aula 16 - trigonometria

aula 16 - trigonometria

(Parte 1 de 3)

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Olá, amigos!

Novamente pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 16 na semana passada. Este final de ano está muito corrido e atribulado!

Daremos hoje início a um novo assunto: Trigonometria!

Como de praxe, apresentaremos muitas questões de concursos passados que servirão no nosso aprendizado, e também para sabermos qual é a profundidade exigida deste assunto dentro das provas de Raciocínio Lógico.

Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto de Matrizes e Sistemas Lineares e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência. Vamos a elas!

DEVER DE CASA 01. (AFC/97) Considerando-se as matrizes

eB = 

A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a) -10 b) -2 c) I d) 2 e) 10

Sol.:

Simbolicamente a matriz D é dada por: D = AtB-1, onde At é a transposta de A, e B-1 é a inversa de B. 1º passo) Cálculo da matriz transposta de A.

42 e queremos a sua transposta.

Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna, e só! Teremos, pois, que a matriz At será a seguinte:

2º passo) Cálculo da matriz inversa de B.

1 e queremos a sua inversa B-1.

Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz B pela sua inversa B-1 é igual a matriz identidade. Portanto, teremos:

B-1 x B = IÆ 

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2 Após a multiplicação das matrizes, teremos:

dcdc baba 2

Para que as duas matrizes acima sejam iguais é necessário que: a+b = 1 (I) a+2b = 0 (I) c+d = 0 (I) c+2d = 1 (IV)

Æ a+b = 1Æ -2b + b = 1 Æ b = -1
Æ a+b = 1Æ a + (-1) = 1 Æ a = 2
Æ c+2d = 1Æ -d + 2d = 1 Æ d = 1
Æ c+d = 0Æ c + 1 = 0 Æ c = -1

Encontraremos os valores de a, b, c e d. De (I), temos que: a = -2b. Substituindo esse resultado em (I), teremos: De (I), obtemos o valor de a: De (I), temos que: c = -d. Substituindo esse resultado em (IV), teremos: De (I), obtemos o valor de c: Daí, a inversa da matriz B será a seguinte matriz:

3º passo) Cálculo da matriz D = At B-1

Multiplicando as duas matrizes, teremos como resultado:

A questão solicita a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, daí: 1 + (-3) = -2 (Resposta: alternativa B!)

a) 5b) 10 c) 20 d) 40 e) 80

02. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a:

Sol.: Usaremos a seguinte propriedade dos determinantes:

Æ Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M. det (k.M) = kn det(M) w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos

Aplicando a propriedade acima para calcular o determinante da matriz 2A, teremos: det (2A) = 23 det(A)

Daí: Æ det (2A) = 8 det(A)

Æ det (2A) = 8 x 5 E, portanto: det (2A) = 40 (Resposta: alternativa D!)

03. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10

Sol.:

Na solução desta questão usaremos a propriedade usada na solução da questão anterior e também a seguinte propriedade:

Æ Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M)

Designaremos a matriz qualquer comentada no enunciado por M.

Segundo o enunciado, M é uma matriz de segunda ordem e det(M)=2, e ele deseja o cálculo do determinante do dobro de sua matriz transposta, ou seja, o determinante da matriz 2Mt.

Æ det(2Mt) = 2 . det(Mt) = 4 . det(M) = 4 . 2 = 8(Resposta: alternativa D!)

Vamos ao cálculo do determinante da matriz 2Mt.

04. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

Sol.:

A solução desta questão é praticamente idêntica a da anterior, e usaremos as mesmas duas propriedades.

Solicita-se no enunciado o determinante da matriz Y = 3Z = 3Xt

Segundo o enunciado, X é uma matriz quadrada de terceira ordem e det(X)=3.

Vamos ao cálculo do determinante da matriz Y = 3Xt. Æ det (Y) = det(3Xt) = 3 . det(Xt) = 27 . det(X) = 27 x 3 = 81 Resposta: alternativa E!

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4 05. (Oficial de Chancelaria 2002) Dada a matriz:

e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a: a) -1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 Sol.:

Na solução dessa questão, usaremos a seguinte propriedade:

Æ Seja A-1 a matriz inversa de A, então a relação entre os determinantes de A-1 e A é dado por:

Segundo o enunciado, o determinante da matriz inversa de A é igual a 1/2, ou seja, det(A-1) = 1/2.

Aplicando a propriedade descrita acima, obteremos o determinante da matriz A. Teremos:

1 – X = 2Æ X = -1 (Resposta: Alternativa A)

Æ det(A) = 1 . 1 – X . 1 Æ det(A) = 1 – X Mas já sabíamos que det(A)=2, daí podemos obter o valor de X. Teremos: 06. (BNB 2002 FCC) Dadas as matrizes c ba

, de determinantes não nulos, para quaisquer valores de “a”, “b” e “c”, temos

A. det(A) = det(B) B. det(B) = 2.det(A) C. det(A) = 2.det(B) D. det(A) = –2.det(B)

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5 E. det(A) = – det(B)

Sol.:

As alternativas da questão trazem relações entre os determinantes de A e B, portanto na solução da questão tentaremos obter inicialmente uma relação entre as matrizes A e B para depois encontrar uma relação entre os seus determinantes.

Observe que há duas linhas da matriz A que são iguais a duas colunas da matriz B, então faremos a transposta de B para ficar parecido com a matriz A.

A matriz Bt é muito parecida com a matriz A, somente a última linha que é diferente, mas perceberam a relação entre a terceira linha de A e a terceira linha de Bt ? Está fácil de ver! Os elementos da terceira linha de A são o dobro dos elementos correspondentes na terceira linha de Bt.

Por tudo isso, podemos fazer a seguinte relação entre A e B: a matriz A é igual a matriz obtida multiplicando-se por dois a terceira linha da transposta de B. Simbolicamente, temos: A = 2 x (a terceira linha de Bt)

Para estabelecer uma relação entre os determinantes de A e B, usaremos as seguintes propriedades dos determinantes:

Æ Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M.

Æ Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M)

Aplicando as propriedades acima, teremos a seguinte relação entre os determinantes de A e B:

Æ det(A) = det(2 x (a terceira linha de Bt)) Æ det(A) = 2 x det(Bt) Æ det(A) = 2 x det(B) Æ det(A) = 2 x det(B) det(A) = 2det(B) (Resposta!) apresentam, respectivamente, determinantes iguais a: a) 0, 0 e 0 b) 1, 1 e 1 c) 0, 1 e 1 d) 2, 3 e 4 e) -1, -1 e -1

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6 Sol.:

Observando os elementos das três matrizes acima, chegaremos aos seguintes resultados:

Æ Os elementos da segunda linha da matriz X são exatamente o dobro dos elementos correspondentes da primeira linha.

Æ Os elementos da terceira coluna da matriz Y são exatamente o triplo dos elementos correspondentes da primeira coluna.

Æ Os elementos da terceira linha da matriz Z são exatamente o quíntuplo dos elementos correspondentes da terceira coluna.

Para obter os determinantes das matrizes acima, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes: ÆSe uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então: det(M) = 0.

Concluímos, então, que os determinantes de X, Y e Z são iguais a zero. Resposta: alternativa A.

08. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Sabendo-se que a matriz

a) 1d) n
b) -1e) n-1

que Ν∈n e 1≥n então o determinante da matriz An – An-1 é igual a c) 0

Sol.: A questão solicita o determinante da matriz An – An-1, onde:

Æ Ν∈n e 1≥n

A multiplicação de matrizes goza das propriedades seguintes:

1) é associativa: (AB)C = A(BC) 2) é distributiva à direita: (A+B)C = AC + BC 3) é distributiva à esquerda: C(A+B) = CA + CB 4) (kA)B = A(kB) = k(AB)

Daqui a pouco usaremos a terceira propriedade descrita acima.

Temos a expressão matricial An – An-1. Mas podemos reescrevê-la, sem alterar o resultado, por: (An-1. A) – (An-1. I)

Se colocarmos em evidência o termo An-1 , a expressão matricial passa a ser:

An-1 (A – I)

Agora, vamos substituir a matriz A e a matriz identidade I que estão dentro do parêntese, pelas suas respectivas matrizes. Então, teremos:

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Subtraindo as matrizes que estão dentro do parêntese, obteremos:

Para calcular o determinante da expressão matricial acima, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes: det(AB) = det(A).det(B).

Daí:det( An-1 (

10 é igual a zero, porque essa matriz possui uma coluna com elementos iguais a zero.

Daí:det(An-1) . det(

Resposta: alternativa C.

09. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) 36- Considere as matrizes ba YX

a) 0d) a+b.
b) ae) a+c.

onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a c) a+b+c.

Sol.: Observando os elementos da matriz X, chegaremos ao seguinte resultado:

Æ Os elementos da segunda linha da matriz X são exatamente o dobro dos elementos correspondentes da primeira linha.

Daí, já descobrimos que o determinante da matriz X é igual a zero. A questão solicita o determinante do produto das matrizes X e Y, ou seja, o det(XY). Pelas propriedades dos determinantes, sabemos que det(XY) = det(X).det(Y). Daí: Æ det(XY) = det(X).det(Y) = 0 . det(Y) = 0 Resposta: alternativa A.

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a) 21/2d) 2–1/2
b) 2e) 1

10. (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4 A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2-1/2, então o determinante da matriz B é igual a: c) 2–1/4

Sol.:

A relação entre as matrizes A e B, segundo o enunciado, é: B = 21/4 A, onde A e B são matrizes quadradas de segunda ordem.

O determinante de B é dado por: det (B) = det(21/4 A)

Para calcular o determinante de B, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes:

Æ Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M, ou seja: det (k.M) = kn det(M)

Æ det (B) = (21/2).det(A)

Segundo o enunciado, o determinante de A é igual a 2-1/2. Daí: Æ det (B) = (21/2) . 2-1/2 = 21/2 - 1/2 = 20 = 1 (Resposta: alternativa E!)

1. (AFRE MG 2005 ESAF) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A-1 B C d) A B C-1 b) A C-1 B-1 e) C-1 B-1 A-1 c) A-1 C B-1

Sol.:

Do enunciado, temos que a seguinte igualdade: C = AZB.

Para encontrarmos a matriz Z, ela deve ficar isolada em um dos lados da igualdade, como se encontra o C neste momento.

Para isolar o Z, devemos efetuar multiplicações entre matrizes. Considere os seguintes passos:

1º passo) Multiplicaremos ambos os lados da igualdade por A-1 a fim de desaparecer a matriz A do segundo membro da igualdade. A-1. C = A-1 . AZB

O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Daí: A-1C = (I)ZB

O produto de uma matriz pela matriz identidade, não altera a matriz. Daí:

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A-1C . B-1 = ZB . B-1

2º passo) Multiplicaremos ambos os lados da igualdade por B-1 a fim de desaparecer a matriz B do segundo membro da igualdade.

Essa igualdade pode ser escrita assim: A-1C B-1 = Z (B . B-1)

O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Daí: A-1C B-1 = Z (I)

O produto de uma matriz pela matriz identidade, não altera a matriz. Daí: A-1C B-1 = Z

Portanto, encontramos que Z = A-1C B-1 (Resposta: alternativa C !)

12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e

a) –x-6d) –1
b) –x6e) 1

B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: c) x3

Sol.: Temos as seguintes informações:

Æ A e B são matrizes quadradas de terceira ordem. Æ A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Æ O determinante de A é igual a x3.

A questão solicita o produto entre os determinantes das matrizes A e B, ou seja: det(A).det(B) = ?

Já sabemos que o det(A) = x3, falta-nos encontrar o det(B). Podemos descrever a matriz B em função das colunas de A, da seguinte maneira:

B = terceira coluna de Asegunda coluna de A primeira coluna de A

Para encontrar o determinante de B, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes:

Æ Seja X uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas obteremos uma nova matriz Z tal que: det(Z) = – det(X).

Pelo desenho da matriz B acima, observamos que a matriz B é obtida pela troca de posição entre a primeira coluna e a terceira coluna da matriz A. Daí:

det(B) = - det(A)

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E, portanto: det(B) = - x3 O produto det(A).det(B) será igual a: det(A).det(B) = x3 . (- x3) = -x6 (Resposta: alternativa B !)

13. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema =+ yax de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a.

Sol.:

As variáveis (incógnitas) do sistema acima são x e y.

A segunda equação do sistema não apresenta a variável y, daí podemos obter facilmente o valor de x do sistema. Da segunda equação, teremos:

x + 2a = 0 Æx = -2a
Æ ax – 2y = 0Æ a . (-2a) – 2y = 0 Æ -2a2 – 2y = 0 Æ y = -a2

Substituindo este valor de x na primeira equação, encontraremos o valor de y do sistema:

x = -2ae y = -a2

A solução do sistema é:

Destes resultados, concluímos que x e y tem uma infinidade de valores, que dependerão do valor de a. Se a for zero teremos a solução trivial x=0 e y=0, e para quaisquer outros valores de a teremos soluções não triviais.

Resposta: alternativa A.

Agora, sim, falemos sobre Trigonometria! w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos

1 NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA

1. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Denominamos de triângulo retângulo, o triângulo que possui ângulo interno de um de seus vértices igual a 90º.

Triângulo retângulo

Na figura acima α e β são os ângulos agudos do triângulo retângulo, e eles são complementares (α + β = 90º). O lado maior c é chamado de hipotenusa e os lados a e b são chamados de catetos.

As razões trigonométricas fundamentais usando o ângulo α são:

==αα a adjacente catetocos

abhipotenusa sen==αα aoposto cateto achipotenusa c btg == ααα a adjacente cateto a oposto cateto

As razões trigonométricas fundamentais usando o ângulo β são:

achipotenusa sen==ββ aoposto cateto abhipotenusa ==ββ a adjacente catetocos b ctg == βββ a adjacente cateto a oposto cateto

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