Aula 04 - Estruturas Lógicas

Aula 04 - Estruturas Lógicas

(Parte 3 de 4)

a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.

P1. M → (~I e ~Fr) P2. ~Fr → P P3. P → R P4. ~R ⇒ Como ~R é V , então R é F

Resultado: O valor lógico de R é F.

CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos b) Substitua R por F, e ~R por V P1. M → (~I e ~Fr) P2. ~Fr → P P3. P → F ⇒ para que a condicional seja verdade, P deve ser F P4. V

Resultado: O valor lógico de P é F.

c) Substitua P por F P1. M → (~I e ~Fr) P2. ~Fr → F ⇒ para que a condicional seja verdade, ~Fr deve ser F, daí Fr é V P3. F → F P4. V

Resultado: O valor lógico de Fr é V.

d) Substitua ~Fr por F

P1. M → (~I e F) ⇒ Como um dos termos da conjunção (~I e F) é falso, logo toda a conjunção será falsa. Daí a condicional passa a ser: M → F . Para que esta condicional seja verdadeira, M deve ser F.

P2. F → F P3. F → F P4. V

Resultado: O valor lógico de M é F.

- Em suma:

M é F , significa que é verdade que: “a professora de matemática não foi à reunião”.

I é indeterminado, significa que pode ser falso ou verdade que:“a professora de inglês deu aula”

Fr é V , significa que é verdade que: “a professora de francês deu aula”.

P é F , significa que é verdade que: “a professora de português não foi à reunião”. R é F , significa que é verdade que: “Pelo menos um problema não foi resolvido”.

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2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira.

VF

a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula. Æ falso

VV

b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião. Æ verdade

FV

c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião. Æ falso

FF

d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião. Æ falso

indeterminadoF

e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula. Æ falso

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a B Æ Resposta!

EXEMPLO 05:

(AFC-SFC 2001 ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo, a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento b) Camile e Carla não foram ao casamento c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou e) Vera e Vanderléia não viajaram

Solução:

O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:

P1. Se Vera viajou, então nem Camile nem Carla foram ao casamento. P2. Se Carla não foi ao casamento, então Vanderléia viajou. P3. Se Vanderléia viajou, então o navio afundou. P4. O navio não afundou

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Na 1ª premissa aparece a palavra 'nem'. Vamos reescrever esta premissa tirando tal palavra, mas preservando o sentido:

P1. Se Vera viajou, então Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento.

Agora, vamos traduzir as premissas acima para a forma simbólica, a fim de tornar mais rápida a solução. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:

A = Vera viajou

B = Vanderléia viajou C = Camile foi ao casamento D = Carla foi ao casamento E = o navio afundou

Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:

P1. A → (~C e ~D) P2. ~D → B P3. B → E P4. ~E

Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C, D e E). Vejamos a seqüência abaixo:

a) Começamos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.

P3B → E

P1. A → (~C e ~D) P2. ~D → B P4. ~E ⇒ Como ~E é verdade, logo E é F

Resultado: O valor lógico de E é F.

b) Substitua E por F , e ~E por V P1. A → (~C e ~D) P2. ~D → B

P3. B → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor lógico F

P4. V

Resultado: O valor lógico de B é F.

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23 c) Substitua B por F

P1. A → (~C e ~D)

P2. ~D → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que ~D tenha valor lógico F, daí D é V.

P3F → F

P4. V

Resultado: O valor lógico de D é V.

d) Substitua D por V, e ~D por F

P1. A → (~C e F) ⇒ A conjunção (~C e F) tem um termo F, daí o valor da conjunção também é F . Logo a condicional simplifica para: A → F . Esta condicional deve ser verdadeira, então A é F .

P2. F → F P3. F → F P4. V

Resultado: O valor lógico de A é F.

- Em suma: A é F , significa que é verdade que: “Vera não viajou”

B é F , significa que é verdade que: “Vanderléia não viajou”

D é V , significa que é verdade que: “Carla foi ao casamento”

E é F , significa que é verdade que: “o navio não afundou”

2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira.

Não há necessidade de traduzir as frases das alternativas da questão para linguagem simbólica. Observe como é que descobriremos qual é a alternativa correta.

VF
a) Vera não viajoue Carla não foi ao casamento. Æ falso
indeterminadoF

b) Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento Æ falso

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FV
c) Carla não foi ao casamentoe Vanderléia não viajou Æ falso
FF

24 d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou Æ falso

VV
e) Vera não viajoue Vanderléia não viajou Æ verdade

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a E Æ Resposta!

EXEMPLO 06)

(MPOG 2002 ESAF) Se M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w – 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M+H = 1. Ora, M+H ≠ 1. Logo, a) 2w – 3r = 0 b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r c) M ≠ 2x + 3y d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r e) M = 2w – 3r

Solução:

P1. Se M=2x+3y, então M=4p+3r

O enunciado da questão traz cinco afirmações (premissas), que são descritas abaixo: P2. Se M=4p+3r, então M=2w–3r. P3. M=2x+3y, ou M=0. P4. Se M=0, então M+H=1. P5. M+H≠1

Quando a questão se apresenta desta forma é melhor não substituirmos as proposições simples por letras, mas somente simplificar os conectivos. Assim teremos:

P1. M=2x+3y → M=4p+3r

Observemos os passos de resolução abaixo:

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a seqüência abaixo:

CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos a) Iniciaremos pela 5ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.

P1. (M=2x+3y) Æ (M=4p+3r) P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r) P3. (M=2x+3y) ou (M=0) P4. (M=0) Æ (M+H=1) P5. (M+H≠1) ⇒Todas as premissas são verdadeiras, então (M+H≠1) é V

Resultado: O valor lógico de (M+H≠1) é V b) Substitua (M+H≠1) por V, e (M+H=1) por F P1. (M=2x+3y) Æ (M=4p+3r) P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r) P3. (M=2x+3y) ou (M=0) P4. (M=0) Æ F ⇒ Esta condicional deve ser verdadeira, logo (M=0) é F P5. V

Resultado: O valor lógico de (M=0) é F c) Substitua (M=0) por F P1. (M=2x+3y) Æ (M=4p+3r) P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r)

P3. (M=2x+3y) ou F ⇒ Para que esta disjunção seja verdade, é necessário que (M=2x+3y) tenha valor lógico V.

P4. F Æ F P5. V

Resultado: O valor lógico de (M=2x+3y) é V d) Substitua (M=2x+3y) por V

P1. V Æ (M=4p+3r) ⇒ Para que esta condicional seja verdade, é necessário que (M=4p+3r) tenha valor lógico V.

P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r) P3. V ou F P4. F Æ F P5. V

Resultado: O valor lógico de (M=4p+3r) é V

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26 e) Substitua (M=4p+3r) por V

P1. V Æ V

P2. V Æ (M=2w–3r) ⇒ Para que esta condicional seja verdade, é necessário que (M=2w–3r) tenha valor lógico V.

P3. V ou F P4. F Æ F P5. V

Resultado: O valor lógico de (M=2w–3r) é V

- Em suma: (M+H≠1) é V , significa que é verdade que: “(M+H ≠ 1)”

(M=0) é F, significa que é verdade que: “(M ≠ 0) ”

(M=2x+3y) é V , significa que é verdade que: “(M = 2x+3y) ”

(M=4p+3r) é V , significa que é verdade que: “(M = 4p+3r)”

(M=2w–3r) é V , significa que é verdade que: “(M = 2w–3r)”

2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira.

a) 2w – 3r = 0 Temos que M=2w–3r e que M≠0 , daí 2w–3r ≠ 0 Æ falso

b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r Temos que M=4p+3r e que M=2w–3r , daí

4p+3r = 2w–3r Æ falso c) M ≠ 2x + 3y Æ falso d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r Temos que M=2x+3y e que M=2w–3r , daí

e) M = 2w – 3r Æ verdade

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a E Æ Resposta!

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27 EXEMPLO 07)

(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:

a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês

Solução:

O enunciado da questão traz quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: P1. Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. P2. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. P3. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. P4. Nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.

Na premissa P4 aparece a palavra nem. Vamos reescrever esta premissa de outra maneira (sem mudar o sentido):

P4. Egídio não é espanhol e Isaura não é italiana.

Traduziremos as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:

Fr = Frederico é francês

A = Alberto é alemão P = Pedro é português E = Egídio é espanhol I = Isaura é italiana

Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:

P1. Fr → ~A P2. ou A ou E P3. ~P → Fr P4. ~E e ~I

Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a seqüência abaixo:

CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição composta que usa somente o conectivo “e”, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.

P1. Fr → ~A P2. ou A ou E P3. ~P → Fr

P4. ~E e ~I ⇒ para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem ser verdade, daí ~E deve ser V e ~I deve ser V. Portanto, E é F e I é F.

Resultado: O valor lógico de E é F , e o de I também é F.

b) Substitua E por F (e ~E por V), e I por F (e ~I por V). P1. Fr → ~A P2. ou A ou F ⇒ para que a conjunção exclusiva seja verdade, A deve ser V. P3. ~P → Fr P4. V e V

Resultado: O valor lógico de A é V.

c) Substitua A por V (e ~A por F) P1. Fr → F ⇒ para que a condicional seja verdade, Fr deve ser F. P2. ou V ou F P3. ~P → Fr P4. V e V

Resultado: O valor lógico de Fr é F.

d) Substitua Fr por F P1. F → F P2. ou V ou F P3. ~P → F ⇒ para que a condicional seja verdade, ~P deve ser F, daí P é V. P4. V e V

Resultado: O valor lógico de P é V.

- Em suma:

Fr é F , significa que é verdade que: “Frederico não é francês”. A é V , significa que é verdade que: “Alberto é alemão”

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29 P é V , significa que é verdade que: “Pedro é português”.

E é F , significa que é verdade que: “Egídio não é espanhol”. I é F , significa que é verdade que: “Isaura não é italiana”.

2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificaremos qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira.

VF

a) Pedro é português e Frederico é francês Æ falso

VV

b) Pedro é português e Alberto é alemão Æ verdade

FV

c) Pedro não é português e Alberto é alemão Æ falso

FF

d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês Æ falso

VF

e) Se Alberto é alemão, então Frederico é francês. Æ falso

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a B Æ Resposta!

EXEMPLO 08)

(ACExt TCU 2002 ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

Solução: O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:

P1. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim.

P2. o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. P3. O barão não sorriu.

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30 Para resolver esta questão devemos relembrar alguns conceitos dados na AULA UM:

“p é condição suficiente para q”ou “q é condição necessária para p”.

1) A proposição condicional: “Se p, então q” , pode ser expressa das seguintes maneiras:

2) A proposição bicondicional: “p se e só se q” , pode ser expressa das seguintes maneiras: “p é condição suficiente e necessária para q” ou “q é condição suficiente e necessária para p”.

A partir disto vamos reescrever as premissas utilizando os conectivos do condicional (se...então) e do bicondicional (se e só se):

P1. Se o duque sair do castelo, então o rei vai a caça, e se o rei vai a caça, então a duquesa vai ao jardim.

P2. O conde encontra a princesa se e só se o barão sorrir e se a duquesa vai ao jardim, então o conde encontra a princesa.

P3. O barão não sorriu.

Agora vamos traduzir as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:

D = o duque sair do castelo. R = o rei vai a caça. J = a duquesa vai ao jardim C = o conde encontra a princesa. B = o barão sorrir.

Destarte, as premissas traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:

P1. (D → R) e (R → J) P2. (C ↔ B) e (J → C) P3. ~B

Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo:

1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a sequência abaixo: a) Iniciaremos pela 3ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.

P1. (D → R) e (R → J)

P2. (C ↔ B) e (J → C) P3. ~B Como ~B é V , então B é F

Resultado: O valor lógico de B é F.

b) Substitua B por F, e ~B por V P1. (D → R) e (R → J)

P2. (C ↔ F) e (J → C) para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem ser verdade, daí (C ↔ F) é V , e (J → C) é V. Para que a bicondicional (C ↔ F) seja V, C deve ser F. E para que a condicional (J → C) seja V, J deve ser F, já que C é F.

(Parte 3 de 4)

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