Baixe Analise Teoria Sem01 2008 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA ENGENHARIA ELÉTRICA ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO Rosana Soares rpo_soares@hotmail.com Grupo de Sistemas e Controle Belém PA 01\2008 ANÁLISE DE SISTEMAS LINEARES Introdução UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 2 DISCIPLINA: Análise de Sistemas Lineares CARGA HORÁRIA: 90horas PROFESSORA: Rosana Soares SALA: Nº243 / Instituto de Tecnologia E-mail para contato: rpo_soares@hotmail.com PROGRAMA Capítulo 01 – Representação de Sinais (A) Introdução (B) Tipos de Sinais (C) Sinais Singulares (D) Representação de Sinais por Fasor e Espectro (E) Sinais de Energia e Sinais de Potência (F) Densidades Espectrais Capítulo 02 - Representação de Sistemas (A) Introdução (B) Tipos de Sistemas (C) Resposta Impulsiva (D) Integral de Convolução e Integral de Superposição (E) Função de Transferência Senoidal (F) Estabilidade de Sistemas Lineares – Conceito BIBO Capítulo 03 - Série de Fourier e aplicações a Sistemas Lineares (A) Introdução (B) Série Trigonométrica (C) Série Exponencial (D) Teorema de Parseval (E) Linhas Espectrais (F) Resposta de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo a Entradas Periódicas Capítulo 04 - Transformada de Fourier e suas Aplicações a Sistemas Lineares (A) Introdução – Definição (B) Densidade Espectral de Energia (C) Transformada de Fourier no Limite (D) Propriedades e Teoremas (E) Sistemas Lineares e a Transformada de Fourier Capítulo 05 - Transformada de Laplace (A) Introdução – Definição (B) Transformadas de Sinais Importantes (C) Propriedades e Teoremas INTRODUÇÃO Capítulo 01 – Representação de Sinais UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 5 (A) INTRODUÇÃO Objetivo da Disciplina Introduzir conceitos, complementar bases matemáticas e apresentar métodos de análise de sinais e sistemas. Sinais Funções ou seqüências de valores que veiculam informações. Sistemas Entidades ou Combinação de várias entidades que manipulam um ou mais sinais, produzindo assim novos sinais que atuam em conjunto para alcançar um objetivo comum ou para realizar uma determinada “tarefa”. Sinais de Entrada São os sinais externos que estimulam o sistema a produzir um sinal de saída. Sinais de Saída São os sinais de interesse, produzidos pelo sistema, causados por um estimulo externo ou não. Tipos de Sinais de Entrada Referência Sinais gerados voluntariamente para estimular o sistema a produzir uma resposta desejada. Distúrbio ou Perturbação Sinais gerados involuntariamente, influenciando de maneira imprevisível no desempenho do sistema, afetando a resposta produzida pelo sistema, fazendo-o divergir do comportamento desejado. (B) TIPOS DE SINAIS A informação (Sinal) que é demandada para o sistema, ou mesmo a informação que é produzida pelo sistema pode assumir diversas formas e características. 1. Determinísticos X Estocásticos (Aleatórios) Determinísticos São sinais que podem ser modelados ou descritos por funções no tempo. Portanto sua forma e amplitude são perfeitamente definidas para um instante de tempo qualquer. Exemplo: Sinal Senoidal X( t ) = A sen(ωt) CAPÍTULO 01 – REPRESENTAÇÃO DE SINAIS Capítulo 01 – Representação de Sinais UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 6 Aleatórios São sinais que assumem valores aleatórios em qualquer instante de tempo, e em função disso só podem ser modelados por funções probabilísticas. Exemplo: Descarga Atmosférica OBS: Em geral os sinais de referência são sinais determinísticos e os sinais de perturbação são aleatórios. 2. Periódicos X Não Periódicos Periódicos São sinais que apresentam um comportamento repetitivo em intervalos de tempo finitos e constantes. Isto é, X(t+To) = X(t) para -∞ < t < +∞ onde To é constante e finito. Não Periódicos São sinais que não satisfazem a condição de periodicidade citada anteriormente. 3. Contínuos no Tempo X Discretos no Tempo Discretos no Tempo São sinais definidos apenas em pontos fixados no tempo (em instantes de tempo discretos), isto é, a variável independente não é uma variável contínua. O sinal discreto consiste de uma sequência de números. Contínuos no Tempo São sinais que possuem uma variável contínua (tempo) como variável independente, podendo ser modelados por funções no tempo. 4. Contínuos em Amplitude X Discretos em Amplitude Contínuos em Amplitude São sinais que possuem amplitudes contínuas, pois sua variável dependente pode assumir um número infinito de valores. Discretos em Amplitude São sinais cuja variável dependente não admite qualquer valor. Ou seja, possui um número finito de níveis de amplitude. Sinal Analógico: Contínuo no tempo e em amplitude Sinal Digital: Discreto no tempo e em amplitude (C) SINAIS SINGULARES Classe de Sinais Não Periódicos Capítulo 01 – Representação de Sinais UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 7 01) Degrau Unitário u(t) ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0,1 0,0 )( t t tu Aproximação do degrau (variação instantânea Δ→0) Degrau de Amplitude A: ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < == 0, 0,0 )(.)( tA t tuAtx Degrau com deslocamento à direita: ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = ⎩ ⎨ ⎧ ≥− <− =−= Tot Tot Tot Tot Totutz ,1 ,0 0,1 0,0 )()( Degrau com rotação a esquerda: ⎩ ⎨ ⎧ ≥− <− =− 0,1 0,0 )( t t tu Obs: Todo sinal constante pode ser representado em função do degrau unitário. Exemplo: Pulso Unitário: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤≤− −< = Tot TotTo Tot tp ,0 ,1 ,0 )( Relação entre o sinal degrau e o sinal pulso → p(t) = u(t+To) - u(t-To) Representação alternativa do pulso 02) Rampa Unitária r(t) ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0, 0,0 )( tt t tr p t N t Tm T ( ) .= −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟Π Δ Capítulo 01 – Representação de Sinais UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 10 Espectro do Sinal é a representação das características do sinal no domínio da freqüência. Essa freqüência pode ser a freqüência angular ω (em rad/seg), ou a freqüência f em Hertz. A relação entre elas é dada por ω=2πf. Exemplificando: A partir do sinal x( t ) = A.cos(ωot+θ), define-se os fasores abaixo: θjeAX .= e tojetx .0 .1)( ω= Logo: [ ] * 000 )(.2 )(. 2 )(.Re)( ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛== txXtxXtxXtx Sabendo que, então o espectro do sinal é definido pelas características de amplitude e fase. O espectro Unilateral é obtido a partir da representação [ ])(.Re)( 0 txXtx = e pode ser visto abaixo: O espectro Bilateral é obtido a partir da outra representação * 00 )(.2 )(. 2 )( ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= txXtxXtx e pode ser visto abaixo: Observações: 1. O Espectro de Amplitude Bilateral é uma Função Par: A( f )=A(-f ) 2. O Espectro de Fase Bilateral é uma Função Ímpar: Fase( f )=-Fase(-f ) 3. O Espectro de Amplitude Unilateral é duas vezes o Espectro de Amplitude Bilateral para frequências positivas. Capítulo 01 – Representação de Sinais UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 11 (E) SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA A Energia Total do Sinal x( t ) é dada por: dttxLimE T T T 2 )(∫ − →∞ ≡ A Potência Média Total do Sinal x( t ) é dada por: P Lim T x t dt T T T ≡ →∞ − ∫ 1 2 2 ( ) Os sinais podem ser classificados de acordo com os valores de Energia e de Potência 1. Sinal de Energia: Sinal que possui 0 < E < ∞ e P=0 2. Sinal de potência: Sinal que possui E = ∞ e 0 < P < ∞. 3. Sinais que não satisfazem nem a condição 1 e nem a condição 2. (F) DENSIDADES ESPECTRAIS Funções de frequência que quando integradas em torno de toda faixa de frequência, resultam ou na energia ou na potência total do sinal, dependendo se o sinal é de energia ou de potência, respectivamente. E G f d f≡ − ∞ ∞ ∫ ( ) e P S f d f≡ − ∞ ∞ ∫ ( ) Onde G( f ) é a Densidade Espectral de Energia e S( f ) é a Densidade Espectral de Potência. Capítulo 02 - Representação de Sistemas UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 12 (A) INTRODUÇÃO Independente da natureza do sistema existe sempre uma relação de Causa e Efeito entre o Sinal de Saída e o Sinal de Entrada e essa relação pode ser estabelecida de diversas maneiras: Matematicamente, Numericamente, Simbolicamente e etc. Estabelecer essa relação significa modelar ou identificar o Sistema. Modelo Matemático → É o conjunto de equações que descreve o comportamento dinâmico de um sistema que está submetido a um sinal de entrada. Ou seja, é a representação matemática das leis físicas que regem o comportamento do sistema e do princípio de funcionamento dos dispositivos que compõem o sistema. Simplicidade X Precisão Na Modelagem de Sistemas sempre é preciso estabelecer um compromisso entre a Simplicidade do Modelo e a Precisão dos Resultados que serão obtidos a partir do modelo considerado. Precisão: Todos os efeitos e interações dinâmicas envolvidas no sistema devem ser considerados no Modelo. Modelo Complexo e Ferramentas para Análise e/ou Projeto mais “Pesadas”. Simplicidade: Algumas interações dinâmicas são desprezadas e/ou as condições de operação são restringidas. Modelo Simplificado e Ferramentas mais Simples. (B) TIPOS DE SISTEMAS De acordo com o modelo adotado para o sistema (Interações dinâmicas e condições de operação consideradas), este pode assumir tipo e características diferentes. 1. Discreto ou Contínuo Sistema Contínuo Sistema onde os sinais processados são todos de natureza contínua. A variável independente da equação que descreve o comportamento do sistema é uma variável contínua. Sistema Discreto Sistema que opera apenas em instantes de tempo particulares, produzindo respostas que consistem em um conjunto de amostras (seqüências). O comportamento desses sistemas é descrito por equações cuja variável independente é discreta. CAPÍTULO 02 – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS Capítulo 02 - Representação de Sistemas UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 15 Propriedade da Convolução: Lembrando que Por definição )()( 0 tpLimt Δ= →Δ δ Seja um sinal x(t) qualquer conforme o gráfico ao lado, o qual pode ser aproximado pela soma de pulsos retangulares pτ de largura Δτ, onde a aproximação será melhor, quanto menor for Δτ, isto é se Δτ→0. Logo x t Lim p t t ( ) ( )≅ − → = ∑ Δτ τ τ τ 0 0 Para 0<τ<t, onde 0<t<∞. • Considerando uma primeira aproximação, em que Δτ→0 , tem-se que: pτ (t-τ) → x(τ). Δτ. δ(t-τ), onde x(τ). Δτ é a área do pulso que deu origem ao impulso. E ∑ = −Δ≅ t txtx 0 )(.).()( τ τδττ ou ττδτ τ Δ−≅ ∑ = .)().()( 0 t txtx • Considerando uma segunda aproximação, em que Δτ→dτ, tem-se que a somatória Σ tenderá para uma integral ∫, ou seja, x t x t d t ( ) ( ). ( )= −∫ τ δ τ τ 0 , para 0<τ<t e 0<t<∞ Generalizando x t x t d t ( ) ( ). ( )= − −∞ ∫ τ δ τ τ , para -∞<τ<t e -∞<t<∞, logo: x( t )=x( t )*δ( t ) Propriedade de SLIT: Se o sistema é Linear e Invariante no tempo (SLIT) então ele satisfaz o princípio da superposição e a propriedade de deslocamento no tempo. Logo: Área Unitária Capítulo 02 - Representação de Sistemas UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 16 y(t)=x(t)* h(t) x t Lim x t t ( ) ( ). ( ).≅ − → = ∑ Δ Δ τ τ τ δ τ τ 0 0 y t Lim x h t t ( ) ( ). ( ).≅ − → = ∑ Δ Δ τ τ τ τ τ 0 0 No limite e generalizando para -∞<τ<t e -∞<t<∞ x t x t d t ( ) ( ). ( )= − −∞ ∫ τ δ τ τ ∫∫ ∞−∞− −=−= tt dhtxdthxty ττττττ )().()().()( (E) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL Seja e considerando que ∫ ∞− −= t dhtxty τττ )().()( Então: )()(.)(.)( .)( ωττττ ωωτωτω Hedheedhety tj t jtj t tj ≡== ∫∫ ∞− − ∞− − , onde H h e d A ej j( ) ( ) ( ) ( )ω λ λ ωωλ θ ω= =− −∞ +∞ ∫ Função de Transferência Senoidal. Ou seja: (F) ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES – CONCEITO BIBO O SLIT é estável se: Para um sinal de entrada limitado (um sinal que não assuma valores infinitos), ele apresentar um sinal de saída limitado – BIBO (Bounded Input Bounded Output). y t x h t d( ) ( ). ( )= − −∞ +∞ ∫ τ τ τ → y t x h t d x h t d( ) ( ). ( ) ( ) . ( )= − ≤ − −∞ +∞ −∞ +∞ ∫ ∫τ τ τ τ τ τ Se a entrada é limitada então: ∞<≤ Mx )(τ , logo: y t M h t d( ) ( )≤ − −∞ +∞ ∫ τ τ ou seja y t( ) < ∞ se h t d( )− < ∞ −∞ +∞ ∫ τ τ Assim, fazendo uma mudança de variável, a condição necessária e suficiente para o sistema ser estável é dada por h t d t( )′ ′ < ∞ − ∞ + ∞ ∫ INTEGRAL DE SUPERPOSIÇÃO Onde A(ω) é a característica de amplitude e θ(ω) é a característica de fase do sistema. Capítulo 03 - Série de Fourier e aplicações a Sistemas Lineares UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 17 (A) INTRODUÇÃO Obtenção da resposta de um Sistema devido a um sinal Integral de Superposição. A Integral de superposição envolve Obter reposta impulsiva e realizar a convolução entre a resposta impulsiva e o sinal de entrada. Soluções alternativas Utilizar: Série de Fourier ou Transformada de Fourier ou Transformada de Laplace de acordo com o tipo dos sinais envolvidos no sistema. Vantagens Principais Obter caracterização do sistema no domínio da frequência e transformar equações diferenciais em equações algébricas. (B) SÉRIE TRIGONOMÉTRICA Um sinal periódico (período To) arbitrário x( t ) pode ser representado pela somatória de termos em senos e cossenos harmonicamente relacionados, ou seja, com frequências de valor múltiplo inteiro da frequência fundamental ωo, conforme expressão abaixo: x t ao a ot a ot b ot b ot( ) .cos( ) .cos( ) ... .sen( ) .sen( ) ...= + + + + + +1 2 2 1 2 2ω ω ω ω para -∞ < t < +∞ ou x t ao an n ot bn n ot n ( ) ( .cos( ) .sen( ))= + + = ∞ ∑ ω ω 1 , ωo=2π/To = 2πfo onde: ao To x t dt To = ∫ 1 ( ) an To x t n ot dt To = ∫ 2 ( ).cos( )ω bn To x t n ot dt To = ∫ 2 ( ).sen( )ω Condições de Convergência da série de Fourier – Condições para que seja possível representar um sinal x( t ) periódico pela série de Fourier: 1. x( t ) deve ser absolutamente integrável em um período x t d t T ( ) < ∞∫ 2. x( t ) deve conter um número finito de descontinuidade em um período. 3. x( t ) deve conter um número finito de máximos e mínimos em um período. Estas restrições não constituem restrições rigorosas para os típicos sinais periódicos. Exemplo: Sinal quadrado CAPÍTULO 03 – SÉRIE DE FOURIER E APLICAÇÕES A SISTEMAS LINEARES Capítulo 03 - Série de Fourier e aplicações a Sistemas Lineares UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 20 Amplitude Fase Para n=0 Xo o para 1≤n≤∞ 2|Xn| θn (F) RESPOSTA DE SLIT A ENTRADAS PERIÓDICAS Seja o sistema representado por: Com função de transferência senoidal: )()()()( ωθωλ ωλλω Hjj eAdehH == ∫ +∞ ∞− − Para uma entrada periódica, em regime permanente, um SLIT estável produz uma saída periódica. Logo, x( t ) e y( t ) podem ser representados por uma série de Fourier: x t X n e jn o t n ( ) . . .= = − ∞ ∞ ∑ ω e y t Y n e jn o t n ( ) . . .= = − ∞ ∞ ∑ ω Com Xn Xn e j n= . θ e Yn Yn e j n= . β Como o sistema é Linear e Invariante no Tempo, demonstra-se que: Yn=H(nωo).Xn , onde: H(n.ωo) =H(ω)|ω=nωo Sendo: |Yn|=A(nωo).|Xn| ; βn=θn+θH(nωo) Assim: Se ∑ ∞ = ++= 1 )cos(..2)( n notnXnXotx θω Então ])(cos[.).(.2.)( 1 ∑ ∞ = +++= n H onnotnXnonAXoHoty ωθθωω Capítulo 04 - Transformada de Fourier e suas Aplicações a Sistemas Lineares UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 21 (A) INTRODUÇÃO – DEFINIÇÃO DA INTEGRAL DE FOURIER Sinal Periódico xp(t) Sinal não periódico xnp(t) Espectro de Frequência Discreto (0→ωo→2ωo→3ωo...) nωo→n=0,1, 2... Contínuo ωo=2π/To To→∞ ωo→Δω nωo→ω (Variável Contínua) xp t Xn e jn o t n ( ) . . .= =−∞ ∞ ∑ ω xnp t Xn e j t( ) . ~ . .= =−∞ ∞ ∑ ω ω Xn To xp t e dtjn o t To To = − − ∫ 1 2 2 ( ). . . / / ω Xn xnp t e dt j t To To~ . . / / ( ).= − − ∫ Δω π ω 2 2 2 xnp t xnp t e dt ej t To To j t( ) ( ). / / . .= ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥− −=−∞ ∞ ∫∑ Δω π ω ω ω 2 2 2 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥− −=−∞ ∞ ∫∑ 1 2 2 2 π ωω ω ω xnp t e dt ej t To To j t( ). / / . . Δ Quando To→∞: Δω→dω e Σ→∫ xnp t xnp t e dt e dj t j t( ) ( ). . .= ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥− −∞ ∞ −∞ ∞ ∫∫ 1 2π ωω ω xnp t Xnp e dj t( ) ( ) . .= −∞ ∞ ∫ 1 2π ω ωω onde Xnp xnp t e dt j t( ) ( ).ω ω= − −∞ ∞ ∫ Sabendo que ω=2πf então dω=2πdf xnp t Xnp f e dfj f t( ) ( ) . .= −∞ ∞ ∫ 2π onde Xnp f xnp t e dtj ft( ) ( ).= − −∞ ∞ ∫ 2π x(t) ⇒Operador Fourier F ⇒ X(f) ou X(ω) CAPÍTULO 04 – TRANSFORMADA DE FOURIER E SUAS APLICAÇÕES A SISTEMAS LINEARES Capítulo 04 - Transformada de Fourier e suas Aplicações a Sistemas Lineares UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 22 Espectro de Freqüência Bilateral de x( t ) é obtido a partir de X( f ) onde: )( fX x f Espectro de Amplitude )( fX∠ x f Espectro de Fase Condições de Convergência – Condições para que seja possível obter a transformada de Fourier: 1. x( t ) deve ser absolutamente integrável em um período ∫ ∞< T dttxnp )( 2. x( t ) deve conter um número finito de descontinuidade, máximos e mínimos. 3. x( t ) não deve assumir amplitudes infinitas. Propriedades de Simetria 1) Se x( t ) é Par [x( t ) =x(-t )] então X( f ) é real e par de f. 2) Se x( t ) é Ímpar [x( t ) =-x(-t )] então X( f ) é imaginário e ímpar de f. Exemplo: 1 xa(t) t -1 1 1 -1 1 t -1 xb(t) Capítulo 05 - Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 25 (A) INTRODUÇÃO – DEFINIÇÃO Seja um sinal x(t) que viola a condição de convergência absoluta, ou seja L i m t → ∞ ∞=∫ dttx t 0 )( Utilizando um fator de convergência te σ− , com σ positivo e assumindo que x(t) = 0 para t<0, é possível garantir que L i m t → ∞ x t e d t t t( ) . 0 ∫ − < ∞σ A Transformada de Laplace é definida a partir da transformada de Fourier sob as condições mencionadas acima, ou seja: X j x t e e dtt j t( ) ( )σ ω σ ω+ = − − ∞ ∫ 0 S j= +σ ω [ ]X S x t( ) ( )≡ ℑ Onde X(S)=X(σ+jω) existe se: x( t )=0 para t < 0 L i m t → ∞ x t e d t t t( ) . 0 ∫ − < ∞σ (B) TRANSFORMADAS DE SINAIS IMPORTANTES Seja x( t ) definida apenas para t ≥ 0 Função Degrau Unitário U(S) = 1/S Função Rampa Unitária R(S) = 1/S2 Função Impulso Δ(S) = 1 Função Senoidal (fs(t) = A.Sen(ωt), t>0 Fs(S) = Aω /[S2+ω2] Função Cossenoidal (fc(t)=A.Cos(ωt), t>0 Fc(S) =AS/[S2+ω2] (C) PROPRIEDADES E TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Linearidade ( ) ( ) )(2.)(1.)(2.)(1.)(3 SFBSFAtfBtfAtf +=+ℑ=ℑ Deslocamento no Tempo ℑ − − = −( ( ). ( )) . ( )f t To U t To e F SToS Deslocamento na frequência ℑ = +−( . ( ) ) ( )e f t F S AA t Diferenciação Variável Complexa CAPÍTULO 05 – TRANSFORMADA DE LAPLACE Capítulo 05 - Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 26 ℑ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − df t dt SF S f( ) ( ) ( )0 , ℑ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − − •d f t dt S F S Sf f o 2 2 2 0( ) ( ) ( ) ( ) Integração ℑ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =∫ f t d t S F S t ( ) . ( ) 0 1 Multiplicação por t ( )ℑ = −t f t d F S d S . ( ) ( ) Teorema do Valor Final Se f(t) e df(t)/dt são transformáveis segundo Laplace e L im f t t → ∞ < ∞( ) Então f L im f t L im SF S t S ( ) ( ) ( )∞ = = →∞ → 0 Teorema do Valor Inicial Se f( t ) e df( t )/dt são transformáveis segundo Laplace e L im SF S S → ∞ < ∞( ) Então f Lim f t LimSF St S ( ) ( ) ( )0 0 = = → →∞ Teorema da Convolução Seja y t x h t d t t ( ) ( ). ( ) ;= − −∞ < < ∞∫ λ λ λ 0 ou y t h x t d t t ( ) ( ). ( ) ;= − −∞ < < ∞∫ λ λ λ 0 (D) APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA OBTENÇÃO DA RESPOSTA DE SISTEMAS LINEARES Tabela de Transformada Ferramentas de Trabalho Propriedades )]([)( 1 SYty −ℑ= Expansão em Frações parciais (E) TRANSFORMADA INVERSA DE FUNÇÕES RACIONAIS Método da Expansão em Frações Parciais (Heaviside) Seja: Y(S) = A(S)/B(S) onde: A(S) = Am Sm+Am-1Sm-1+Am-2 Sm-2 +.....+A1 S + Ao B(S) = Bn Sn+Bn-1Sn-1+Bn-2 Sn-2 +.....+B1 S + Bo Sendo Ai e Bj - Valores Constantes e Reais m e n - Valores Positivos e Inteiros y( t ) = h( t )*x( t ) No domínio da frequência Y(S)=H(S).X(S) Capítulo 05 - Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 27 Restrições do Método (A) m < n (Fração própria) Fração Não Própria = Fração Própria + Polinômio (B) É preciso calcular as raízes de B(S) Tipos de Raízes de B(S) Reais e distintas Seja Y S A S S S S S S S ( ) ( ) ( )( )( ) = − − −1 2 3 onde S1, S2, e S3 são reais e diferentes. ou Y S K S S K S S K S S ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + − 1 1 2 2 3 3 Sendo que ( )[ ]K S S k Y Sk S S k= − =( ) Termo genérico: Y S K S Skk k( ) ( ) = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ logo [ ]Yk t Yk S K e U tk Sk t( ) ( ) . ( ).= ℑ =−1 ou [ ]Yk t Yk S K e tk Sk t( ) ( ) ,.= ℑ = ≥−1 0 Reais e iguais Y S A S S S r ( ) ( ) ( ) = − 1 ou Y S K S S K S S K S S r r r r( ) ( ) ( ) .... ( ) (= − + − + + − − − 1 1 1 1 1 1 1) 1 1 Sendo que ( )[ ]K r k d dS S S Y Sk r k r k r S S 1 1 1 1 = − − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ − − = ( )! ( ) Yk S K k S S k n ( ) ( ) = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ logo [ ] )(...)!1()()( .11 tuet n KSYktYk tSknk −− − =ℑ= ou [ ]Yk t Yk S K n t e tk n Sk t( ) ( ) ( )! . . ,.= ℑ = − ≥− −1 1 1 0 Complexas conjugadas (Raízes Distintas) Seja Y S A S S S S S ( ) ( ) ( ) ( ) = − −1 2 onde S1 = Sr+jSi e S2= Sr-jSi ou Y S K S S K S S ( ) ( ) ( ) = − + − 1 1 2 2 Sendo que ( )[ ]K S Sk Y Sk S Sk= − =( ) K1 e K2 assumem valores complexos, onde K1=K2* (K1= Re+j Im e K2 = Re-j Im) Y S S Sr S Sr Si Si S Sr Si ( ) Re ( ) ( ) Im ( ) = − − + − − + 2 22 2 2 2 )(.Im2)(.Re2)( .. SitSeneSitCosety tSrtSr −= t ≥ 0 onde r representa a multiplicidade da raiz S1 Termo genérico: Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 30 Aplicação: É possível transferir informação de tensão entre estágios sem que haja interferência do estágio anterior e posterior. (B) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Onde: [ ]ℑ =x t X s( ) ( ) e [ ]ℑ =y t Y S( ) ( ) A Função de Transferência do Sistema LIT é obtida considerando o sistema relaxado sendo dada por H(s)= Y(S)/X(S) A função de transferência representa o modelo do sistema, de forma que as características dinâmicas do sistema LIT poderão ser extraídas através da expressão de H(S). Se H(S) é conhecido e o sinal de comando for estabelecido, então a resposta do sistema poderá ser obtida, pois: Y(S) = H(S).X(S) e, portanto a resposta temporal é: [ ] [ ]y t Y S H S X S( ) ( ) ( ) ( )=ℑ =ℑ− −1 1 Notar que a resposta do sistema a um sinal do tipo Impulso Unitário (resposta impulsiva) representa [ ] [ ]y t Y S H S h t( ) ( ) ( ) ( )= ℑ = ℑ =− −1 1 . O espectro de frequência do sistema (Resposta em Frequência) pode ser obtido a partir da função de transferência: H S S j( ) = ω Espectro de Amplitude ∠ =H S S j( ) ω Espectro de Fase → Características de H(S) A FT genericamente apresenta o seguinte formato: H S K Z S P S ( ) ( ) ( ) = Onde K - Ganho Raízes de Z(S) são os Zeros do Sistema. Raízes de P(S) são os Pólos do Sistema. →Matriz de Transferência do sistema (Sistema Multivariável) Vo S Vo S Vo S Vo S G S G S G S G S G S G S G S G S G S G S G S G S Vi S Vi S Vi S 1 2 3 4 11 12 13 21 22 23 31 32 33 41 42 43 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Eo(t)=K[E2(t)-E1(t)] Onde: K =>105 - 106, f < 1KHz ↑ f ↓K Assim, Eo(t)/K = E2(t) - E1(t) ≈ 0 ou E1(t) = E2(t) Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 31 (C) DIAGRAMA DE BLOCOS Se o sistema envolve um número muito grande de variáveis (Sistemas de Médio e Grande Porte), sente-se necessidade natural de visualizar a influência individual de cada variável, ou mesmo de cada dispositivo que compõe o sistema, no desempenho global do Sistema. No domínio da Frequência => Representação Simbólica ou Diagrama de Blocos. Elementos básicos dos Diagramas de Blocos Bloco Y(S) = G(S).X(S) Ponto de Soma Y(S)=X(S)-Z(S) Ponto de Ramificação ou ponto de junção Álgebra de Blocos É desenvolvida com base nas operações de soma e multiplicação, bem como nas propriedades comutativa e associativa. Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 32 (D) RESPOSTA TEMPORAL E COMPONENTES DA RESPOSTA Y( t ) = Yn( t )+Yf( t ) Y( t ) = Yss( t )+Yt( t ) Y( t ) = Yi( t )+Ye( t ) Yn(t) - Resposta natural (devido às características próprias do sistema). Yf(t) - Resposta forçada (devido às características do sinal externo aplicado). Yi(t) - Resposta a uma condição Inicial. Ye(t) - Resposta a um sinal externo. Yt(t) - Resposta transitória (comportamento do sistema que tende desaparecer a medida em que t→∞). Yss(t) - Resposta Estacionária ou de Regime Permanente (comportamento do sistema após o período transitório ou y(t)=Yss(t) quando t →∞). Observação: Considera-se que o sistema instável não alcança o regime permanente (E) ANÁLISE DE DESEMPENHO Consiste em: Identificar as características de resposta do sistema devido a um sinal de entrada ou de comando. Está intimamente ligado ao posicionamento dos pólos e/ou zeros do sistema no plano S, quando se trata de sistemas lineares. Etapas da avaliação de desempenho: • Estabilidade→Identificar a Capacidade do sistema em “Atender” um sinal do comando. • Resposta Transitória→Identificar as características de velocidade de resposta e segurança do sistema durante o intervalo de tempo que o sistema está “tentando atender” o sinal de comando. • Resposta Estacionária→Identificar as características de qualidade da resposta em relação ao sinal de comando. (F) ESTABILIDADE E FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA O SLIT é assintoticamente estável se após um sinal de perturbação (de curta duração), ele for capaz de voltar para um ponto de equilíbrio. Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 35 (A) Condição Necessária para que não haja raízes de F(S) com PR+ e/ou com PR0: Todos os coeficientes do polinômio devem ter o mesmo sinal(+). Nenhum coeficiente deve ser nulo. Se a condição (A) não for satisfeita existem raízes com PR+ e/ou PR0. Se a condição (A) for satisfeita nada se pode afirmar. Neste caso é preciso avaliar a condição (B) (B) Tabela de Routh Sn A0 A2 A4 .... An-1 Sn-1 A1 A3 A5 .... An Sn-2 B1 B2 B3 .... Sn-3 C1 C2 C3 .... .... .... .... .... .... .... S2 E1 E2 S1 F1 S0 G1 B A A A A A1 1 0 2 1 3 1 = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥. d e t B A A A A A2 1 0 4 1 5 1 = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥. d e t C B A A B B1 1 1 3 1 2 1 = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥. d e t C B A A B B2 1 1 5 1 3 1 = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥. d e t • Com Base na Tabela de Routh, tem-se: O número de raízes de F(S) com parte real positiva é igual ao número de trocas de sinal dos elementos da primeira coluna da tabela. Para que não exista nenhuma raiz com PR+ (sistema estável), os termos da 1a coluna da tabela de Routh devem ser todos positivos. A linha S0 nula significa a presença de raiz (es) na origem. Linhas nulas (exceto S0) indicam a presença de raízes radialmente opostas. CASOS ESPECIAIS (A) Elemento da 1a coluna nulo (Linha não nula) Substituir o elemento nulo pelo parâmetro ε ≈ 0 positivo. (B) Linha Completamente Nula Indica presença de raízes radialmente opostas e utiliza-se o polinômio Auxiliar. Coeficientes do polinômio Elementos Calculados sempre com base em informações das duas linhas imediatamente acima do elemento em questão Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 36 (H) DESEMPENHO DINÂMICO DE SISTEMAS DE 1ª E 2ª ORDEM Durante a Resposta Transitória, avalia-se: Velocidade Inicial Velocidade de “Partida” do sistema para atender o sinal de comando. Velocidade Final Velocidade de “Chegada” do sistema em atender o sinal de comando. Sobre sinal Sobrecarga do sistema em relação ao seu grau de capacidade em atender o sinal de comando. O Desempenho Transitório de um sistema está muito ligado a posição de seus Pólos (Principalmente) e Zeros no plano S. O Degrau unitário é o sinal padrão de teste utilizado para medir as características transitórias de um sistema. Teoricamente, conhecendo a posição relativa dos pólos e zeros do sistema, é possível identificar de forma Qualitativa (pelo menos) as características transitórias, sem necessariamente calcular a resposta no tempo. Durante a Resposta Estacionária, avalia-se: Qualidade da Resposta através do Erro de Regime Permanente Onde: Erro do sistema E(S) = Resposta Desejada - Resposta Real C(S) Erro em Regime Permanente ess )](.[)]([ 0 SESLimteLime Stss →∞→ == ou )()( ∞−∞= cress Quanto menor o módulo do erro maior a qualidade de resposta do sistema. Se ess = 0, o sistema apresenta qualidade de resposta de 100%. Avaliação dinâmica de Sistemas de 1a Ordem (sem Zeros) T > 0 Condição de Estabilidade Pólo em S = -1/T Ganho K Constante de Tempo T c t K Ke tt T( ) ,/= − ≥− 0 Ke ss −= 1 t T 3T 4T 5T ∞ C(t) 0,632K 0,95K 0,98K 0,99K K 63,2% de c(∞) 95% de c(∞) 98% de c(∞) 99% de c(∞) 100% c(∞) Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 37 Velocidade Inicial Inclinação da resposta nos instantes iniciais do transitório. dc t dt K T e K Tt t T t ( ) . /= − == =0 0 Se o Sistema mantivesse sua velocidade inicial, ele alcançaria seu valor final K em T segundos (Uma Constante de Tempo) Velocidade Final Tempo que o sistema precisa para alcançar o valor final da resposta [valor de regime permanente c(∞)]. Também conhecido como tempo de acomodação. Ts=3T - Critério de 5% Ts=4T - Critério de 2% Ts=5T - Critério de 1% Interpretação no Plano S Quando o Pólo do Sistema se aproxima do eixo imaginário Significa que: T (constante de Tempo) Ts (tempo de Acomodação) O sistema se torna mais Lento, ou seja, a velocidade de resposta do sistema diminui. Sobre sinal Sistema com pólos reais e sem zeros não apresenta sobre sinal. Em nenhum momento da resposta o sinal assume valores maiores do que o valor de regime permanente. Exemplo: Sistema 01 Sistema 02 Sistema 03 G S S ( ) = + 1 1 G S S ( ) = + 5 5 G S S ( ) ,= + 0 5 1 K=1;T=1; K/T=1 K=1;T=1/5; K/T=5 K=0,5; T=1; K/T=0,5 Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 40 Caso Particular: Sistema Criticamente Amortecido (ξ=1) Pólos Reais e Iguais S n n n1 2 2 1, = − ± − = −ξω ω ξ ω Supondo G S S 1 1 1 ( ) = + G S n S n S n 2 3 2 2 2 2, ( ) = + + ω ξ ω ω para ξ = 1 e ωn=1 G S S S S 2 1 2 1 1 12 2 ( ) ( ) = + + = + para ξ = 2 e ωn=1 G S S S 3 1 4 12 ( ) = + + G S S S 3 1 0 2679 3 7321 ( ) ( , )( , ) = + + Sistema03 Sistema02 Vel. Inicial = sistema 02 mais rápido. Vel. Final = sistema 02 mais rápido.  G3(S) G2(S) G1(S) Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 41 (2) Sistema Sub amortecido (0< ξ < 1) Pólos do sistema estão situados em: S n n= − ± −ξω ω ξ 2 1 Logo são pólos complexos conjugados S n j n1 2 21, = − ± −ξ ω ω ξ ou S j d1 2, = − ±σ ω ξ Coeficiente de amortecimento ωn Frequência natural não amortecida σ Fator de amortecimento ou de atenuação ωd Frequência natural amortecida Resposta ao degrau para K=1 c t e dt d dt tt( ) cos( ) sen ( ) ,= − + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ≥−1 0σ ω σ ω ω Caso Particular: Sistema Sem Amortecimento ( ξ=0 ) S n j n1 2 21, = − ± −ξ ω ω ξ S j n1 2, = ± ω [ ]c t n t t( ) cos( ) ,= − ≥1 0ω Especificação Transitória (sistema sub amortecido) Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 42 (1) Tempo de Atraso (Td) Tempo para a resposta alcançar pela 1a vez 50% do valor final C(∞). (2) Tempo de Subida (Tr) Tempo para a resposta variar pela 1a vez de 0%-100% do valor final C(∞) ou 5%-95% do valor final C(∞) ou 10%-90% do valor final C(∞) (3) Tempo de Pico (Tp) Tempo para a resposta alcançar o primeiro pico do sobre sinal. (4) Tempo de Acomodação (Ts) Tempo para a resposta alcançar a oscilação de 1% ou 2% ou 5% em torno do valor final. (5) Sobre sinal Máximo - Overshoot (Mp) É o máximo valor de pico da resposta medido em relação ao valor final. Mp C Tp C= − ∞( ) ( ) Mp c Tp c c % ( ) ( ) ( ) .= − ∞ ∞ 100 Medida de Velocidade Inicial Tr  Medida de Velocidade Final Ts Medida de Sobre sinal Mp% CÁLCULO DAS ESPECIFICAÇÕES TRANSITÓRIAS r(t) = u(t), K=1 → 0,)()cos(.1)( ≥⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−= − tdtsen d dtetc t ω ω σωσ Tempo de Subida (Tr) - 0%-100% c(Tr)=c(∞)=1 1)()cos(1)( =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−= − dTrsen d dTreTrc Tr ω ω σωσ C(∞) C(0)=0 Tr (0% - 100%) Ts  Mp Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 45 Relação entre o Diagrama de Bode e a Função de Transferência Seja G S Ko S z S S nS n ( ) ( ) ( ) = + + + 1 22 2ξω ω ou G S Ko Z T S S n n S n S ( ) ( ) . = + + +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 1 1 1 2 12 2 2ω ω ξ ω G S K T S S n S n S ( ) ( )= + + +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 1 1 2 12 2 ω ξ ω onde K=Ko.Z1/ωn2 Logo ( ) G j K j T j n j n j ( ) ( )ω ω ω ω ω ξ ω ω = + + +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 1 1 2 12 2 Para calcular a contribuição de Ganho |G(jω)| db |G(jω)| db = 20log |G(jω)| ( ) G j K j T j n j n j ( ) . . ω ω ω ω ω ξ ω ω = + + +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 1 1 2 12 2 |G(jω)|db =20log |K| +20log|jωT1+1| -20log| jω| -20log|( jω/ ωn)2+ (j2ξω/ ωn)+1| Para calcular a contribuição de Fase ∠G(jω)graus ∠G(jω)= ∠K +∠(jωT1+1) - ∠ (jω) -∠[( jω/ ωn)2+ (j2ξω/ ωn)+1] Observa-se que as contribuições de ganho e de fase da função de transferência completa constituem uma somatória das contribuições individuais dos termos básicos da F.T. (termo constante, pólos ou zeros na origem, pólos ou zeros reais, e pólos ou zeros complexos conjugados). Fatores Básicos Constante: K Pólos ou zeros na origem: (jω) Pólos ou Zeros Reais: (jωT+1) Pólos ou Zeros complexos: (jω/ ωn)2+ (j2ξω/ ωn) +1 Constante G(S) = K G(jω)=K Para K > 0 |G(jω)| = K |G(jω)| db = 20log K e ∠G(jω)=00 Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 46 Pólos ou zeros na origem Pólo na origem G(S) = 1/S G(jω) = 1/(jω) |G(jω)| =|1|/|jω| |G(jω)| db = 20log 1- 20logω e ∠G(jω)=00- 900 Zero na origem G(S) = S G(jω) = jω |G(jω)| =|jω| |G(jω)| db = 20logω e ∠G(jω)=900 Pólos ou Zeros Reais - gráfico assintótico - aproximado Zero Real G(S) = TS+1 G(jω)=jωT+1 |G(jω)|=|jωT+1| → |G(jω)| db=20log√1+(ωT)2 e ∠G(jω)=tg-1(ωT) nas baixas frequências ωT<<1 |G(jω)| db=0 e ∠G(jω)= 00 nas altas frequências ωT>>1 |G(jω)| db=20log(ωT) ∠G(jω)= 900 Frequência de Canto frequência onde as duas assíntotas se encontram |G(jω)| db=20log(ωT) = 0 então ωT=1 ou ω=1/T e ∠G(jω) = 450 Capítulo 06 - Aplicações da Transformada de Laplace UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 47 No gráfico aproximado o maior erro ocorre em ωT=1, pois |G(jω)| db=20log√2 ≅ 3db Pólo Real G(S) = 1/(TS+1) G(jω)=1/(jωT+1 ) |G(jω)|=|1|/|jωT+1| |G(jω)| db=-20log√1+(ωT)2 e ∠G(jω)= -tg-1(ωT) Nas baixas frequências ωT<<1 |G(jω)| db=0 e ∠G(jω)= 00 Nas altas frequências ωT>>1 |G(jω)| db=-20log(ωT) e ∠G(jω)= -900 Frequência de Canto frequência onde as duas assíntotas se encontram |G(jω)| db=20log(ωT) = 0 então ωT=1 ou ω=1/T e ∠G(jω) = -450 Pólos ou Zeros complexos Pólos complexos Conjugados G(S)= ωn2/(S2+2ξωnS+ωn2) G(jω) = 1/[( jω/ ωn)2+ (j2ξω/ ωn)+1] ou G(jω) = 1/{[1-(ω/ ωn)2 ]+ j(2ξω/ ωn)} |G(jω)|=|1|/|[1-(ω/ ωn)2 ]+ j(2ξω/ ωn)| |G(jω)| db= -20log√[1-(ω/ ωn)2 ]2+ (2ξω/ ωn)2 e ∠G(jω)= - tg-1( [2ξω/ ωn] / [1-(ω/ ωn)2 ] ) Nas baixas frequências ω/ωn<<1 |G(jω)| db=0 e ∠G(jω)= 00 Nas altas frequências ω/ωn >>1 |G(jω)| db=-40log(ω/ωn) ∠G(jω)= -1800 Frequência de Canto frequência onde as duas assíntotas se encontram |G(jω)| db=40log(ω/ωn ) = 0 então ω/ωn =1 ou ω=ωn e ∠G(jω) = -900 Capítulo 07 - Sinais e Sistemas Discretos no Tempo UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 50 Na prática τ é muito menor que T, pois em sistemas digitais onde a amostra está na forma de um número, cuja magnitude representa o valor do sinal no instante de amostragem, a largura do pulso torna-se infinitamente pequena. Sabendo-se que: x( t ).δ(t-To)=x(To).δ(t-To) [propriedade do Impulso] e que xs( t ) na verdade contém apenas as informações de x( t ) nos instantes de amostragem, é mais conveniente modelar a função amostragem por um trem de impulsos de período T. Representando p( t ) (Sinal periódico) através da série exponencial de Fourier tem-se que: p t P n e j n f s t n ( ) . .= = − ∞ ∞ ∑ 2 π onde fs=1/T e Pn T t e dt T fs jn fs t T T = = =− − ∫ 1 12 2 2 δ π( ). . / / Então: xs t p t x t x t P n e P n x t ejn fs t n jn fs t n ( ) ( ). ( ) ( ). . . ( ). .= = = =−∞ ∞ = −∞ ∞ ∑ ∑2 2π π (C) RECONSTRUÇÃO DE SINAIS Considerando que xs( t ) e x( t ) não sejam sinais periódicos, satisfazendo contudo, a condição de convergência absoluta xs t dt( ) −∞ ∞ ∫ < ∞ e x t dt( ) −∞ ∞ ∫ < ∞ , os seus espectros de frequência podem ser obtidos pela transformada de Fourier, isto é: X s f xs t e d tj ft( ) ( ).= − −∞ ∞ ∫ 2 π X f x t e d tj f t( ) ( ) .= − − ∞ ∞ ∫ 2 π X s f P n x t e e d t n j n f s t j f t( ) [ . . ( ) . ] .= = − ∞ ∞ − − − ∞ ∞ ∑∫ 2 2π π X s f P n x t e d t n j f n f s t( ) . ( ) . ( )= − ∞ ∞ = − ∞ ∞ − −∫∑ 2 π ou p t t nT n ( ) ( )= − =−∞ ∞ ∑δ p t t nT n ( ) = ∏ −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= −∞ ∞ ∑ τ Capítulo 07 - Sinais e Sistemas Discretos no Tempo UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 51 Xs f Pn X f nfs fs X f nfs n n ( ) . ( ) . ( )= − = − =−∞ ∞ =−∞ ∞ ∑ ∑ Espectro de frequência periódico Supondo X( f ) conforme gráfico abaixo então Xs( f ) será conforme mostrado: Logo para ser possível reconstruir o sinal por filtragem é necessário que fs-fh ≥ fh ou fs ≥ 2fh Taxa de Amostragem de Nyquist fs=2fh Teorema da Amostragem Um sinal x( t ) de banda limitada que não tenha componentes de frequência acima de fh Hertz, é completamente especificado por amostras obtidas uniformemente a taxas maiores que 2fh Hz, ou seja, o intervalo entre as amostras deve ser menor que 1/( 2fh ) segundos. Efeito Aliasing (Espalhamento): fs-fh ≤ fh ou fs ≤ 2fh Não existe um filtro que restaure X( f ) a partir de Xs( f ). Logo o sinal não poderá ser reconstruído com precisão adequada (D) TRANSFORMADA Z: DEFINIÇÃO, TEOREMAS E PROPRIEDADES Seja ∑ ∞ −∞= −== n nTtnTxtxtxs )().()()( * δ e x( t )=0 para t < 0 logo ∑ ∞ = −= 0 * )().()( n nTtnTxtx δ Capítulo 07 - Sinais e Sistemas Discretos no Tempo UFPA - FEE - Análise de Sistemas Lineares - R☺sana S☺ares 52 Tomando a transformada de Laplace: dtenTtnTxSX tS n . 0 0 * .)().()( − ∞ ∞ = ∫ ∑ −= δ → dtenTtnTxSX tS n . 00 * .)(.)()( − ∞∞ = ∫∑ −= δ TnS n enTxSX .. 0 * .)()( − ∞ = ∑= → Assim , definindo Z e S T= então n n ZnTxZX − ∞ = ∑= .)()( 0 * Observar que: X(Z)=X*(Z); Teoremas e Propriedades da Transformada Z Seja a seqüência x(nT) então X Z x n T Z n n( ) ( ) .= = ∞ −∑ 0 1. Propriedade da Linearidade Domínio do tempo Domínio Z x1(nT) → X1(Z) x2(nT) → X2(Z) x3(nT)=A.x1(nT)+B.x2(nT) A e B constantes → X3(Z)=A.X1(Z)+B.X2(Z) 2. Teorema do valor Inicial x Lim X ZZ( ) ( )0 = →∞ 3. Teorema do valor Final )(. 1)().1()( 1 1 1 ZX Z ZLimZXZLimx ZZ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=−=∞ → − → Para X(Z) com todas as raízes do denominador dentro de um círculo centrado na origem do plano Z e de raio Unitário → x(∞)=0 Para X(Z) com alguma raiz do denominador fora do círculo unitário → x(∞) = ∞ (o teorema pode falhar) Para X(Z) com uma raiz do denominador em Z=1 e todas as outras raízes do denominador dentro de um círculo centrado na origem do plano Z e de raio Unitário → x(∞) = finito (utiliza- se o teorema) Transformada Z de um sinal discreto ou discretizado no tempo