Aula 10 - Analise Combinatoria Parte I

Aula 10 - Analise Combinatoria Parte I

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AULA DEZ: Análise Combinatória (Parte I)

Olá, amigos!

Hoje iniciamos um assunto novo: Análise Combinatória! É este também um dos mais freqüentes nas provas de Raciocínio Lógico, quer elaboradas pela Esaf, quer por outra qualquer mesa elaboradora!

Antes de mais nada, porém, passemos à correção do dever de casa da aula passada.

O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”
O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”
O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”

01. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

Sol.:

- Temos as seguintes informações sobre os três homens: 1) O marceneiro sempre diz a verdade; 2) O pedreiro sempre mente; 3) O ladrão ora mente, ora diz a verdade.

- Os três homens fazem as seguintes declarações: 1) O primeiro homem diz: “Eu sou o ladrão.” 2) O segundo homem diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.” 3) O terceiro homem diz: “Eu sou o ladrão.”

Pela questão, não se sabe quem, entre eles, é quem! Faremos algumas suposições para identificar os homens que fizeram as declarações! Vamos supor a um dos declarantes que ele diz a verdade (ou seja, é o marceneiro), e depois testaremos esta suposição! Assim, devemos realizar três testes, conforme mostramos abaixo: 1º teste: Supor que o primeiro homem que declara é o marceneiro; 2º teste: Supor que o segundo homem que declara é o marceneiro; 3º teste: Supor que o terceiro homem que declara é o marceneiro.

Realizando os testes:

Æ 1º teste: Supor que o primeiro homem que declara é o marceneiro:

O primeiro homem declara: “Eu sou o ladrão”! Portanto, este homem não pode ser o marceneiro, pois o marceneiro sempre diz a verdade, e assim nunca se declararia que é ladrão! Concluímos que o primeiro homem não é o marceneiro!

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Veja que tanto o primeiro homem quanto o terceiro homem declaram a mesma coisa!

Daí, o 3º teste terá um resultado similar ao obtido pelo 1º teste: o marceneiro não pode ser o terceiro homem!

Então, com certeza, o 2º teste terá um resultado positivo, pois foi o único que restou!

Donde concluímos que o segundo homem é o marceneiro!

E como o marceneiro é o segundo homem, então é verdadeira a sua declaração! Daí, obtemos que o primeiro homem diz a verdade! Como o primeiro homem diz a verdade, então ele é o ladrão (não pode ser o pedreiro, pois este sempre mente!). Resta que o terceiro homem é o pedreiro, que sempre mente!

Resposta: alternativa B.

02. (MPOG 2002) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda.

As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

Sol.:

O enunciado traz as seguintes informações: - Há cinco amigas: Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, que são tias ou irmãs de Zilda.

- As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem.

Também, temos as seguintes declarações feitas pelas cinco amigas: 1) Ana diz: Bia é tia de Zilda 2) Bia diz: Cati é irmã de Zilda 3) Cati diz: Dida é irmã de Zilda 4) Dida diz: Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda 5) Elisa diz: Ana é tia de Zilda

Vamos supor que a primeira declarante seja tia de Zilda, ou seja, estamos supondo que

Ana é tia de Zilda, e como as tias sempre dizem a verdade, então Ana sempre diz a verdade! Agora, testaremos esta suposição:

Logo, Bia diz a verdade!

Ana diz: Bia é tia de Zilda. Æ Como Ana diz a verdade, então Bia é tia de Zilda!

Logo, Cati mente!

Bia diz: Cati é irmã de Zilda Æ Também Bia diz a verdade, então Cati é irmã de Zilda!

Cati diz: Dida é irmã de Zilda Æ Temos que Cati mente, então Dida não é irmã de Zilda, mas sim tia de Zilda! Logo, Dida diz a verdade!

Dida diz: Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda.

Æ Como Dida diz a verdade, e como obtemos anteriormente que Bia é tia de Zilda, então concluímos que Elisa é irmã de Zilda! Logo, Elisa mente!

Elisa diz: Ana é tia de Zilda Æ Elisa mente, logo Ana não é tia de Zilda! Porém, isto contradiz a suposição inicial que fizemos: Ana é tia de Zilda! Assim, como ocorreu uma contradição, então a suposição inicial está errada, restando-nos considerar que, com certeza, Ana é irmã de Zilda!

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Sabendo que Ana é irmã de Zilda, faremos uma nova análise nas declarações de cada amiga, para identificarmos cada uma delas quanto ao parentesco com Zilda.

Logo, Bia mente!

Ana diz: Bia é tia de Zilda. Æ Como Ana é irmã de Zilda, logo Ana mente, daí Bia não é tia de Zilda, mas sim irmã!

Bia diz: Cati é irmã de Zilda Æ Como Bia mente, então Cati não é irmã de Zilda, mas sim tia! Logo, Cati diz a verdade!

Cati diz: Dida é irmã de Zilda Æ Temos que Cati diz a verdade, então Dida é irmã de Zilda! Logo, Dida mente!

Dida diz: Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda.

Æ Como Dida mente, então Bia e Elisa têm iguais graus de parentesco com Zilda, como obtemos anteriormente que Bia é irmã de Zilda, então concluímos que Elisa também é irmã de Zilda! Logo, Elisa mente!

Elisa diz: Ana é tia de Zilda Æ Elisa mente, então Ana não é tia de Zilda! Este resultado está de acordo com o que estabelecemos inicialmente!

- Resultados obtidos:

Ana é irmã de Zilda! Bia é irmã de Zilda! Cati é tia de Zilda! Dida é irmã de Zilda! Elisa é irmã de Zilda!

Resposta: alternativa D.

03. (Analista MPU/ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe:

Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”. Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”. Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”. Denise: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante”. Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”.

Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set. e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set.

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Sol.:

Entre as cinco amigas de Fernanda: Amanda, Berenice, Camila, Denise e Eunice, duas delas estão mentindo e as outras três dizem a verdade.

Para descobrirmos quem mente e quem diz a verdade, temos que escolher uma das amigas de Fernanda e supor que ela está falando a verdade! Escolheremos Denise, pois a sua declaração contém várias informações.

Æ Teste da suposição: “Denise diz a verdade”.

Considerando que Denise diz a verdade, obtemos da sua declaração: - É verdade que: o escore não está 13 a 12.

- É verdade que: a Ulbra está perdendo este set.

- É verdade que: quem vai sacar é a equipe visitante.

A partir destes resultados, analisaremos as declarações das quatro outras amigas para identificar quem mente e quem diz a verdade.

Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”. Æ Amanda mente!

Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”.

Æ Nada podemos afirmar sobre Berenice!

Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”. Æ Camila mente!

Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”. Æ Eunice mente!

Da análise acima, temos que três amigas mentem! Entretanto, isso contradiz o enunciado da questão que afirma que só há duas mentindo! Portanto, a suposição inicial que Denise diz a verdade está errada! Logo, Denise mente!

Ainda falta identificar sobre a verdade das declarações das outras quatro amigas:

Amanda, Berenice, Camila e Eunice. Sabemos, agora, que entre estas somente uma mente! A partir disso, adotaremos o seguinte procedimento que já adotado na aula passada: observaremos, entre as declarações destas quatro amigas, duas que não podem ser ambas verdadeiras!

Rapidamente, obtemos que Amanda e Berenice não podem, ambas, estarem dizendo a verdade! Pois uma diz que o escore está 13 a 12, e a outra diz que não está 13 a 12! Portanto, uma mente e a outra diz a verdade!

Observe que a declaração de Berenice também entra em choque com a declaração de

Camila! Portanto, uma mente e outra diz a verdade! Com estes dois resultados, concluímos que Berenice mente!

Como duas mentem e três dizem a verdade, chegamos aos seguintes resultados finais:

Amanda diz a verdade! Berenice mente!

Camila diz a verdade!

Denise mente! Eunice diz a verdade!

1) O escore está 13 a 12?Æ Amanda diz que SIM!

Quais são as respostas às seguintes perguntas? 2) A Ulbra está vencendo este set? Æ Camila e Eunice dizem que SIM! 3) Quem vai sacar é a equipe visitante? Æ Eunice diz que SIM!

Resposta: alternativa B.

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04. (CVM – 2000) Beatriz encontrava-se em viagem por um país distante, habitado pelos vingos e pelos mingos. Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos sempre mentem. Certo dia, vendo-se perdida em uma estrada, Beatriz dirigiu-se a um jovem que por ali passava e perguntou-lhe: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?”. O jovem respondeu-lhe: “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”. Como não soubesse se o jovem era vingo ou mingo, Beatriz fez-lhe outra pergunta: “E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias?”. E o jovem respondeu: “Responderia que sim”. Dadas as respostas do jovem, Beatriz pôde concluir corretamente que a) o jovem era mingo e a estrada não levava à Aldeia Azul b) o jovem era mingo e a estrada levava à Aldeia Azul c) o jovem era vingo e a estrada não levava à Aldeia Azul d) o jovem era vingo e a estrada levava à Aldeia Azul e) o jovem poderia ser vingo ou mingo, e a estrada levava à Aldeia Azul

Sol.: Temos as seguintes informações trazidas no enunciado da questão: 1) Um país distante é habitado pelos vingos e pelos mingos. 2) Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos sempre mentem.

Beatriz faz duas perguntas a um jovem: 1ª) Esta estrada leva à Aldeia Azul? Resposta: “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”.

2ª) E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias? Resposta: “Responderia que sim”.

Até o momento não sabemos se o jovem é vingo ou mingo! Vamos supor que ele seja vingo, e analisaremos as perguntas e respostas acima para testar esta suposição!

Æ Análise da 1ª pergunta e resposta: Esta estrada leva à Aldeia Azul? “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”.

Como supomos que o jovem é vingo, logo a sua resposta é verdadeira, e obtemos que é verdade que a estrada leva à Aldeia Azul! Vamos analisar a outra pergunta!

Æ Análise da 2ª pergunta e resposta: E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias? “Responderia que sim”.

Como supomos que o jovem é vingo, a resposta a pergunta acima deve ser NÃO!

Entretanto, o jovem respondeu SIM! Ou seja, ocorreu uma contradição, daí a suposição inicial de que o jovem é vingo não é correta! Então, o jovem é mingo!

Sabendo que o jovem é mingo (mentiroso), vamos analisar novamente as perguntas e respostas para descobrir se a estrada leva, ou não, a aldeia azul!

Æ Análise da 1ª pergunta e resposta: Esta estrada leva à Aldeia Azul? “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”.

Já sabemos que o jovem mente, portanto quando ele diz SIM na resposta acima, significa que a resposta verdadeira (correta) é NÃO! Assim, a estrada não leva à Aldeia Azul!

Assim, obtemos:

O jovem é mingo! A estrada não leva à Aldeia Azul!

Resposta: alternativa A.

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Juca: Eu fui aprovado no concurso ou José foi aprovado no concurso. João: Se José não foi aprovado no concurso, então eu fui aprovado no concurso. José: Eu fui aprovado no concurso ou João foi aprovado no concurso.

Admitindo-se que apenas uma das três afirmações acima seja verdadeira, é correto concluir que: A) José foi aprovado no concurso B) Juca foi aprovado no concurso C) Juca e João foram aprovados no concurso D) José e João foram aprovados no concurso

Sol.: De acordo com os dados fornecidos na questão, temos três hipóteses possíveis:

1ª hipótese 2ª hipótese 3ª hipótese

Afirmação de Juca verdadeira falsa falsa Afirmação de João falsa verdadeira falsa Afirmação de José falsa falsa verdadeira

Æ Vamos testar a 1ª hipótese:

1ª) Juca: Eu fui aprovado no concurso ou José foi aprovado no concurso⇒ verdadeira.
3ª) José: Eu fui aprovado no concurso ou João foi aprovado no concurso⇒ falsa.

- Segundo a 1ª hipótese, temos: 2ª) João: José não foi aprovado no concurso → eu fui aprovado no concurso ⇒ falsa.

A afirmação de João é uma condicional, e para que ela seja falsa, é necessário que a 1ª parte da condicional seja verdadeira e a segunda seja falsa, ou seja:

“José não foi aprovado no concurso” é verdade! “Eu (João) fui aprovado no concurso” é falso!

A afirmação de José é uma disjunção, e para que ela seja falsa, é necessário que ambas as partes sejam falsas, ou seja:

“Eu (José) fui aprovado no concurso” é falso! “João foi aprovado no concurso” é falso!

Até o momento não houve contradições, e já obtemos que:

“José não foi aprovado no concurso” é verdade! “João não foi aprovado no concurso” é verdade!

Passemos a analisar a afirmação de Juca! A segunda parte da sua afirmação é falsa, então para que a afirmação como um todo seja verdadeira é necessário que a primeira parte seja verdadeira, ou seja: “Eu (Juca) fui aprovado no concurso” é verdade!

Finalizamos o teste da 1ª hipótese e não encontramos contradições nela, daí esta hipótese está correta! E os resultados obtidos para esta hipótese foram:

“José não foi aprovado no concurso” é verdade! “João não foi aprovado no concurso” é verdade! “Juca foi aprovado no concurso” é verdade!

Resposta: alternativa B.

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