI. Isto é frequentemente utilizado no projecto de estruturas submetidasa cargas móveis uniformemente dis tribuída s 2.Como os valores máximos e mínimos do momento flector na secção não precisam ser calculados necessariamente com base na LI; qualquer outro método poderia ser utilizado. Assim, somente os aspectos qualitativos da LI’spossibilitam a determinação de valores máximos e mínimos de esforços ao longo da estrutura.

⇔à determinação do momento na secção s para o carregamento indicado na estrutura original.

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência •LIspara estruturas hiperestáticas(método cinemático)

Exemplo: Linhas de influência de reacções de apoio para uma viga contínua hiperestática

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência •LIspara estruturas hiperestáticas(método cinemático)

Exemplo: Linhas de influência de esforços transversos para uma viga contínua hiperestática

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência •LIspara estruturas hiperestáticas(método cinemático)

Exemplo: Linhas de influência de momentos flectores para uma viga contínua hiperestática

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência

•LIspara estruturas hiperestáticas(método cinemático)

Metodologia geral: A determinação de uma LI baseada no método cinemático é feita pela superposição de duasconfigurações deformadas (elásticas) para uma mesma estrutura.

Exemplo: para o caso da LI de esforço transverso numa secção genérica de uma viga contínua.

(I)Corresponde a um deslocamento generalizado (para o traçado da LI)impostolocalmente à barra que contém a secção de estudo. No exemplo, considerou‐se deliberadamente que a barra em questão não abrange todo o vão central entre apoios. Dessa forma, considera‐se uma situação mais geral. O campo de deslocamentos imposto no caso (I) fica restrito à barra da secção de estudo pois ele corresponde a uma situação de encastramento perfeito da barra, isto é, como se ela fosse biencastrada. Note‐se que esta situação corresponde ao caso (0) da metodologia de cálculo do Método dos Deslocamentos.

(I)Considera o efeito global do deslocamento generalizado imposto. Este efeito global é determinado pelo cálculo da elástica global da estrutura devida a uma solicitação onde as reacções de encastramento do caso (I) são aplicadas aos nós extremos da barra em questão com seus sentidos opos tos

Conclusão:É necessário fornecer soluções de encastramento perfeito para linhas de influência típicas numa barra. Estas soluções devem conter as reacções no encastramento e a equação da elástica devida a um deslocamento generalizado imposto para todas LI’sde esforço transverso e momento flector numa secção genérica de uma viga biencas trada.

Cargasmóveise acidentais; linhasde influência

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