Análise M II

Análise M II

(Parte 1 de 9)

Indice

1.1 Generaliza»c~ao da opera»c~ao adi»c~ao1
1.2 Deflni»c~ao de s¶erie. Convergencia. Propriedades gerais3
1.3 S¶eries alternadas13
1.4 Convergencia absoluta16
1.5 S¶eries de termos n~ao negativos19
1.6 Multiplica»c~ao de s¶eries35
2.1 Introdu»c~ao. Sucess~oes de fun»c~oes39
2.2 Convergencia pontual e convergencia uniforme de s¶eries de fun»c~oes42
2.3 S¶eries de potencias52
2.4 S¶erie de Taylor e s¶erie de MacLaurin58

2 S¶eries de Fun»c~oes 39

3.1 Normas e m¶etricas65
3.2 No»c~oes topol¶ogicas em RN72

3 No»c~oes Topol¶ogicas em RN 65

4.1 Fun»c~oes reais de v¶arias vari¶aveis reais79
4.2 Fun»c~oes vectoriais81
4.3 Limites e continuidade82

4 Fun»c~oes de V¶arias Vari¶aveis 79

5.1 Derivadas parciais. Teorema de Schwarz9
5.2 Diferencial107
5.3 Derivada segundo um vector122
6.1 S¶eries Num¶ericas125
6.2 S¶eries de Fun»c~oes132
6.3 Normas e m¶etricas136
6.4 C¶alculo diferencial em RN138
6.4.2 Limites e continuidade140
6.4.3 Derivadas parciais e Teorema de Schwarz. Diferenciabilidade142
6.4.4 Fun»c~ao composta145
6.4.5 Derivadas direccionais147

Cap¶‡tulo 1 S¶eries Num¶ericas

1.1 Generaliza»c~ao da opera»c~ao adi»c~ao

A opera»c~ao adi»c~ao (ou soma) ¶e inicialmente deflnida como a aplica»c~ao que a cada par de n¶umeros reais faz corresponder um n¶umero real, de acordo com determinadas regras. Essa opera»c~ao goza de certas propriedades e veriflcamos que podemos generalizar a opera»c~ao a um n¶umero flnito de parcelas mantendo todas as propriedades. A deflni»c~ao de soma de um n¶umero flnito de parcelas ¶e feita por recorrencia:

Podemos pensar agora em fazer uma generaliza»c~ao a um n¶umero inflnito numer¶avel de parcelas. As parcelas constituir~ao a sucess~ao a1; a2; : : : ; an; : : :. Se existir uma ordem p a partir da qual todos os termos da sucess~ao s~ao nulos, tem-se a soma de todas as parcelas igual µa soma dos p primeiros termos:

Se existir uma subsucess~ao de termos n~ao nulos poderemos chamar soma ao limite, se existir e for flnito, da sucess~ao das somas dos n primeiros termos de an, sucess~ao essa

Sn = nX

Se a sucess~ao an tivesse todos os termos positivos, poderia parecer µa primeira vista que Sn n~ao ¶e convergente. De facto, supor que a soma de um n¶umero inflnito de parcelas positivas ¶e um n¶umero real n~ao ¶e um conceito intuitivo.

Neste caso, a intui»c~ao falha precisamente porque pretendemos generalizar para o inflnito um conceito, o de soma, que temos intuitivo para um n¶umero flnito de parcelas. ¶E comum que a intui»c~ao nos engane em casos de \passagem" do flnito para o inflnito.

De qualquer modo ¶e verdade que Sn nem sempre ¶e convergente, ou seja, que nem sempre poderemos deflnir, por este processo, soma de um n¶umero inflnito de parcelas.

Interessa, no entanto, saber como deve ser a sucess~ao an de modo que a essa sucess~ao esteja associado um n¶umero real, soma de todos os seus termos.

Citando o Prof. Campos Ferreira: \Vem a prop¶osito lembrar um dos paradoxos formulados, h¶a mais de 2000 anos, pelo fll¶osofo grego Zen~ao. Zen~ao imaginou um corredor, deslocando-se de certo ponto A para a meta B, com velocidade constante, e raciocionou de maneira que pode exprimir-se nos termos seguintes: designe-se por A1 o ponto m¶edio do segmento AB, por A2 o ponto m¶edio de A1B, etc. Em geral, para todo o n ∈ N, An+1 designar¶a o ponto m¶edio do segmento AnB.

Nestas condi»c~oes, se for t o tempo gasto pelo corredor a percorrer a distancia que vai de A a A1, ser¶a t=2 o tempo gasto de A1 a A2, t=2 o tempo necess¶ario para ir de A2 a A3, etc. O tempo total necess¶ario para completar a corrida, T, equivaleria assim µa \soma" de uma inflnidade de tempos parciais todos positivos:

Daqui julgava Zen~ao poder deduzir que esse tempo total era necessariamente inflnito e que, portanto, o corredor jamais poderia atingir a meta. Tal resultado, que lhe parecia solidamente estabelecido, estava por¶em em contradi»c~ao evidente com o facto de que, sendo o movimento uniforme por hip¶otese, o tempo correspondente ao percurso deveria ser simplesmente o dobro do que o corredor gastava na primeira metade, isto ¶e, T = 2t. Al¶em disso, aquele resultado estava ainda em contradi»c~ao com a mais elementar experiencia do mundo f¶‡sico. Por isso se dizia tratar-se de um paradoxo.

O esclarecimento completo da quest~ao s¶o veio a ser alcan»cado, cerca de 2000 anos depois de o paradoxo ter sido enunciado por Zen~ao, com a cria»c~ao da teoria das s¶eries.

Conv¶em ainda registar que coube a um matem¶atico portugues, Jos¶e Anast¶acio da

Cunha, um papel percursor de grande relevo no estudo desta teoria (em particular, deve- -se-lhe a primeira deflni»c~ao rigorosa do conceito de s¶erie convergente, formulada em 1790); mais tarde, gra»cas a trabalhos de grandes matem¶aticos como Cauchy, Weierstrass, etc., as s¶eries tornar-se-iam instrumentos de valor inestim¶avel para o desenvolvimento de todos os ramos da An¶alise Matem¶atica."

1.2 Deflni»c~ao de s¶erie. Convergencia. Propriedades gerais 3

1.2 Deflni»c~ao de s¶erie. Convergencia. Propriedades gerais

Deflni»c~ao 1.2.1 Seja an uma sucess~ao num¶erica. Chama-se s¶erie gerada por an µa sucess~ao Sn deflnida do modo seguinte:

Para designar a s¶erie usa-se qualquer das nota»c~oes: ∞∑

Os n¶umeros a1, a2,, chamam-se termos da s¶erie, an diz-se termo geral da s¶erie
e as somas S1, S2,chamam-se somas parciais.

Deflni»c~ao 1.2.2 A s¶erie P an diz-se convergente se existir e for flnito o limite

lim

Se este limite n~ao existir ou n~ao for flnito a s¶erie diz-se divergente. No caso de convergencia chama-se soma da s¶erie ao valor, S, do limite, isto ¶e,

NOTA: A identiflca»c~ao de uma s¶erie com o s¶‡mbolo P1 n=1 an ¶e um abuso de linguagem j¶a que ¶e a identiflca»c~ao da s¶erie com a sua soma, quando ela existe. Este abuso, no entanto,

¶e de uso corrente e tem-se demonstrado ¶util e inofensivo.

EXEMPLO 1: Chama-se s¶erie geom¶etrica µa s¶erie gerada por uma progress~ao geom¶etrica: se an ¶e uma progress~ao geom¶etrica de raz~ao r 6= 1 temos que

Sn = nX

Sabemos que Sn ¶e convergente se, e s¶o se, |rj < 1, logo a s¶erie geom¶etrica ¶e convergente se, e s¶o se, o valor absoluto da raz~ao da progress~ao geom¶etrica que a gerou for menor do que 1. No caso de convergencia temos que

Se r = 1 a s¶erie ¶e uma s¶erie de termo geral constante, isto ¶e, 1X

, construamos a sucess~ao das suas somas parciais e estudemos o seu limite:

Como

p n = +1; a sucess~ao Sn tem limite +1 e a s¶erie em estudo ¶e divergente.

podemos escrever a sucess~ao das somas parciais:

1.2 Deflni»c~ao de s¶erie. Convergencia. Propriedades gerais 5

EXEMPLO 4: A sucess~ao das somas parciais da s¶erie µ n

¶e a sucess~ao

EXEMPLO 5: O termo geral da s¶erie

pode escrever-se na forma 1

¶ . A sucess~ao das somas parciais pode agora ser

constru¶‡da:

Os tres ¶ultimos exemplos s~ao casos particulares de um tipo de s¶eries chamadas s¶eries telesc¶opicas. S~ao s¶eries cujo termo geral an se pode escrever na forma fin ¡ fin+k, com

e ¶e flnito.

No caso particular de existir, flnito, lim n!+1fin temos:

i=1 fii ¡ ka;

1.2 Deflni»c~ao de s¶erie. Convergencia. Propriedades gerais 7 sendo a = lim n→+1fin. De facto, a sucess~ao das somas parciais ¶e a sucess~ao

Sendo fin convergente ent~ao lim n!+1fii+n existe e lim donde se conclui que

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