Aula 11- Analise Combinatoria Parte II

Aula 11- Analise Combinatoria Parte II

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1 AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte I)

Olá, amigos!

metade de nosso curso! Longo é o caminho do Raciocínio LógicoMuitos assuntos estão ainda

Tudo bem com vocês? Esta é nossa décima primeira aula, e ainda sequer chegamos à por vir! Mas o fato é que estamos seguindo sempre em frente!

Já dizia o sábio que toda grande caminhada se inicia com o primeiro passo! E em se tratando de preparação para concursos, isso se torna muito verdadeiro! O importante é não se deixar esmorecer! Força e coragem são as palavras de ordem!

E por falar nisso, criemos coragem e passemos à resolução do dever de casa da aula passada! Adiante!

Dever de Casa

01. (BNB 2002 FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B? a) Oito b) Dez c) Quinze d) Dezesseis e) Vinte

Sol.:

A questão é das mais simples. Nosso objetivo aqui é o de, partindo da cidade A, chegar a Roma, passando necessariamente pela cidade B.

Facilmente percebemos que há como dividir esse evento em duas etapas bem definidas: 1ª) Partir de A e chegar a B; 2ª) Partir de B e chegar a Roma.

Trabalharemos com o Princípio da Contagem! Æ Da cidade A para a cidade B, teremos: 3 caminhos possíveis; Æ Da cidade B para Roma, teremos: 5 caminhos possíveis. Multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos: Æ 3 x 5 = 15 Æ Número total de possibilidades do evento completo! Resposta) Letra C.

02. (AFCE TCU 9 ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por: a) 226 310 b) 262 103 c) 226 210 d) 26! 10! e) C26,2 C10,3

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Sol.:

Nosso conjunto universo consiste do seguinte: {26 letras, 10 algarismos}.

(Todos perceberam que são dez algarismos? Cuidado: de zero a nove, temos dez algarismos!)

Pois bem! O objetivo agora é o de formar uma senha, composta por duas letras e por três algarismos. Ou seja, nosso subgrupo será o seguinte:

LetraLetra Número Número Número

Vamos lá! Primeiro questionamento: na hora de formar o subgrupo, poderemos usar elementos repetidos (iguais)? Sim! Pois assim dispõe o enunciado: Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos! O “ou não” aí ficou inutilizado!

Ora, se os elementos do subgrupo podem ser iguais, então trabalharemos com o

Princípio Fundamental da Contagem! Não foi assim que aprendemos na aula passada? Claro! Para quem está mais esquecido, segue aí o esquema de memória auxiliar:

Elementos iguais no subgrupo
Elementos distintos no subgrupo

Daí, trabalhando pelo Princípio, dividiremos o evento em cinco etapas, e descobriremos o número de resultados possíveis para a realização de cada uma delas. Teremos:

Æ 1ª Etapa) Definição da primeira letra Æ Há 26 possibilidades; Æ 2ª Etapa) Definição da segunda letra Æ Há 26 possibilidades; Æ 3ª Etapa) Definição do primeiro algarismo Æ Há 10 possibilidades; Æ 4ª Etapa) Definição do segundo algarismo Æ Há 10 possibilidades; Æ 5ª Etapa) Definição do terceiro algarismo Æ Há 10 possibilidades.

Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos o resultado final para todo o evento. Teremos:

Æ Total de Possibilidades para todo o Evento = 26x26x10x10x10 = 262x103 Resposta) Letra B.

Antes de passarmos à próxima questão, façamos um breve comentário sobre um aspecto desse enunciado.

Disse ele que o programa (que cria a senha) não faz distinção entre letras maiúsculas ou minúsculas. O que significa isso? Ora, significa que se você usar uma letra S (maiúscula) ou s (minúscula), para o programa não haveria qualquer diferença! Tanto faz!

Princípio

Fundamental da Contagem

Arranjo ou Combinação

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E daí? Daí que se houvesse sido dito o contrário, ou seja, que o programa faz distinção entre maiúsculas e minúsculas, então usar uma letra S (maiúscula) seria algo diferente de se usar um s (minúsculo)! Ou seja, na prática, isso implicaria que teríamos, no conjunto universo, não apenas 26 letras, mas o dobro disso! Claro! Seriam 26 letras minúsculas e mais 26 letras maiúsculas! Seriam dois alfabetos completos! Um total de 52 letras.

Esta consideração, obviamente, alteraria por completo o resultado da questão, dado que teríamos, pelo uso do Princípio da Contagem, a seguinte resposta: 522x103.

Entendido? Adiante!

03. (Anal. Orçamento MARE 9 ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é a) 518 400 b) 1 440 c) 720 d) 120 e) 54

Sol.:

Novamente a questão da senha! Só que aqui, com uma diferença crucial (em relação à questão anterior): foi estabelecido que, na hora de formar a senha (o subgrupo), teremos que usar algarismos distintos! Ou seja, os elementos do subgrupo não podem ser repetidos (iguais)! Com isso, nosso caminho de resolução será ou o do Arranjo ou o da Combinação!

Arranjo ou Combinação? Para respondermos, criamos uma senha possível: Æ 1-2-3. Pode ser? Claro! Agora, invertamos os elementos dessa senha. Teremos: Æ 3-2-3.

E aí? As senhas são iguais? Obviamente que não! Logo, concluímos que a resolução se fará mediante o caminho do Arranjo!

Aqui há uma particularidade neste enunciado: na realidade, estamos trabalhando com dois eventos, em vez de apenas um. Queremos compor duas senhas (uma para cada cadeado)! Então, neste caso, e em todos os assemelhados a este, usaremos o seguinte expediente: resolveremos a questão de forma bipartida, como se fossem duas questões (uma para cada evento)! Depois disso, multiplicaremos os resultados parciais encontrados!

Daí, trabalhando para compor a primeira senha, teremos: Conjunto Universo: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (10 algarismos) Subgrupo: (3 algarismos distintos)

Seguindo um raciocínio idêntico ao desenvolvido acima, concluímos que haverá também 720 possíveis senhas para o segundo cadeado (uma vez que se trata de dois eventos iguais!).

Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais de cada evento, chegaremos ao seguinte:

Æ 720 x 720 = 518.400 Æ Resposta! (Letra A)

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04. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 1112 e 1152. b) 1152 e 10. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384.

Sol.:

Nosso conjunto universo aqui é formado por oito pessoas – quatro homens e quatro mulheres. O primeiro objetivo é colocá-los em lugares alternados! Comecemos, portanto, por esse primeiro exercício.

Na hora de formar os subgrupos, teremos que usar elementos distintos? Claro que sim, uma vez que se trata de pessoas! Logo, trabalharemos com Arranjo ou Combinação!

Criemos um resultado possível (vamos chamar as pessoas de A, B, C, D, E, F, G, H): Æ (A-B-C-D-E-F-G-H) Invertendo-se a ordem do resultado acima, passamos a ter o seguinte: Æ (H-G-F-E-D-C-B-A)

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