Teoria da Resposta ao Item: Conceitos e Aplicações

Teoria da Resposta ao Item: Conceitos e Aplicações

(Parte 7 de 8)

onde na ultima igualdade usamos que a distribuicao de Uji so depende de ζ

= Puji ji Q

Portanto,

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Puji ji Q

Segue que a log-verossimilhanca pode ser escrita como

Os Estimadores de Maxima verossimilhanca (EMV) de ζi, i = 1,· ,I, sao os valores que maximizam a verossimilhanca, ou equivalente, sao as solucoes da equacao

Notemos que uji ∂(log Pji)

uji 1

Pji

Qji uji 1

Qji

{ uji − Pji

PjiQji

Por conveniencia, consideremos a seguinte ponderacao:

Wji = jiQ∗ ji

PjiQji , (3.5)

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3.2 Estimacao dos parametros dos itens 3 onde

Com isso, podemos reescrever a Equacao (3.4) como

(uji − Pji) Wji jiQ∗ ji

Para obter as equacoes de estimacao, precisaremos das seguintes expressoes:

∂Pji

∂Pji

∂Pji

Para o parametro de discriminacao, temos de (3.7) e (3.8) que

) Wji jiQ∗ ji

jiQ∗ ji

Wji jiQ∗ ji

Para o parametro de dificuldade, temos de (3.7) e (3.9) que Andrade, Tavares & Valle SINAPE 2000

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) Wji jiQ∗ ji jiQ∗ ji

Wji jiQ∗ ji

Para o parametro de acerto ao acaso, temos de (3.7) e (3.10) que

) Wji jiQ∗ ji

Wji jiQ∗ ji

(uji − Pji)Wji

P∗ ji

Em resumo, as equacoes de estimacao para os parametros ai, bi e ci sao, respectivamente,

(uji − Pji)Wji

P∗ ji

Embora as constantes antepostas aos somatorios em (3.14) e (3.15) possam (em princıpio) ser eliminadas nas apresentacao das referidas equacoes, vamos mante-las por todo o restante do texto.

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3.2 Estimacao dos parametros dos itens 35

Agrupamento das habilidades

Um procedimento alternativo de estimacao e considerar as habilidades agrupadas em q categorias. Isso e possıvel porque estamos considerando as habilidades conhecidas, logo podemos agrupa-las definindo um conjunto de q intervalos cujos valores centrais (ou alguma medida central dessas habilidades) supor que todos os indivıduos pertencentes a categoria k tem habilidade θk, o que pode reduzir bastante a exigencia computacional tornando este metodo mais atrativo.

De forma geral, consideremos que q grupos de fki, k = 1,· ,q, indivıduos com habilidades conhecidas θk sao selecionados ao acaso da populacao Π em estudo para responder ao item i. Seja rki o numero de indivıduos do grupo k que responderam corretamente ao item i. Vale notar que em algumas situacoes os mesmos grupos de indivıduos responderao a todos os itens, e portanto poderemos representar as quantidades fki e rki por fk e rk, respectivamente. Ocorre que pela independencia local, podemos tratar da estimacao de cada item individualmente e, por isso, e conveniente usar um ındice relativo ao item a ser estimado. Entretanto, o motivo principal para o uso desta notacao esta no fato de que, na pratica, e comum que alguns indivıduos nao respondam (ou anulem de outra forma) alguns itens. Isso possibilita que um grupo com nk indivıduos apresente nki respostas ao item i e nkl ao item l com nki 6= nkl. Dessa forma, mesmo considerando (em princıpio) que todos os indivıduos respondam a todos os itens, para tornar o tratamento mais geral adotaremos o ındice i nas quantidadas fki e rki. Pela independencia entre as respostas dos diferentes indivıduos, podemos e Pki, onde Pki representa o ML3, com θj substituıda por θk. De acordo com isso, a verossimilhanca sera

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