Baixe aula 17 -geometria basica e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 AULA DEZESSETE: GEOMETRIA BÁSICA Olá, amigos! Novamente pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 17 na semana passada. Daremos hoje início a um novo assunto: GEOMETRIA! Como de praxe, apresentaremos muitas questões de concursos passados que servirão no nosso aprendizado, e também para sabermos qual é a profundidade exigida deste assunto dentro das provas de Raciocínio Lógico. Apresentaremos a seguir, a solução do dever de casa da aula passada, sobre o assunto de Trigonometria. Vamos a elas! DEVER DE CASA 01. (AFC-STN-2000 ESAF) A expressão dada por y = 3senx + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é a) -1 ≤ y ≤ 7 b) -7 < y < 1 c) -7 < y ≤ -1 d) 1 ≤ y < 7 e) 1 ≤ y ≤ 7 Sol.: A expressão fornecida no enunciado envolve a função seno. Assim, encontraremos o intervalo de variação de y, a partir do intervalo de variação da função seno. Da função seno, sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que: sen x ≥ -1 e sen x ≤ 1 A partir da expressão sen x ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de y. Temos que sen x ≥ -1 , se multiplicarmos por 3 ambos os lados, obteremos: 3.sen x ≥ 3.(-1) Daí: 3sen x ≥ -3 Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos: 3sen x + 4 ≥ -3 + 4 Daí: 3sen x + 4 ≥ 1 E como y=3sen x +4, então encontramos que y ≥ 1. Agora, a partir da expressão sen x ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de y. Temos que sen x ≤ 1, se multiplicarmos por 4 ambos os lados, obteremos: 3.sen x ≤ 3.1 Daí: 3sen x ≤ 3 Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos: 3sen x + 4 ≤ 3 + 4 Daí: 3sen x + 4 ≤ 7 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 E como y=3sen x +4, então encontramos que y ≤ 7. Dos resultados obtidos: y ≥ 1 e y ≤ 7, encontramos o intervalo de variação de y: 1 ≤ y ≤ 7 (Resposta!) 02. A expressão dada por y = –2senx + 5 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é a) -1 ≤ y ≤ 7 b) y ≤ 3 ou y ≥ 7 c) 3 < y ≤ 5 d) 3 ≤ y ≤ 8 e) 3 ≤ y ≤ 7 Sol.: A expressão fornecida no enunciado envolve a função seno. Assim, encontraremos o intervalo de variação de y, a partir do intervalo de variação da função seno. Da função seno, sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que: sen x ≥ -1 e sen x ≤ 1 A partir da expressão sen x ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de y. Temos que sen x ≥ -1 , se multiplicarmos por -2 ambos os lados, obteremos: -2.sen x ≤ -2.(-1) Observe que o sinal inverteu, era um sinal de “maior” e passou para um sinal de “menor”, isso ocorreu porque multiplicamos por um valor negativo (-2). Continuando, teremos: -2sen x ≤ 2 Se somarmos 5 a ambos os lados da expressão acima, teremos: -2sen x + 5 ≤ 2 + 5 Daí: -2sen x + 5 ≤ 7 E como y=-2sen x +5, então encontramos que y ≤ 7. Agora, a partir da expressão sen x ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de y. Temos que sen x ≤ 1, se multiplicarmos por -2 ambos os lados, obteremos: -2.sen x ≥ -2.1 Novamente, invertemos o sinal, agora de menor para maior, porque multiplicamos por um valor negativo (-2). Continuando, teremos: -2sen x ≥ -2 Se somarmos 5 a ambos os lados da expressão acima, teremos: -2sen x + 5 ≥ -2 + 5 Daí: -2sen x + 5 ≥ 3 E como y=-2sen x +5, então encontramos que y ≥ 3. Dos resultados obtidos: y ≥ 3 e y ≤ 7, encontramos o intervalo de variação de y: 3 ≤ y ≤ 7 (Resposta!) CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 5 O enunciado informa que x é um ângulo do segundo quadrante, portanto a tangente de x é um valor negativo. Assim, a alternativa correta ou é a A ou é a B. Pela relação fundamental: sen2x + cos2x = 1, podemos encontrar o valor do cosseno de x a partir do valor do seno de x. Temos que senx=12/13, substituindo esse valor na relação fundamental acima, teremos: (12/13)2 + cos2x = 1 144/169 + cos2x = 1 cos2x = 1 – 144/169 cos2x = 25/169 cos x = 169/25 cos x = ± 5/13 No início dessa solução, já havíamos concluído que o cos x devia ser negativo. Portanto, descartaremos o valor de +3/5, e a resposta será: cos x = –3/5 (Resposta!) 06. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF) Sabe-se que a função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do dobro de um arco é dado por sen 2x = 2sen x cos x. Sabendo-se que x é um arco do segundo quadrante e que o cosseno da metade deste arco é igual a 1/3, então a cossecante de x vale: a) 3 32− b) 3 22− c) 3 3 d) 3 32 e) 1 Sol.: O enunciado afirma que a função inversa da função seno é a função cossecante, isto quer dizer que: cossec x = 1 / sen x Também o enunciado traz as seguintes informações: sen 2x = 2senx . cosx x é um arco do segundo quadrante cos(x/2) = 1/3 Para calcularmos a cossecante de x, devemos obter primeiramente o valor do sen x. Para isso, vamos utilizar as informações dadas no enunciado. A equação sen 2x = 2senx.cosx pode ser escrita de maneira diferente, mas equivalente, da seguinte forma: sen x = 2sen(x/2) . cos(x/2). Desta última expressão, observamos que já temos o cos(x/2) e para calcularmos o senx, necessitamos encontrar o valor do sen(x/2). Faremos isso através da relação fundamental: sen2x + cos2x = 1. Podemos escrever a relação fundamental acima da seguinte forma: sen2(x/2)+cos2(x/2)=1. Substituiremos o valor de cos(x/2) nesta expressão. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 6 sen2(x/2)+cos2(x/2)=1 sen2(x/2) + (1/3)2 = 1 sen2(x/2) = 1 – 1/9 sen2(x/2) = 8/9 sen(x/2) = ± 9 8 sen(x/2) = ± 3 22 O seno de x/2 é positivo ou negativo? Como o x é um arco do 2º quadrante, então x/2 será do 1º quadrante e, portanto, o seno de x/2 é positivo. Daí, descartamos o valor negativo acima e ficamos com: sen(x/2) = 3 22 Agora é só substituir o valor do sen(x/2) e do cos(x/2) na expressão abaixo para encontrarmos o valor do senx. sen x = 2sen(x/2) . cos(x/2) sen x = 2 . 3 22 . 3 1 sen x = 9 24 Daí, cossecante de x é igual a: cossec x = 1 / sen x cossec x = 1 / 9 24 cossec x = 24 9 cossec x = 8 29 (Resposta!) Observe que esta resposta não aparece entre as alternatives, foi por este motivo que a ESAF teve que anular esta questão. 07. (TFC 1997 ESAF) Sabe-se que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do produto do seno de α pelo co-seno de α. Assim, sendo o seno de um ângulo de 120º igual a 23 , o seno de um ângulo de 240º é: a) 23− c) 3 e) 33 b) 23 d) 32 Sol.: E enunciado traz a seguinte informação: sen 2α = 2senα.cosα. Nesta expressão, fazendo α igual a 120º, podemos obter o seno de 240º. sen 240º = 2.sen120º.cos120º Falta calcular o valor do seno de 120º. Usaremos a relação fundamental: sen2x+cos2x=1. sen2120º + cos2120º = 1 ( 23 )2 + cos2120º = 1 cos2120º = 1 - 43 cos2120º = 1/4 cos 120º = ± 4/1 cos 120º = ± 1/2 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 O cosseno de 120º é positivo ou negativo? Como o ângulo de 120º é do 2º quadrante, então o cosseno de 120º é negativo. Daí, descartamos o valor positivo acima e ficamos com: cos 120º = –1/2 De posse do seno e do cosseno de 120º, já podemos obter o seno de 240º. Teremos: sen 240º = 2.sen120º.cos120º sen 240º = 2. 23 .(–1/2) sen 240º = – 23 (Resposta!) 08. (AFC-SFC 2001 ESAF) A condição necessária e suficiente para a identidade sen2α = 2senα ser verdadeira é que α seja, em radianos, igual a: a) π/3 b) π/2 c) n π sendo n um número inteiro qualquer d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer Sol.: Uma das fórmulas apresentadas na aula dezesseis, e que já usamos em algumas questões resolvidas acima, foi esta: xxsenxsen cos22 = Assim o valor de sen2α = 2senα.cosα . Substituiremos o valor de sen2α na expressão dada no enunciado da questão. sen2α = 2senα 2senαcosα = 2senα 2senαcosα – 2senα = 0 2senα(cosα – 1) = 0 O valor de α que satisfaz esta última expressão, pode ser obtido fazendo-se: 2senα=0 ou (cosα – 1)=0 1) Vamos calcular os valores de α para que 2senα=0. 2senα=0 senα=0 O seno é igual a zero para os arcos 0, ±π, ±2π, ±3π, ... . Generalizando: α = kπ , onde k = 0, ±1, ±2, ... 2) Vamos calcular os valores de α para que (cosα – 1) = 0. (cosα – 1) = 0 cosα = 1 O cosseno é igual a um para os arcos 0, ±2π, ±4π, ... . Generalizando: α = k.2π , onde k = 0, ±1, ±2, ... CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 10 12. Determine o valor de x e y nas figuras abaixo: x y 12 60o 20 Sol.: x y 12 60o 20 12 60o Sabemos que: sen 60º = 2 3 e que cos 60º = ½. 1) Cálculo de y sen 60º = cateto oposto / hipotenusa 2 3 = y / 12 y = 36 2) Cálculo de x cos 60º = cateto adjacente / hipotenusa 1/2 = (20-x) / 12 (20-x) = 6 x = 14 Agora, sim, falaremos sobre Geometria! x 20 - x y 20 - x y CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 11 GEOMETRIA 1. ÂNGULOS 1.1. Definição Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto. Indica-se por: AÔB ou α. Em que: OA e OB são os lados do ângulo; O é o vértice do ângulo. 1.2. Ângulo agudo É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto. 1.3. Ângulo obtuso É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso. 1.4. Ângulos opostos pelo vértice α e γ são opostos pelo vértice. θ e β são opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes. A B O α α α α γ β θ CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12 1.5. Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes. α = β 1.6. Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados: ângulos correspondentes: a e α, b e β, c e γ, d e θ; ângulos alternos internos: c e α, d e β; ângulos alternos externos: a e γ, b e θ; ângulos colaterais internos: c e β, d e α; ângulos colaterais externos: a e θ, b e γ; Propriedades: Ângulos alternos internos são congruentes. Ângulos alternos externos são congruentes. Ângulos correspondentes são congruentes. Ângulos colaterais internos são suplementares. Ângulos colaterais externos são suplementares. α β bissetriz b a c d α β γ θ r s t CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 15 4. TRIÂNGULOS 4.1. Classificação: Eqüilátero: tem os três lados iguais e os três ângulos iguais (60º). Isóceles: tem dois lados iguais e dois ângulos iguais. Escaleno: os três lados são diferentes e também os três ângulos. 4.2. Relações no triângulo qualquer: 1) Qualquer lado é menor que a soma dos outros dois: a < b + c b < a + c c < a + b 2) A soma dos ângulos internos é 180°: A ) + B ) + C ) = 180º 4.3. Mediana È o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. c b a A C B A B C M mediana CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 16 4.4. Altura É o segmento que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto. 4.5. Bissetriz A bissetriz do ângulo Â divide este ângulo em duas partes iguais e intercepta o lado oposto no ponto D. O segmento AD denomina-se bissetriz interna relativa ao vértice A. Teorema da bissetriz interna: a bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. Da figura acima, temos: AC AB DC BD = 4.6. Semelhança de Triângulos Dois triângulos ABC e A’B’C’ são dito semelhantes, se: • os ângulos correspondentes forem congruentes ( 'AA )) = , 'BB )) = e 'CC )) = ). • os lados correspondentes forem proporcionais ( ''' c c b b a a == ). A B C D A B C b a c A’ B’ C’ b’ a’ c’ A B C H altura A B C H altura CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 17 4.7. Relações Métricas no Triângulo Retângulo a – hipotenusa b e c – catetos h – altura relativa a hipotenusa m e n – projeções dos catetos sobre a hipotenusa Relações métricas: 1) bc = ah 2) c2 = a.m 3) b2 = a.n 4) h2 = m.n Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 5. QUADRILÁTEROS Quadrilátero é o polígono de quatro lados. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é: 360º. i1 + i2 + i3 + i4 = 360º 5.1. Classificação Paralelogramo É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Os ângulos opostos são congruentes. Paralelogramos Notáveis Retângulo: é o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de medida igual a 90º. b c a h n m i1 i2 i3 i4 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 20 A medida de um ângulo de segmento é igual a metade do arco por ele determinado. 7. ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS Retângulo: Quadrado: Paralelogramo: Trapézio: Losango: A α V=B α = AB 2 a b área = a . b a a área = a2 a b h área = base x altura = a x h c B d b h área = (B + b).h 2 a a a a D d área = D . d 2 d = diagonal menor D = diagonal maior CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 21 Triângulo: Triângulo Eqüilátero: h = 2 3a e área = 4 32a Área do Círculo Setor Circular: Hexágono Regular: no seu interior há seis triângulos equiláteros área = 4 36 2a × b c a h área = base x altura = a x h ou 2 2 a a a h O r área = πr2 r α l área = απr2_ 360º Comprimento de uma circunferência: C = 2πr a a a a a a a a α área = a.b.senα 2 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 22 8. VOLUME DOS SÓLIDOS Paralelepípedo retângulo b Cubo Cilindro h Esfera R = raio da esfera Área total = 4π 2R Volume = 3 4 3Rπ Pirâmide (tetraedro regular: as faces são triângulos equiláteros) Volume = área da base x altura = a . b . c Área total = 2(ab +ac + bc) Volume = área da base x altura = a2. a = a3 Área total = área da base x altura = 6a2 Área lateral = 2πr . h Área total = área lateral + área das bases = 2πrh + 2πr2 Volume = área da base x altura = πr2 . h c a b a a a r h Volume = área da base x altura 3 Volume = 3 4 32 ha × h CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 25 12. (AFC 2002 ESAF) A circunferência é uma figura constituída de infinitos pontos, que tem a seguinte propriedade: a distância de qualquer ponto P(x,y), da circunferência até o seu centro C(a,b) é sempre igual ao seu raio R. A forma geral da circunferência é dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Assim, a equação da circunferência de centro na origem dos eixos e que passa pelo ponto (3,4) é: a) x2 + y2 = 4 d) x2 + y2 = 25 b) x2 + y2 = 9 e) x2 + y2 = 49 c) x2 + y2 = 16 13. (AFC 2005 ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: a) 6, 30 e 54 d) 14, 26 e 50 b) 6, 34 e 50 e) 14, 20 e 56 c) 10, 30 e 50 14. (Analista de Recursos Financeiros SERPRO 2001 ESAF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m. A área do segundo triângulo será igual a: a) 6 m2 d) 48 m2 b) 12 m2 e) 60 m2 c) 24 m2 15. (AFC 2005 ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 cm e um outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a a) 313− c) 212− e) 1 b) 212 d) 23 16. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Um trapézio ABCD, com altura igual a h, possui bases AB = a e CD = b, com a > b. As diagonais deste trapézio determinam quatro triângulos. A diferença entre as áreas dos triângulos que têm por bases AB e CD respectivamente e por vértices opostos a interseção das diagonais do trapézio é igual a: a) 2 )( ba + c) 2 )( hba − e) 2 )( hab − b) 2 )( hba + d) 2 )( ba − 17. (AFC-SFC 2001 ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 2/3 m, então a área, em metros, do hexágono é igual a: a) 9 3 4 d) 3 3 b) 3 7 e) 3 3 c) 2 3 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 26 18. (TCE-RN 2000/ESAF) A reta R1, que possui coeficiente linear igual a 8 e que é perpendicular à reta R2= -1/3 x + 8, forma com os eixos coordenados e com a reta x = 2 uma figura cuja área, em metros quadrados, é igual a: a) 16 d) 48 b) 18 e) 50 c) 22 19. (TTN 1998 ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e cuja circunferência tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e (- 4,0) é dada por a) 16 π b) 4 π c) 8 π d) 2 π e) 32 π 20. (AFC 2002 ESAF) Um dos lados de um retângulo é 7 cm maior do que o outro lado. Se a diagonal deste retângulo mede 13 cm, então o volume de um prisma regular, de 5 cm de altura, e que tem como base este retângulo, é igual a: a) 50 cm3 c) 150 cm3 e) 300 cm3 b) 65 cm3 d) 200 cm3 21. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram- se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simultaneamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontra- se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde está João Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer ponto até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra. Portanto, a distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e João Guilherme é: a) 650 b) 600 c) 500 d) 700 e) 720 22. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três começam a caminhar na borda do polígono. Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo que a velocidade de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O número de arestas do polígono é: a) 10 b) 15 c) 12 d) 14 e) 11 23. (SERPRO 1996 ESAF) O ponto de intersecção das retas 2x + y – 1 = 0 e x – y + 16 = 0 têm coordenadas iguais a: a) (-11,-5) d) (11,5) b) (-11,3) e) (-5,11) c) (-5,-1) 24. (AFC-SFC 2001 ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x+β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, a) α > 0 e β > 0 d) α < -1 e β < 0 b) α > 0 e β < 0 e) α > -1 e β > 0 c) α < 0 e β < 0