aula 15 - matrizes e determinantes (parte II)

aula 15 - matrizes e determinantes (parte II)

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AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte I)

Olá, amigos!

Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 15 na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas ei-nos aqui, para encerramos o assunto iniciado na aula passada – Matrizes.

Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência. Vamos a elas!

Dever de Casa

a) 2 x 2
b) 3 x 3

01. (TFC-97) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a expressão [A . (B . C)]2 tem ordem igual a: c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12 Sol.:

Uma questão que trata unicamente acerca da ordem (dimensão) das matrizes. E isso já aprendemos perfeitamente. Vamos, portanto, substituir a letra da matriz pela sua dimensão, conforme nos forneceu o enunciado. Ok?

Primeiramente devemos fazer o produto das matrizes B e C, que estão dentro do parêntese! Teremos:

(B3x4) x (C4x2)

(3 x 4) x (4 x 2)
“meios”
“extremos”

O resultado, conforme podemos ver no esquema acima, será uma nova matriz de dimensão (3x2), que são os extremos das dimensões das matrizes multiplicadas!

Pois bem! Teremos agora é multiplicar a matriz A, de dimensão (2x3) pela matriz produto que acabamos de encontrar, de dimensão (3x2). Teremos:

(2 x 3) x (3 x 2)
“meios”
“extremos”

Daí, chegamos a uma nova matriz, de dimensão (2x2), conforme percebemos pelo esquema acima. Esse é o resultado final do produto [A . (B . C)].

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Só que a questão quer mais! Quer que elevemos esse resultado ao quadrado! Viram? É preciso, finalmente, que nós multipliquemos essa matriz resultante por ela mesma. Teremos, pois, que:

(2 x 2) x (2 x 2)
“meios”
“extremos”

Ou seja, o resultado final da expressão trazida pelo enunciado é justamente uma matriz quadrada de 2ª ordem: uma matriz de dimensão (2x2) Æ Resposta! a X, assinale os valores de a e b, de modo que AX=B a) a=0 e b=1 b) a=1 e b=0 c) a=0 e b=0 d) a=1 e b=1 e) a=0 e b=-1

Sol.: A questão quer que façamos o produto entre as matrizes A e X, e que igualemos esse resultado à matriz B. Comecemos, pois, pelo produto. Teremos:

Daí, igualando a matriz produto encontrada acima à matriz B, teremos:

Æ a+2b=2e Æ b=1

Dessa igualdade, extrairemos os seguintes resultados:

Pronto! Se b=1, então, substituindo esse resultado na primeira equação acima, teremos que: Æ a+2b=2 Æ a=2-2b Æ a=2-2(1) Æ a=2-2 Æ a=0

Com isso, chegamos ao nosso resultado: a=0 e b=1 Æ Resposta!

03. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a

CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169

Sol.: Resolvemos questões praticamente iguais a essa na aula passada. Se o enunciado pede que calculemos o valor de X31 e de X13, e é dito que a matriz X é a que resulta da soma entre as matrizes A e B, então, na verdade, somente nos interessarão os valores dos seguintes elementos: A31 e A13, B31 e B13. Mais do que isso não precisa, uma vez que teremos que:

Æ X31 = A31 + B31e
Æ X13 = A13 + B13

A lei de formação da matriz A é dada pela questão como sendo aij = i2. Daí, teremos que:

Æ A31 = (3)2 = 9e A13 = (1)2 = 1
Æ B31 = (3-1)2 = 4e B13 = (1-3)2 = 4

Já no tocante à matriz B, teremos que sua lei de formação é a seguinte: bij = (i-j)2. Daí:

Æ X31 = A31 + B31Æ X31 = 9+4 = 13
Æ X13 = A13 + B13Æ X13 = 1+4 = 5

De posse desses resultados, vamos chegar agora ao seguinte:

O que nos pede, finalmente, a questão? Pede que multipliquemos esses dois últimos resultados obtidos. Teremos, pois, que:

Æ X31 . X13 = 13 x 5 = 65 Æ Resposta!

04. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Sejam as matrizes

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 2.

b) 1/2. c) 3. d) 1/3. e) 1.

Sol.: Mais uma bem ao estilo da Esaf. O primeiro a ser feito é multiplicarmos as duas matrizes fornecidas pelo enunciado. Teremos o seguinte:

CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos x x x x

Pois bem! Teremos agora que pegar essa matriz produto que encontramos acima, e construir a sua transposta! Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna, e só! Teremos, pois, que a matriz X será a seguinte:

Daí, o próximo passo será descobrir quais são os valores que ocupam as posições X31 e X12. Quais são? Ora, é só olhar! Encontraremos que: X31=16 e X12=8.

Finalmente, a questão pede que nós calculemos a razão entre X31 e X12. Teremos: Æ X31/X12=16/8 = 2 Æ Resposta!

a) 5
b) 10
c) 20
d) 40

05. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a: e) 80

Sol.: Se, na hora da prova, ficar difícil de enxergar um caminho para o resultado, é aconselhável que você crie uma matriz com as características que o enunciado pede. Neste caso, uma de dimensão (3x3) cujo determinante seja igual a 5.

Aprendemos como fazer isso na aula passada! Lembrados? Bastaria zerarmos todos os valores da matriz, exceto os da diagonal principal, os quais teriam que ser escolhidos, de modo que seu produto seja exatamente igual a 5. Uma possibilidade é a seguinte:

Concordam? Vejam que o produto dos elementos da diagonal principal é 5. Como todos os outros elementos da matriz são iguais a zero, concluímos que o determinante dessa matriz é 5. Agora a questão pede que nós construamos a matriz 2A e que calculemos o novo determinante. Façamos isso. Teremos:

Percebamos que os elementos não pertencentes à diagonal principal continuaram todos iguais a zero. Logo, o determinante da nova matriz será também o produto dos elementos de sua diagonal principal.

Ou seja: det(2A)=2x2x10=40 Æ Resposta!

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06. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10

Sol.: Aqui nos fala a questão acerca de uma matriz (2x2) cujo determinante é igual a 2. Poderemos construir uma matriz com essas característica. Uma possível seria a seguinte:

01 , que é a própria matriz A.

Agora, descobriremos qual é a matriz que representa o dobro da encontrada acima. Teremos:

02 , cujo determinante é 8 Æ Resposta!

07. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

Sol.: Questão semelhante à anterior, só que agora estamos diante de uma matriz de dimensão (3x3), cujo determinante é igual a 3. Criando uma matriz assim, teremos:

Daí, a transposta de X será igual à própria matriz X. Concordam? Agora, teremos que multiplicar essa matriz por 3. Teremos:

Passemos a nossa aula de hoje! Nesta aula encerramos os assuntos de Matriz e Determinante.

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Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2, seja aij um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento aij , e indicamos por Dij , como sendo o determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e a coluna j de M.

Exemplo 01) Calcule o menor complementar dos elementos da 1ª coluna da matriz M.

Sol.: Os elementos da 1ª coluna são: a11 , a21 e a31, daí o menor complementar desses elementos serão indicados, respectivamente, por: D11 , D21 e D31.

1) Cálculo de D11

Æ D11 = 5x6 – 4x1Æ D11 = 26

2) Cálculo de D21

Æ D21 = 0x6 – 4x(-1)Æ D21 = 4

3) Cálculo de D31

Æ D31 = 0x1 – 5x(-1)Æ D31 = 5

Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2, seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij , e indicamos por Aij , como sendo o número (-1)i+j. Dij .

2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6

M= 3 5 1 -2 4 6

5 1 Daí: D11 = det 4 6

2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6

0 -1 Daí: D21 = det 4 6

2 0 -1 M= 3 5 1

0 -1 Daí: D31 = det 5 1

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7 Exemplo 02) Calcule o cofator para cada elemento da 1ª coluna da matriz M.

Sol.:

No exemplo anterior havíamos calculado o menor complementar para cada elemento da 1ª coluna, e obtivemos os seguintes resultados:

D11 = 26 , D21= 4 e D31 = 5
Æ A11 = (-1)1+1. D11 Æ A11 = (-1)2. 26Æ A11 = 26
Æ A21 = (-1)2+1. D21 Æ A21 = (-1)3. 4Æ A21 = -4
Æ A31 = (-1)3+1. D31 Æ A21 = (-1)4. 5Æ A31 = 5

Este exemplo pede os seguintes cofatores: A11 , A21 e A31 . Aplicaremos a fórmula do cofator de um elemento: Aij = (-1)i+j. Dij

O determinante de uma matriz M, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Como demonstração, calcularemos o determinante da matriz dada no exemplo anterior

De acordo com o teorema acima, qualquer linha ou coluna pode ser usada para o cálculo do determinante. Como faremos o produto do elemento pelo seu cofator, é interessante que escolhamos uma linha ou coluna que tenha a maior quantidade de zeros, pois é desnecessário calcular o cofator dos elementos que são iguais a zero.

Na matriz M abaixo, deveríamos escolher a 1ª linha ou a 2ª coluna, pois ambas tem um zero. Porém, como no exemplo anterior escolhemos a 1ª coluna para calcularmos os cofatores, então usaremos a 1ª coluna no cálculo do determinante da matriz M.

Æ Cálculo do determinante da matriz M: Usando a 1ª coluna, o determinante de M é dado por:

Havíamos obtido no exemplo anterior: A11=26 , A21=-4 e A31=5

Æ det M = 52 – 12 – 10 Æ E, finalmente: det M = 30

2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6

2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6

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Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é uma matriz inversível se existir uma matriz, chamada de A-1 , tal que A.A-1 = A.A-1 = In . Onde In é a matriz identidade de ordem n. Se A não é inversível, dizemos que A é uma matriz singular.

Exemplo 03) Calcule a inversa da matriz M.

Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz M pela sua inversa M-1 é igual a matriz identidade. Portanto, teremos:

M-1 x M = IÆ

Já vimos como se multiplica duas matrizes, portanto só daremos o resultado do produto M-1 x M . Teremos:

Para que as duas matrizes acima sejam iguais é necessário que: 2b = 1 -a+b = 0 2d = 0 -c+d = 1

Encontraremos os valores de a, b, c e d.

Æ -a+b=0Æ -a+0,5=0 Æ a=0,5
Æ -c+d=1Æ -c+0=1 Æ c=-1

Æ Como 2b=1, então b=0,5. Æ Como 2d=0, então d=0. Daí, a inversa da matriz M será a seguinte matriz:

Exemplo 04) Calcule a inversa da matriz B.

Sol.: Para uma matriz de ordem maior que 2, o método que usamos no exemplo anterior para o cálculo da matriz inversa pode ser mais trabalhoso. Mostraremos um outro método para encontrar a inversa de uma matriz.

0 -1 M = 5 1 a b Procuramos por M-1 que representaremos pela matriz: c d a b 0 -1 1 0 c d x 2 1 = 0 1

2b -a+b 1 0

2d -c+d = 0 1

0 -1 M = 5 1

0,5 0,5 M-1 = -1 0

2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1

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9 Podemos obter a inversa de uma matriz pela fórmula:

M M det

Onde: M é a matriz adjunta. O que é matriz adjunta?

Æ Matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.

E o que é matriz dos cofatores?

Æ É a matriz que se obtém de M , substituindo cada elemento de M por seu cofator. Vamos calcular a matriz dos cofatores da matriz B dada abaixo:

D13 = 3x4 – (-2)x2 = 16 ÆA13 = D13 = 16

2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1

B= 3 2 -4

2 -4 D11 = det 4 1

B= 3 2 -4

3 -4 D12 = det -2 1

B= 3 2 -4

3 2 D13 = det -2 4

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D21 = 0x1 – 4x(-1) = 4 ÆA21 = –D21 = –4
D22 = 2x1 – (-2)x(-1) = 0 ÆA22 = D22 = 0
D23 = 2x4 – (-2)x0 = 8Æ A23 = –D23 = –8
D31 = 0x(-4) – 2x(-1) = 2Æ A31 = D31 = –8
D32 = 2x(-4) – 3x(-1) = -5Æ A32 = –D32 = –(–5) = 5

0 -1 D21 = det 4 1

2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1

2 0 -1 B= 3 2 -4

2 -1 D22 = det -2 1

2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1

2 0 D23 = det -2 4

2 0 -1 B= 3 2 -4

0 -1 D31 = det 2 -4

2 0 -1 B= 3 2 -4

2 -1 D32 = det 3 -4

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D33 = 2x2 – 3x0 = 4Æ A33 = D33 = 4

Æ Portanto, a matriz dos cofatores de B é a seguinte matriz:

Æ A matriz adjunta de B (B) é a transposta da matriz dos cofatores, então teremos que:

Æ Só falta calcular o determinante da matriz B para obtermos a matriz inversa B-1.

Utilizaremos o Teorema de Laplace para calcularmos o determinante da matriz B. Por este teorema, o determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Escolheremos a primeira linha da matriz B!

Aplicando o teorema:

Æ det B = 2A11 + 0A12 + (-1)A13 Æ det B = 2x18 + 0x5 + (-1)x16

Æ det B = 20

Agora é só aplicar a fórmula da inversa de uma matriz:

B B det

=−BÆ

2 0 -1 B= 3 2 -4

2 0 D32 = det 3 2

18 5 16 -4 0 -8

18 -4 -8

Matriz adjunta: B = 5 0 5 16 -8 4

2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1

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1. Matriz Transposta

Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M)

2. Fila Nula

Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então: det(M) = 0

3. Multiplicação de uma fila por uma constante

Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M.

det(k vezes uma fila de M) = k.det(M)

4. Multiplicação de uma Matriz por uma constante

Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M.

det (k.M) = kn det(M)

5. Filas paralelas iguais

Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, então:

det(M) = 0

6. Filas paralelas proporcionais

Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então:

det(M) = 0

7. Troca de filas Paralelas

Seja A uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas obteremos uma nova matriz B tal que:

det(A) = – det(B)

8. Produto de Matrizes Seja A e B são matrizes quadradas de ordem n, então:

det(A.B) = det(A).det(B) 9. Matriz Triangular O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

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B → det(B) = 2 x 10 x (-3) = -60

10. Matriz Inversa Seja B a matriz inversa de A, então a relação entre os determinantes de B e A é dado por:

# SISTEMAS LINEARES 1. Conceito de Equação Linear

Antes de conhecermos um Sistema Linear, devemos saber o que é uma equação linear. Chamamos de equação linear toda equação do tipo:

a1x1 + a2x2 + a3x3 ++ anxn = b ,
onde: x1, x2, x3,, xn são as variáveis ou incógnitas,
a1, a2, a3,, an são números reais chamados de coeficientes, e

b é um número real chamado de termo independente da equação.

Æ Exemplos de equações lineares:

1) 2x1 + 5x2 + x3 = 4 2) –3x1 + x2 + 10x3 – x4 = –7 3) 6x1 + 2x2 = 15

Æ Outros exemplos de equações lineares, mas com outras letras para as variáveis: 1) 2x – 3y + z = 1 2) 5y + w = –2

2. Conceito de Sistema Linear

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. São exemplos de sistemas lineares:

yx 2) zyx zyx zyx

yx zyx zyx

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14 3. Representação de um Sistema Linear em Forma Matricial

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