Matematica financeira regular 14

Matematica financeira regular 14

(Parte 1 de 4)

CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA – Prof. Sérgio Carvalho w.pontodosconcursos.com.br

AULA 13 – SISTEMAS DE AMORTIZACAO & TAXA REAL x TAXA APARENTE

Olá, amigos!

Espero que tenham tido uma entrada de ano muito feliz, e ainda mais que este 2007 seja realmente um ano abençoado para todos nós!

pendentes do nosso último

Iniciaremos esta nossa última aula do Curso, resolvendo algumas questões que ficaram

...Dever de Casa

92. Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.0,0 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.0,0 e nove receitas iguais de R$ 1.0,0 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. a) R$ 2.511,0 d) R$ 2.646,0 b) R$ 0,0 e) R$ 2.873,0 c) R$ 3.617,0

Sol.: Vemos que o enunciado nos veio falar em um fluxo de valores. Ora, já é do nosso conhecimento que esta expressão é também sinônimo de fluxo de caixa ou de fluxo de pagamentos! Dá tudo na mesma!

Aprendemos ainda estas expressões, por si só, revelam-nos que estamos trabalhando no Regime Composto! Lembrados disso?

Pois bem! A questão de fluxo de caixa deve ser, antes de mais nada, desenhada! Fazendo o desenho de acordo com o que está previsto no enunciado, teremos:

1000

Uma vez desenhado, resta-nos saber para qual data o enunciado quer que nós transportemos todos os valores positivos e negativos! E isso foi dito logo no início da questão: “Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores...”.

Ou seja, a nossa data de interesse da questão será a data zero. Essa data de interesse é como se fosse uma data focal, nas questões de equivalência de capitais! A rigor, uma questão de fluxo de caixa é uma questão de Equivalência, em que se pretende calcular uma única parcela, que é equivalente a todas as outras que formam o fluxo de caixa.

Demos logo uma rápida olhada nas parcelas que compõem os valores positivos de fluxo:

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O que vemos aí? São parcelas de mesmo valor? Sim! Estão dispostas em intervalos de tempo iguais? Sim! Estão sujeitas a uma taxa de juros compostos? Sim novamente! E a questão solicita o valor atual das parcelas! Não resta dúvida que devemos aplicar a fórmula do Valor Atual de Rendas Certas!

Refaremos o desenho colocando na data zero o valor X que representa o valor atual na data zero das nove parcelas de 1.0,0, e esqueceremos, por enquanto, das parcelas negativas.

X (valor atual das parcelas positivas) 1000

Logo percebemos que o desenho acima não está igual ao do modelo do Valor Atual de Rendas Certas. Concordam? No modelo, a primeira parcela está um período após o valor atual.

Portanto, vamos imaginar uma parcela de 1.0,0 no momento um, para que o desenho acima fique igual ao do modelo. Desenharemos esta parcela fictícia em preto. O nosso desenho passa a ser o seguinte:

T (valor atual das parcelas positivas) 1000

Após acrescentar a parcela fictícia, o desenho ficou igual ao modelo, então podemos trocar o X pelo T.

A fórmula original do Valor Atual de Rendas Certas é a seguinte: T= P . an¬i

Porém, como estamos usando o artifício de criar parcelas fictícias, aplicaremos a seguinte variação de nossa fórmula:

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T = P . ( aTODAS¬i – aFICTÍCIAS¬i ) Substituindo os dados na fórmula, teremos que:

Recorrendo a tabela do fator A de rendas certas, obteremos:

Daí:T = 1000 . ( 8,530203 – 0,970874 )
E: T = 7.559,3(Valor Atual das parcelas positivas!)

Passaremos a calcular o valor atual na data zero das parcelas negativas. O desenho inicial somente com as parcelas negativas é o seguinte:

A parcela de 2.0,0 já se encontra na data zero, então para obter o valor atual das parcelas negativas basta calcular o valor atual da parcela de 3.0,0 na data zero, e a este resultado somar o valor de 2000.

Podemos calcular o valor atual da parcela de 3.0,0 de duas maneiras: 1ª) aplicar a fórmula de desconto composto racional; e 2ª) aplicar a fórmula do valor atual de rendas certas. Podemos utilizar esta última maneira porque a fórmula do valor atual de rendas certas não proíbe o seu uso para n= 1 (uma parcela).

Optaremos pela fórmula do valor atual de rendas certas!

T= P . an¬i

Onde: T = o valor atual na data zero da parcela de 3000. P = 3000 n=1 (uma parcela um mês após o valor atual) i=3% a.m.

Substituindo estes valores: T= 3000 . a1¬3%

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4 Æ E: T= 2912,62 (valor atual da parcela de 3000)

Portanto, o valor atual das parcelas negativas na data zero será dado por: valor atual das parcelas negativas= 2000 + 2912,62 = 4912,62

Para se obter a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o fluxo de valores, conforme o pedido da questão, faremos uma subtração dos resultados dos valores atuais das parcelas positivas e negativas :

valor atual das parcelas positivas = 7.559,3 valor atual das parcelas negativas = 4912,62

93. Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos.

Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200

Sol.: O negócio aqui é desenhar a questão! O enunciado fala que essas parcelas estarão dispostas no fim de cada ano. Assim, teremos:

200200 200 200 200
400,400 400 400

Só para efeitos didáticos, colocamos as setas para baixo!

A questão diz que a taxa é composta, e quer que descubramos o valor atual desse “fluxo de caixa” na data zero, que corresponde ao início do primeiro ano. Vamos ver se é possível criar tracejados e dividir essas parcelas em diferentes níveis? Comecemos com um tracejado no valor de 200, que é a menor parcela. Teremos:

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200200 200 200 200
400,400 400 400

Agora façamos mais um tracejado, pegando as parcelas de R$400. Teremos: X

200200 200 200 200
400,400 400 400

Pronto! Criamos dois níveis de parcelas: Æ 1º nível) 10 parcelas (n=10) de R$200 cada; 2º nível) 4 parcelas (n=4) de R$200 também!

E será que é só isso? Será que esses dois níveis já abrangem todas as parcelas? Basta olhar para o desenho e responder: Não! A última parcela, no valor original de R$1200 só foi tocada pelo primeiro tracejado. Dessa forma, após trabalharmos com as parcelas do primeiro e segundo níveis, ainda teremos que pegar o “restante” da última parcela, que vale exatamente R$1000, e transportá-lo para a data zero!

Por que a última parcela que era de R$1200 vai ser trabalhada como se fosse apenas de R$1000? Porque uma parte dela (R$200) já está sendo trabalhada no primeiro nível.

As parcelas que compõem ambos os níveis, conforme já sabemos, serão trabalhadas em operações de Amortização. Chamando T’ o resultado do primeiro nível, e T’’ o resultado do segundo, teremos:

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Æ T’ = P . an¬iT’ = 200 . a10¬10%
T’’ = P . an¬iT’’ = 200 . a4¬10%

6 Fazendo logo a soma de T’ e T’’, teremos que:

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