aula 12 - probabilidade (parte i)

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1 AULA DOZE: PROBABILIDADE (Parte I)

Olá, amigos!

Hoje, daremos início a um novo assunto, o qual, assim como a Análise Combinatória, tem sido também constantemente cobrado em provas de Raciocínio Lógico. Trata-se da Probabilidade. Faremos esse estudo em duas aulas, conforme nossa programação original. E antes que alguém se assuste, achando que se trata de algo muito difícil, convém saber que, em provas de concurso, este tema recebe um enfoque muito peculiar, e que passará a ser inteiramente de nosso conhecimento!

Antes de iniciarmos o novo estudo, resolvamos as questões pendentes do dever de casa passado.

Dever de Casa

1. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2d) 48 b) 4e) 120 c) 24

Sol.:

Já resolvemos uma questão parecida com esta na aula anterior! Então, creio que todos conseguiram chegar à resposta!

A questão especifica que duas moças têm que estar sempre juntas! Daí, consideraremos como se fossem uma só moça! Com esta consideração, passamos a ter 4 pessoas na fila!

O número de maneiras possíveis que estas 4 pessoas podem distribuir-se nos assentos, pode ser determinado pela fórmula da permutação.

P4=4!=24 maneiras possíveis

As duas moças podem trocar de posição, mantendo-se ainda juntas, e mais uma vez usaremos a fórmula da permutação!

P2=2!=2 maneiras possíveis

Daí, multiplicando-se as permutações parciais obtidas acima, teremos: Æ 24 x 2 = 48 maneiras possíveis Æ Resposta: (Letra D)!

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2. (MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é igual a: a)6d) 36 b)12e) 48 c) 24

Sol.:

O que se pede nesta questão (por conta da palavra somente) é o número de maneiras diferentes em que as 2 moças fiquem sempre juntas enquanto que os 3 rapazes não fiquem todos juntos.

Assim, para que os três homens não fiquem todos juntos é necessário que as moças fiquem juntas no meio da fila. Reparem que as moças não podem estar juntas nas pontas, pois assim os três homens ficariam juntos! Há duas situações possíveis para o posicionamento das moças:

RM M R R

1ª situação:

RR M M R

2ª situação:

Na primeira situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças!

Æ Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6

Æ Permutação das moças: P2 = 2! = 2x1 = 2 Compondo nosso resultado, para esta primeira situação, teremos:

Da mesma forma, na segunda situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças!

Æ Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6

Æ Permutação das moças: P2 = 2! = 2x1 = 2 Compondo nosso resultado, para esta segunda situação, teremos:

Finalmente, somando os resultados parciais teremos: Æ 12+12= 24 Æ Resposta: (Letra C)!

2 moças 2 moças

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3. (IDR-1997) Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores de tinta: azul e vermelho, e de um cartão contendo o desenho de 6 quadrinhos, como na figura abaixo.

a) 6 d) 24
b) 12e) 36
c) 2

O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo menos quatro deles sejam vermelhos. É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é de:

Sol.:

Cada quadrinho do cartão será pintado, ou na cor vermelha, ou na cor azul! Para ilustrarmos, veja abaixo o cartão com quatro quadrinhos na cor vermelha e dois quadrinhos na cor azul:

O número de maneiras diferentes de pintura do cartão, com quatro quadrinhos na cor vermelha, pode ser obtido permutando-se as cores azul e vermelha mostradas na figura acima. Então, já descobrimos que a questão é de permutação! E uma vez que alguns elementos são repetidos, diremos que a questão se resolve por Permutação com Repetição!

Além de calcularmos o número de maneiras diferentes de pintura do cartão com quatro quadrinhos na cor vermelha, também devemos calcular com cinco quadrinhos na cor vermelha e seis quadrinhos na cor vermelha, pois o enunciado pede: o número de maneiras diferentes de pintura do cartão com pelo menos quatro quadrinhos vermelhos.

Passaremos aos cálculos para os três casos: 1º) Número de maneiras diferentes com quatro quadrinhos na cor vermelha:

Neste caso, designaremos assim: 2,46P (Permutação de 6 com repetição de 4, e de 2), porque o vermelho se repete 4 vezes e o azul 2 vezes! Daí, teremos:

2º) Número de maneiras diferentes com cinco quadrinhos na cor vermelha:

Designaremos assim: 1,56P (Permutação de 6 com repetição de 5, e de 1), porque o vermelho se repete 5 vezes e o azul 1 vez! Daí, teremos:

3º) Número de maneiras diferentes com seis quadrinhos na cor vermelha: É claro que só há 1 maneira para este caso!

O total de maneiras é obtido pela soma dos resultados obtidos nos três casos acima: 15 + 6 + 1 = 2 Æ Resposta: (Letra C)!

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4. (Téc de controle interno Piauí 2002 ESAF) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por: a) 5.400d) 7.200 b) 6.200e) 7.800 c) 6.800 Sol.:

A ordem dentro do grupo de cinco crianças escolhidas é irrelevante! Daí, trata-se de uma questão de combinação!

Para compor o grupo de cinco crianças, selecionaremos três meninos entre os dez existentes e duas meninas entre as dez existentes! Para este cenário, o número total de diferentes maneiras pode ser obtido por:

5. (Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Seis pessoas, entre elas

a) 120d) 150
b) 360e) 300

Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde José não é o presidente, será: c) 60

Sol.:

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