Construções Geometrica - Aula 1

Construções Geometrica - Aula 1

(Parte 1 de 3)

Aula 1 { Apresenta c~ao do Curso

Objetivos

Conhecer um breve hist orico do assunto. Conhecer os instrumentos fundamentais para constru c~oes geom etricas, bem como sua manunten c~ao e manipula c~ao.

Objetivos gerais

Constru c~oes Geom etricas tem por nalidade representar as guras planas e resolver, utilizando r egua e compasso, os problemas de Geometria B asica. A r egua e usada para tra car retas, semi-retas e segmentos de reta e o compasso descreve circunferencias e arcos de circunferencias. Dizemos que a solu c~ao gr a ca de um problema e puramente geom etrica, quando nela utilizamos, como instrumentos de desenho, apenas r egua e compasso.

As constru c~oes contidas neste trabalho foram, em geral, justi cadas e nas constru c~oes aproximadas calculamos os erros cometidos, pois devemos saber o grau de precis~ao dessas constru c~oes.

Um Breve Hist orico

No Antigo Egito, os sacerdotes eram os homens mais poderosos do pa s.

Eram eles que xavam os dias de festa e que exigiam a constru c~ao dos templos. Foram eles tamb em que exigiram a constru c~ao das majestosas piramides que serviam de t umulos para os fara os.

Para realizar constru c~oes t~ao gigantescas, os arquitetos daquela epoca tinham que saber como fazer a planta dessas obras, como talhar, mover e colocar nos seus lugares enormes blocos de pedra.

Para saber tudo isso, os arquitetos das piramides realizaram diversas descobertas sobre a \arte de medir", isto e, sobre o que n os chamamos atualmente de Geometria.

Mas, n~ao foi apenas no Egito que a Geometria se desenvolveu. A cerca de mil quilometros a leste do Egito, entre os rios Tigre e Eufrates, e um pouco al em, oresceu a civiliza c~ao mesopotamica, que muito se assemelhava a eg pcia. L a, tamb em, os sacerdotes continuaram a estudar a Geometria, fazendo maravilhosos progressos no campo da Astronomia. E, assim, come cou o processo de desenvolvimento da Geometria.

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Apresenta c~ao do Curso

Na Gr ecia, a Matem atica tamb em se desenvolveu bastante. Segundo a tradi c~ao grega, foi Tales de Mileto quem, no in cio do sexto s eculo a.C. trouxe a Matem atica do Egito para a Gr ecia, e quem principiou a dar a Matem atica a forma que ela sempre teve, desde a Antig uidade grega. Nosso conhecimento e estima da matem atica grega est~ao baseados principalmente nos trabalhos de Euclides, Arquimedes e Apolonio. Estes tres matem aticos viveram e trabalharam em um per odo de somente uns cem anos: Euclides em torno de 300 a.C.; Arquimedes, de mais ou menos 287 a 212 a.C. e Apolonio, em torno de 200 a.C.. Isso foi bem ap os a in uencia pol tica grega ter entrado em decadencia ( Alexandre Magno morreu em 323 a.C.), e mesmo depois que a literatura e a arte gregas tinham atingido seu zenite. Conv em ainda ressaltar que nenhum dos tres viveu na Gr ecia continental. Euclides e Apolonio trabalharam em Alexandria, Apolonio tendo nascido em Perga, na Asia Menor, enquanto que Arquimedes viveu na colonia grega de Siracusa, na Sic lia, e foi morto em 212 a.C. durante o saque desta cidade pelos romanos.

Um dos problemas mais importantes e dif ceis para os historiadores da

Matem atica grega e a reconstru c~ao do que aconteceu antes de Euclides; com exce c~ao de um pequeno trabalho sobre Astronomia de Autolico.

Os Elementos de Euclides s~ao, portanto, o mais antigo texto matem atico grego que nos chega completo, e a natureza deste trabalho impressionante mostra claramente porque isso aconteceu. Euclides conseguiu incorporar, neste unico trabalho, de forma bem disposta e apresentada, praticamente todo o conhecimento matem atico acumulado por seus antecessores. Os Elementos transformaram os escritos dos matem aticos anteriores em assuntos de simples interesse hist orico, e desta maneira n~ao foram copiados e assim n~ao foram preservados para n os. E caracter stico que um outro trabalho de Euclides, sobre se c~oes conicas, tenha sofrido destino semelhante; com efeito, foi tornado obsoleto pelo tratado brilhante de Apolonio.

Os Elementos de Euclides consistem de treze livros. Nestes treze livros, Euclides incorpora todo o conhecimento matem atico acumulado em sua epoca, com algumas exce c~oes not aveis, como as se c~oes conicas e a geometria esf erica, e possivelmente algumas descobertas pr oprias. Seu grande feito e a apresenta c~ao do material sob uma bela forma sistem atica e seu tratamento como um todo organico. No livro I ele apresenta cinco postulados e cinco axiomas, que formam as hip oteses sobre as quais repousa a teoria.

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Os postulados e os axiomas s~ao:

I) Postulados

Postulemos o seguinte:

1. E poss vel tra car uma linha reta de um ponto qualquer a um ponto qualquer.

2. E poss vel prolongar arbitrariamente um segmento de reta.

4. Dois angulos retos quaisquer s~ao iguais entre si.

5. Se uma reta, interceptando duas outras retas forma angulos interiores do mesmo lado menores do que angulos retos, ent~ao as duas retas , caso prolongadas inde nidamente, se encontram do mesmo lado em que os angulos s~ao menores do que dois angulos retos.

I) Axiomas

1. Grandezas iguais a uma mesma grandeza s~ao iguais entre si.

2. Se a grandezas iguais forem adicionadas grandezas iguais, as somas ser~ao iguais.

3. Se grandezas iguais forem subtra das de grandezas iguais, os resultados ser~ao iguais.

4. Grandezas que coincidem entre si s~ao iguais. 5. O todo e maior do que suas partes.

Os postulados s~ao as hip oteses b asicas relativas ao ramo espec co do saber, neste caso a geometria plana, enquanto os axiomas s~ao aceitos em todos os campos. Hoje, a maioria dos matem aticos n~ao veem mais a necessidade de tal distin c~ao, mas chamam ambos os tipos de hip oteses de axiomas ou postulados.

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Apresenta c~ao do Curso

Quanto as constru c~oes geom etricas com r egua e compasso, elas surgiram no s eculo 5 a.C. e tiveram grande importancia no desenvolvimento da Matem atica grega. Nesse per odo, nasceu uma nova algebra, completamente geom etrica, quando a palavra resolver era sinonimo de construir. Nessa algebra, por exemplo, a equa c~ao n~ao tinha signi cado porque o lado direito era associado a area de um retangulo e o lado esquerdo a um segmento de reta, e um segmento n~ao pode ser igual a uma area. Entretanto, resolver a equa c~ao ax = bc signi - cava encontrar a altura x de base a que tivesse a mesma area de um retangulo de dimens~oes b e c. Esse problema era resolvido da seguinte forma, na Gr ecia Antiga:

Em primeiro lugar, constr oi-se o retangulo OABC com AO = a e OC = b.

Figura 1: Resolu c~ao de ax = bc.

Sobre o lado AO toma-se um ponto D tal que AD = c ( no caso de c > a, D est a no prolongamento do segmento AO).

Tra ca-se DE paralelo a OC que intercepta o prolongamento de AC em E. O segmento DE e a solu c~ao do problema.

Figura 3: Resolu c~ao de ax = bc.

Justi cativa: Os triangulos AOC e ADE s~ao semelhantes, visto que s~ao triangulos retangulos que possuem um angulo agudo congruente, a saber

O AC e D AE. Portanto AOAD = OC DE , ou seja, bc = ax.

Para executar tal constru c~ao, foi necess ario o tra cado de segmentos de retas paralelos e perpendiculares, que s~ao os primeiros problemas que precisamos resolver.

Constru c~oes Euclidianas

At e bem pouco tempo atr as, o nome de Euclides e a palavra geometria eram sinonimos. Foi Euclides, o primeiro a escrever as bases axiom aticas da Matem atica. Ele o fez t~ao bem que praticamente descartou todos os trabalhos feitos anteriormente. Achamos que Euclides estudou em Atenas e foi um membro do famoso Museu/Livraria em Alexandria. Alexandria se tornou a cidade mais importante do mundo ocidental ap os a morte de Alexandre, o Grande; e permaneceu com esta importancia at e C esar de Roma dominar a cidade de Cle opatra. Mesmo com o crescimento de Roma, Alexandria continuou sendo a capital intelectual do Imp erio. O poder de Alexandria se estendeu por cerca de mil anos, desde a epoca de Euclides em 300 a.C. at e ser dominada pelos arabes em 641 d.C.. Atualmente localizada no Egito, a cidade de Alexandria era grega e seu nome completo era Alexandria-pr oxima- Egito.

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Apresenta c~ao do Curso

O compasso e o Teorema de Mohr-Mascheroni

Problema de Napole~ao: Encontrar quatro pontos P,Q,R e S que dividem a circunferencia de centro O em quatro arcos congruentes somente utilizando o compasso.

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