Matematica financeira regular 11

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(Parte 1 de 2)

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AULA 1 – EMPRÉSTIMO AMERICANO & PAÍSES, BÔNUS E CUPONS

Olá, amigos!

Espero que estejam todos bem!

de-sete-cabeçasNada mais distante da verdade! Trata-se de uma questão que fala em país,

Nossa aula hoje será deveras interessante! Vamos trabalhar um tipo de questão que se tornou muito famosa nos últimos anos, e que é considerada por muitos alunos como um bichobônus e cupons, e que se resolve, acreditem-me, em duas linhas!

É uma aula de desmistificação, digamos assim.

Vou deixar a correção da questão pendente do dever de casa da aula passada para o final, se me permitem.

# Empréstimo Americano:

Esse assunto – Empréstimo Americano – não costuma ser cobrado nos editais de prova dos concursos fiscais. Nem no de Fiscal da Receita, e nem em qualquer outro. E pra que vamos estudá-lo, professor, se não cai na prova? Calma! Nós vamos apenas aprender algumas poucas informações sobre ele, e que vão nos ser muito úteis em outras questões que caem na prova!

Ok? Vamos aproveitar o empréstimo americano naquilo que ele pode nos ser útil!

Ora, aprendemos em aulas pretéritas que uma situação de empréstimo e devolução é uma situação de Equivalência de Capitais!

Todos lembrados disso? Claro! Se eu peguei uma quantia emprestada hoje, e se vou ter que devolver no futuro, então, para que eu não saia perdendo, nem a pessoa que me emprestou saia perdendo, nada mais justo que o que eu vou devolver seja equivalente ao que eu tomei emprestado!

Assim, só recordando, se chamarmos o valor do empréstimo de 1ª Obrigação, todas as parcelas de devolução serão ditas parcelas de 2ª Obrigação! Só isso!

E o empréstimo será sempre no regime composto, de sorte que estaremos diante de uma questão de Equivalência Composta, o que significa dizer que a escolha da data focal é livre, e que podemos seguir a sugestão de adotar a mais à direita do desenho para este papel.

Lembrados?

Enfim, numa linha se resolve uma questão de empréstimo! E o que vem a ser esse tal de Empréstimo Americano?

Nada mais é que um modelo de empréstimo, com características próprias: a devolução do que foi tomado de empréstimo se fará assim:

Æ por meio de várias parcelas menores, de mesmo valor, e dispostas em intervalos de tempo iguais; e

Æ na data da última parcela menor, juntamente com ela, se devolve também a mesma quantia que havia sido tomada emprestada.

Ilustrando-se um empréstimo com as características acima, teremos:

Parcelas menores e iguais

Valor do empréstimo

Última parcela da devolução, no mesmo valor do empréstimo w.pontodosconcursos.com.br 2

Repare em azul a parcela do empréstimo, e em vermelho todas as demais parcelas do desenho, correspondentes à devolução! Repare também, isso é fundamental, que na última data do desenho estão sendo devolvidas duas parcelas: uma menor (de mesmo valor de várias outras), e outra do mesmo valor do empréstimo!

Pronto! Já sabemos o que é um empréstimo americano!

E daí? O que me vale conhecê-lo? Vale pelo seguinte: sempre que estivermos diante de uma situação de empréstimo que siga exatamente as características acima, ou seja, diante de um empréstimo americano, calcularemos a taxa (de juros compostos) da operação de uma forma inacreditavelmente fácil. Basta fazer o seguinte:

Æ Taxa = (Valor de uma das parcelas menores e iguais)/(Valor do empréstimo)

Só isso!

Assim, se tivermos que o sujeito pegou R$1000 emprestado hoje, e devolveu por meio de 15 (quinze) parcelas menores de R$50,0, e junto com a última parcela de R$50,0 devolveu também os mil que havia tomado de empréstimo, teremos:

1.0,01.0,0
50, 50, 50, 50, 50, 50, 50,

O que faremos agora? Observaremos se esse empréstimo cai naquele modelo que já conhecemos. O que você diz? Estamos diante de um empréstimo americano? Sim, pois as características da devolução são exatamente aquelas que definem esse modelo!

E assim sendo, há como saber qual a taxa de juros compostos desta operação? Sim, e sem qualquer demora. Diremos que, para este exemplo:

Æ Taxa = 50/1000 = 5/100 = 5% ao período.

Que período é esse? É o mesmo período do intervalo de tempo entre as parcelas de

R$50,0. Ou seja, se as parcelas de R$50 são mensais, a taxa é 5% ao mês; se as parcelas de R$50 são trimestrais, a taxa é 5% ao trimestre; se as parcelas de R$50 são anuais, a taxa é 5% ao ano. E assim por diante!

Mas, professor, e não faz diferença o número de parcelas menores de R$50? Não! Não faz diferença nenhuma! Podem ser dez, podem ser quinze, podem ser duzentas! Não interessa! A taxa será sempre a mesma: 5% ao período.

Que maravilha!

Entendido como se descobre a taxa composta de um empréstimo americano? Pois bem! Vamos aprofundar um pouco agora! E se a situação fosse a seguinte:

Um sujeito pegou uma quantia qualquer hoje emprestada. Não conhecemos o valor do empréstimo. Vamos chamá-lo de X. O fato é que a devolução se fará da seguinte forma: por meio de quinze parcelas mensais de R$50,0 e, na data da última parcela de R$50, devolverá também uma quantia de R$1000.

O enunciado dirá agora que a taxa da operação é de juros compostos, e é de 8% ao mês. E pergunta: qual o valor que foi tomado emprestado?

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X1.0,0
50, 50, 50, 50, 50, 50, 50,

O desenho da questão será o seguinte:

O que faremos? Pensaremos!

Vejam que o desenho acima está quase igual ao do empréstimo americano! Concordam?

Para que estivéssemos diante do empréstimo americano, bastaria que o X fosse igual a R$1000.

Todos acompanhando o raciocínio?

Pois bem! O que vamos fazer é imaginar que aquele X vale R$1000, e que estamos com o modelo do empréstimo americano.

(Reparem que a taxa é mensal porque as parcelas de R$50 são mensais!) Tudo bem até aqui?

Vamos lá: se o X fosse R$1000, estaríamos com o empréstimo americano e a taxa seria 5% ao mês. Essa é uma taxa padrão, para efeito de análise comparativa!

Mas a taxa da operação não é igual a 5% ao mês. A questão disse que a taxa deste empréstimo é de 8% ao mês!

Com isso, concluímos, de antemão, que o valor do X não pode ser igual a R$1000. (Só seria R$1000 se a taxa fosse a do empréstimo americano, que é de 5%a.m.).

O segundo passo vai ser o seguinte: descobrir se o X será maior que R$1000, ou menor que R$1000.

O que vocês acham?

É muito simples: para chegar ao X nós teríamos que projetar todas as parcelas de devolução para a data zero. Ou seja, projetaríamos todo o desenho para uma data anterior! Quanto estamos buscando um resultado anterior, o entendimento da taxa será sempre o seguinte:

X1.0,0
50, 50, 50, 50, 50, 50, 50,

Æ Aumentando-se a taxa, diminui o X; e Æ Diminuindo-se a taxa, aumenta o X. Dito isto, retomemos o nosso exemplo:

O raciocínio completo será o seguinte: Æ Se a taxa fosse de 5%a.m., o valor do X seria R$1000; w.pontodosconcursos.com.br 4

Æ Se a taxa é maior que 5%a.m., o X é menor que R$1000; Æ Se a taxa é menor que 5%a.m., o X é maior que R$1000.

Neste caso, de antemão, mesmo sem fazer contas mais demoradas, já podemos garantir uma coisa: a taxa de juros compostos do exemplo acima será, necessariamente, menor que R$100,0.

Vejamos alguns exemplos da nossa lista de questões:

85. João, estando em dificuldades financeiras, pegou emprestado hoje a quantia de

R$1.0,0. A devolução se fez por meio de doze parcelas mensais e iguais a R$50,0 cada – a primeira delas ao final do primeiro mês – e mais um pagamento de R$1.0,0 na mesma data da última parcela de R$50,0. Calcule a taxa de juros compostos mensal desta operação.

1.0,01.0,0
50, 50, 50, 50, 50,

Sol.: Façamos o desenho da questão:

Exemplo já resolvido! Diga lá: esse é o empréstimo americano? Sim! Logo, sem mais demora, diremos que: Æ i=50/1000=5/100=5%a.m. Æ Resposta!

86João, estando em dificuldades financeiras, pegou emprestado hoje a quantia de R$90,0.

A devolução se fez por meio de doze parcelas mensais e iguais a R$50,0 cada – a primeira delas ao final do primeiro mês – e mais um pagamento de R$1.0,0 na mesma data da última parcela de R$50,0. Acerca da taxa de juros compostos mensal desta operação, diremos que ela é: a) Igual a 3% b) Igual a 4% c) Menor que 5% d) Igual a 5% e) Maior que 5%

Sol.: Façamos o desenho de novo! Teremos:

90,01.0,0
50, 50, 50, 50, 50,

Analisemos: estamos diante do empréstimo americano? Não! Mas estamos quase com este modelo! Quase! Para estarmos com o empréstimo americano, bastaria que os R$900 fossem R$1000. Concordam? w.pontodosconcursos.com.br 5

Assim, pensaremos: se estivéssemos com o modelo americano, a taxa seria de 5%a.m. (=50/1000).

Mas o valor emprestado não foi R$100. Foi um valor menor: R$90,0. Conclusão: a taxa composta desta operação não pode ser igual a 5%a.m. Próximo passo: vamos descobrir se a taxa é maior ou menor que 5%. Ora, se fosse 5%, o X seria R$1000. Mas: Æ Se a taxa é maior que 5%a.m., o X é menor que R$1000; Æ Se a taxa é menor que 5%a.m., o X é maior que R$1000.

Daí, sem maiores esforços, concluiremos que a taxa, para este exemplo, será maior que 5%a.m. Æ Resposta!

# Questão de País, Bônus e Cupons:

Uma vez conhecendo a teoria do empréstimo americano, vamos agora passar ao estudo de um tipo de enunciado muito cobrado em provas recentes de concurso. Uma que fala em país, bônus e cupons. Vejamos uma destas questões:

(AFRF 2002.2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1.0,0 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60,0 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1.0,0 b) US$ 953,53 c) US$ 930,0 d) US$ 920,57 e) US$ 860,0

Provavelmente, ao concluir a leitura do enunciado acima, o primeiro impulso seja o de abandonar esta questão, na hora da prova, e passar para a seguinte. Certo? (Pelo menos, comigo, foi assim...)! Isso porque este enunciado era, até então, uma novidade. Porém, uma vez que passemos a conhecer a linguagem apresentada, tudo fica fácil.

Estamos, por incrível que pareça, diante de uma situação de empréstimo. Só que agora quem está pegando dinheiro emprestado não é mais o João, e sim um país! Como é que o país faz para angariar recursos? (Ou seja, como o país faz para pegar dinheiro emprestado?). Ele, o país, oferece títulos de sua emissão, no mercado internacional.

Imagine que eu seja o país. Daí, eu saio com a mão cheia de títulos, todos emitidos por mim (país). E eu chego na sua frente e lhe pergunto: Fulano, você quer adquirir esse meu título? Você, obviamente, vai me perguntar por quanto estou oferecendo. E eu, país, lhe direi: estou oferecendo por mil dólares, por exemplo.

Esse valor, pelo qual o país oferece o título, é o chamado Preço de Lançamento do título! É o preço pelo qual o país está lançando (oferecendo) o título no mercado internacional.

Observem que todo título apresenta um valor escrito em sua face. É o valor de face, ou valor nominal do título. Isso não é novidade para nós! w.pontodosconcursos.com.br 6

Pois bem! Se eu, o país, estou em minha mão com um título de valor de face mil dólares, e eu lhe ofereço este título exatamente pelos mil dólares, ou seja, pelo próprio valor nominal, eu estarei lançando o título sem ágio e nem deságio!

Repararam?

Agora, se o título tem valor nominal de mil dólares, e eu lho oferecer (gostaram do lho?) por U$1.20,0, o que estará havendo? Estará havendo um ágio de 20 dólares no lançamento deste título.

Mas, se o título tem valor de face mil dólares, e oferecê-lo por U$90,0, neste caso estará havendo um deságio no lançamento do título!

Ficou bem claro o que é esse negócio de ágio e deságio. Representam, respectivamente, um valor a maior ou a menor, no preço de lançamento, em relação ao valor nominal (valor de face) de um título!

Pois bem! Na verdade, quando o país lhe oferece o título, ele não está propondo uma venda, e sim um empréstimo! Aquele valor (preço de lançamento) que você pagou ao país em troca do título será devolvido a você pelo país!

Perceberam que é um empréstimo, e não uma compra?

E como é que o país vai devolver o que havia tomado emprestado? Vai devolver por meio de parcelas menores e periódicas, chamadas normalmente de cupons, e na data em que pagar o último cupom, devolverá juntamente com ele, o valor nominal do título!

Esta é, portanto, a tradução do enunciado: Ilustrando-se um empréstimo com as características acima, teremos:

Cupons

Pronto! Já matamos a charada!

Só mais uma coisa: o enunciado costuma chamar o título de Bônus. Poderia chamar só de título, mesmo.

Enfim, estamos diante de uma situação de empréstimo e devolução, que muitíssimo se assemelha à do empréstimo americano. Podemos, assim, lançar mão do que aprendemos sobre este tipo de empréstimo, para chegar a algumas conclusões prévias, anteriores à resolução em si!

Voltemos ao enunciado apresentado acima. Vamos fazer a sua releitura, para ver se as explicações feitas ajudaram em alguma coisa:

(AFRF 2002.2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1.0,0 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60,0 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1.0,0

Preço de Lançamento

Valor Nominal do Título w.pontodosconcursos.com.br 7 b) US$ 953,53 c) US$ 930,0 d) US$ 920,57 e) US$ 860,0

Sol.: Vejam que o enunciado é de uma infelicidade flagrante! A primeira frase, logo, nos leva a pensar que trabalharemos com vários e vários bônus (...uma certa quantidade de bônus...), quando na verdade trabalharemos com um apenas!

Vejam também que o enunciado diz que o título tem “valor nominal de US$1.0,0 cada bônus e com doze cupons semestrais de US$60,0 cada cupom...”.

Percebam que, ao falar nos cupons, já estamos falando na devolução! Mas o enunciado não separa nada! Não há nada nesta leitura que leve a crer que deixamos de falar no empréstimo e passamos a falar da devolução! Vem tudo junto!

Alguém que já é habituado a conhecer essa linguagem de mercado de títulos talvez compreenda esse enunciado facilmente. Mas para nós, reles concurseiros, a coisa teria que ser mais bem explicada! Concordam?

Pois bem! Continuando a leitura, vemos que dois valores foram expressamente fornecidos: o valor dos doze cupons (US$60,0) e o valor nominal do título (US$10,0). De resto, foi dito ainda que o país vai pagar o último cupom juntamente com o valor nominal, ou seja, na mesma data (a última do desenho)!

E, para fechar, disse o enunciado que a taxa da operação é de uma taxa nominal de 14% ao ano, e pergunta qual é o preço de lançamento do título!

Vamos falar sobre essa taxa. Ora, trata-se, conforme disse a questão, de uma taxa nominal. Assim, se formos copiar o nome completo dela, seria: 14% ao ano, com capitalização alguma coisa.

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