Construções Geometrica - Aula 16

Construções Geometrica - Aula 16

Objetivo Efetuar a homotetia dos principais elementos de constru c~ao geom etrica.

No estudo de homotetia precisamos de uma no c~ao de orienta c~ao de um segmento. Um segmento AB pode ser orientado em dois sentidos: de A para B ou de B para A, que denotaremos respectivamente por −! AB ou ! BA.

Se numa mesma reta forem dados dois segmentos AB e CD de compri- mentos a e c, respectivamente, ent~ao a raz~ao entre os segmentos orientados ! AB e ! CD ser a:

AB e ! CD tiverem o mesmo sentido sobre a reta;

AB e ! CD tiverem o sentidos opostos sobre a reta.

A B C D a c c = +

A B C D a c c = -

Figura 73

Multiplica c~ao de um ponto

De ni c~ao: Sejam dados dois pontos A e O sobre uma reta r e um n umero real 6= 0. O ponto B 2 r e a multiplica c~ao de A por , com

centro em O, se e somente se,

Exemplos: Multiplicar o ponto A por com centro em O nos seguintes casos:

Dados O A

Soluçªo

Figura 74 49 CEDERJ

Dados

O A 2u

AB Soluçªo O

Figura 75

Note que os exemplos anteriores s~ao solucionados utilizando somente o Teorema de Tales. No caso de multiplica c~ao por um n umero inteiro a solu c~ao pode ser obtida sem a utiliza c~ao do Teorema de Tales, pois basta repetir o segmento quantas vezes representar o inteiro no mesmo sentido (inteiro positivo) ou no sentido oposto (inteiro negativo).

Figura 76

As maiores di culdades encontradas na multiplic~ao de um ponto A com centro em O acontecem quando consideramos os valores reais irracionais. Em alguns casos a multiplica c~ao se torna imposs vel, por exemplo = , visto que e imposs vel obte-lo de maneira exata utilizando r egua e compasso. Ou- tros poss veis, como por exemplo = p 2, necessita de constru c~oes auxiliares.

Vejamos o seguinte exemplo:

Sendo dados o centro O e ponto A, indicando por a a medida do seg- mento OA, devemos obter inicialmente um segmento de medida ap 2. Este segmento pode ser obtido pela hipotenusa de um triangulo retangulo is osceles

CEDERJ 50 com catetos de medida a. Dessa forma, basta tomar o ponto B no prolonga- mento do segmento orientado −!

OA de medida ap 2.

Dados

O A a 2

Soluçªo

Figura 7

Exerc cios 1. Multiplique o ponto A por nos seguintes casos:

O A Figura 78

O A Figura 79

O A Figura 80

51 CEDERJ

Vamos explicar como se obt em o centro de homotetia considerando m

C m

Figura 81

Tomando em uma reta qualquer que passe por B um ponto C tal que BC = m, unindo o centro O e o ponto C e se tra carmos por A uma reta paralela a OC, esta reta interceptar a o segmento CB no ponto D tal que CD = n, pois

n = CB

Podemos obter o centro de homotetia da seguinte forma:

• Construa a semi-reta de origem em B que passa por A.

Pelo ponto B trace outra semi-reta. E nessa semi-reta marque o ponto C tal que BC = m.

Marque o ponto D no segmento CB tal que CD = n.

Una os pontos D e A por uma reta r.

Pelo ponto C trace uma reta paralela a r interceptando a semireta de origem em B que passa por A no ponto O que e o centro de homotetia.

Siga o mesmo racioc nio para os outros casos de raz~ao de homotetia. CEDERJ 52

2. Dados os pontos A e B distintos, obtenha o ponto O na reta determinada por esses pontos de tal forma que B seja obtido pela multiplica c~ao de A por com centro em O.

Figura 82

Figura 83

Figura 84

As aplica c~oes de homotetia em constru c~oes geom etricas s~ao baseadas na seguinte propriedade:

Propriedade 1: Se multiplicarmos dois pontos distintos A e B por um mesmo n umero real 6= 0 com o mesmo centro O obtemos dois pontos

A a> 0

Figura 85

Note pela Figura 85 que independente do sinal de temos

OB = j j, e assim, os triangulos AOB e A0OB0 s~ao semelhantes, e conseq uentemente A0B0==AB e A0B0

53 CEDERJ

Figuras Homot eticas

De ni c~ao: Sejam dados uma gura F e um ponto O. Consideremos a gura F′ que reune todos os pontos que s~ao resultados da multiplica c~ao dos pontos de F por um mesmo valor real 6= 0 relativos ao centro O.

1. As guras F e F0 s~ao chamadas de guras Figuras Homot eticas; 2. o ponto O e chamado de Centro de Homotetia; 3. o valor e chamado de Raz~ao de Homotetia;

4. a reta que cont em o ponto e o centro de homotetia e chamado de Reta de Homotetia;

5. se > 0, ent~ao dizemos que a homotetia e Direta; 6. se < 0, ent~ao dizemos que a homotetia e Inversa;

7. se um ponto A 2 F se transforma pela homotetia em um ponto A0 2 F0, ent~ao os pontos A e A0 s~ao chamados de Pontos Hom ologos.

Figura 86

Figura 87

(1) \Linear" = \segue em uma linha reta". Os elementos lineares s~ao os elementos retil neos obtidos por pontos da gura dada.

No caso de um pol gono, por exemplo, os lados, a diagonais e as retas suportes dos lados ou das diagonais s~ao elementos retil neos do pol gono. Uma conseq uencia imediata da Propriedade 1 de homotetia e a seguinte propriedade que se refere a elementos lineares(1) de guras homot eticas.

CEDERJ 54

Propriedade 2 Duas guras homot eticas s~ao semelhantes e apresentam seus elementos lineares paralelos.

Alguns autores no passado costumavam denominar as guras homot eticas como figuras semelhantes semelhantemente colocadas.

O in cio dos estudos de guras semelhantes e atribuido a Tales de Mileto( 600 a.C.). O estudo das guras semelhantes semelhantemente colocadas foi feita, pela primeira vez, por Poncelet, em 1822. A denomina c~ao guras homot eticas foi dada por Chasles, em 1827.

Multiplica c~ao da reta

Pela propriedade 2 a multiplica c~ao de uma reta e um outra reta paralela, pois a reta e uma gura linear. Neste caso, para se obter a multiplica c~ao de uma reta basta ent~ao multiplicarmos um unico ponto desta reta.

2 com centro de homotetia O 62 r.

Para efetuarmos a multiplica c~ao podemos seguir os seguintes passos:

1.1 Escolha um ponto A 2 r. Una o ponto A ao centro de homotetia O. Denomine a reta obtida por s;

1.2 Trace uma reta t pelo ponto O distinta de s e construa seguidamente, ap os o ponto O sobre a reta t, tres segmentos de igual comprimento.

Denomine os pontos obtidos em t por O1, O2 e O3;

1.3 Trace a reta u pelos pontos O2 e A e trace a reta v pelo ponto O3 paralela a reta u;

1.4 As retas v e s se interceptam no ponto A0 que e a multiplica c~ao de A

2 com centro emO;

1.5 Pelo ponto A0 trace a reta r0 paralela a r.

A reta r0 e a multiplica c~ao de r por 3

2 com centro em O.

5 CEDERJ v u

Justi cativa: Observe que OO3

2 por constru c~ao. Como O2A e O3A′ s~ao paralelos e o angulo em O e comum aos triangulos O2OA e O3OA0, ent~ao tais triangulos s~ao semelhantes. Neste caso, OA0

de A por 3

2 com centro em O. Pela propriedade 2, r0 que passa por A0 paralela a r, e a multiplica c~ao da reta r por 3

2 com centro em O.

• No problema anterior a multiplica c~ao da reta r por 3

2 resultou em afastamento da reta em rela c~ao ao centro de homotetia, isto acontece porque a raz~ao de homotetia e maior que 1. Se a raz~ao e positiva e menor que 1 o resultado da multiplica c~ao se aproxima do centro.

Se a raz~ao e negativa o centro de homotetia aparece entre a reta dada e o resultado da multiplica c~ao.

0 << 1m n

m n

< 0m n

Figura 90 CEDERJ 56

• Obtida a multiplica c~ao de uma reta podemos obter imediatamente a multiplica c~ao de um ponto qualquer da reta, basta conduzi-lo por sua reta de homotetia ao resultado da multiplica c~ao da reta dada.

Figura 91

3. Para os itens a seguir multiplique a reta r pela raz~ao com centro de homotetia O.

O r

Figura 92

O r

Figura 93 57 CEDERJ

O r

O r

Figura 95

m r

Figura 96

4. Encontre o lugar geom etrico dos centros de homotetia para os quais a reta r′ e o resultado da multiplica c~ao de r por nos seguintes itens:

Figura 97 CEDERJ 58

Figura 98

Figura 9

Figura 100 59 CEDERJ

Multiplica c~ao da circunferencia

Pela propriedade 2 os raios hom ologos de duas circunferencias s~ao paralelos. Neste caso, para multiplicarmos uma circunferencia basta multiplicarmos o centro, pois a extremidade do raio pode ser conduzido por sua reta de homotetia. Portanto, a multiplica c~ao de uma circunferencia deve seguir os seguintes procedimentos:

• Trace a reta determinada pelo centro de homotetia O e pelo centro da circunferencia C dada e denomine-a por r.

Trace um outra reta pelo ponto O distinta de r e sobre esta reta construa os segmentos com origem em O de comprimentos m e n que deter- minam a raz~ao de homotetia m n . Denomine as respectivas extremidades

Una os pontos O1 e C por uma reta e denomine-a por s. Trace pelo ponto O2 uma reta s′ paralela a s interceptando a reta r no ponto C0 que ser a o centro da circunferencia homot etica.

A reta s intercepta a circunferencia dada no ponto A. Conduza o ponto A a reta s0 por sua reta de homotetia obtendo o ponto A0. Construa a circunferencia de centro em C0 que passe por A0.

n Razªo =

Figura 101

(1) Duas circunferencias s~ao ditas concentricas se possuem os centros coincidentes.

Observa c~ao: Duas circunferencias s~ao sempre homot eticas. Os centros de homotetia podem ser at e dois, um de homotetia inversa um de homotetia direta. Se as circunferencia s~ao concentricas(1) ent~ao existe apenas o centro de homotetia direta que coincide com o centros das circunferencias. Se as circunferencias n~ao s~ao concentricas e possuem os raios de mesmo comprimento ent~ao existe apenas o centro de homotetia inversa que e o ponto m edio

CEDERJ 60 dos centros. No caso de circunferencias que n~ao s~ao concentricas lembre que os raios homot eticos devem ser paralelos, mas os raios apesar de paralelos podem ter o mesmo sentido ou sentidos opostos determinando respectivamente o centro de homotetia direta e o centro de homotetia inversa. Podemos obter os centros de homotetia da seguinte forma:

• Trace um diametro em cada circunferencia paralelos.

Trace a reta r pelos centros das circunferencias.

Trace uma reta pelas extremidades dos dois diametros que est~ao no mesmo semiplano determinado por r interceptando r em O1.

Trace uma reta pelas extremidades dos dois diametros que est~ao em semiplanos opostos interceptando r em O2.

O ponto O1 e o centro de homotetia direta e o ponto O2 e o centro de homotetia inversa.

Figura 102

1. Se a circunferencia maior n~ao cont em a menor ent~ao o centro de homotetia direta e o ponto de encontro das retas tangentes comuns externas das circunferencias.

Figura 103 61 CEDERJ

2. Se as circunferencias n~ao se interceptam ent~ao o centro de homotetia inversa e o ponto de encontro das retas tangentes comuns internas das circunferencias.

rO C

Figura 104

3. Se as circunferencias s~ao tangentes externas ent~ao o centro de homotetia inversa e o ponto de tangencia.

Figura 105

4. Se as circunferencias s~ao tangentes internas ent~ao o centro de homotetia direta e o ponto de tangencia.

Figura 106 CEDERJ 62

5. Nos itens a seguir multiplique a circunferencia λ por com centro de homotetia O.

Figura 107

Figura 108

Figura 109

Figura 110 63 CEDERJ

Figura 1

6. Obtenha a circunferencia cuja multiplica c~ao pela raz~ao resulta na circunferencia ′ nos seguintes itens.

Figura 112

Figura 113

Figura 114 CEDERJ 64

Figura 115

7. Obtenha os centros de homotetia direta e inversa entre as seguintes circunferencias:

Figura 116 (b)

Figura 117

Resumo

Nesta aula, voce aprendeu... • a aplicar homotetia de ponto, reta e circunferencia.

65 CEDERJ

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