aula 12 - probabilidade (parte i)

aula 12 - probabilidade (parte i)

(Parte 2 de 7)

Trata-se de uma questão de análise combinatória em que a ordem dos elementos é importante, e assim podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) para resolver esta questão.

Nas questões de P.F.C. devemos sempre iniciar a análise das possibilidades por onde se tem uma restrição. A restrição fornecida no enunciado é a de que Pedro não pode ser presidente. Então, iniciaremos a análise das possibilidades pelo cargo de presidente.

Temos ao todo 6 pessoas, como Pedro não pode ocupar a posição de presidente, então há 5 pessoas que podem ser presidente. Para a posição de vice, há 5 possibilidades, já que uma das seis pessoas já ocupou o cargo de presidente. Para a posição de secretário, há 4 possibilidades, já que das seis pessoas, uma é presidente e a outra é vice. Resta para a posição de tesoureiro 3 possibilidades. Veja o desenho abaixo, que mostra os cargos e as possibilidades de ocupação de cada um deles.

5p___ ______5p______ ___4p____ ___3p_____
presidente vice-presidente secretário tesoureiro

Daí, o total de maneiras para compor a diretoria é: 5 x 5 x 4 x 3 = 300 Æ Resposta: (Letra E)!

6. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor? a) 25d) 5 b) 35e) 65 c) 45

Sol.: Faremos duas soluções, a fim de que vocês entendam bem o procedimento de resolução desse estilo de questão.

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5 1ª Solução: Æ Número de comissões contendo 1 diretor: C3,1 x C5,4 = 3 x 5 = 15

Æ Número de comissões contendo 2 diretores: C3,2 x C5,3 = 3 x 10 = 30 Æ Número de comissões contendo 3 diretores: C3,3 x C5,2 = 1 x 10 = 10

Logo, a resposta é: 15 + 30 + 10 = 5 Æ Resposta: (Letra D)!

2ª Solução:

O total de comissões de 5 pessoas que podemos formar com estas 8 pessoas (3 diretores e 5 gerentes) é dado por:

O total de comissões de 5 pessoas que podemos formar de maneira que não contenham diretores, mas somente os 5 gerentes, é dado por:

Logo, o total de comissões de 5 pessoas que podemos formar contendo no mínimo um diretor é dado pela subtração dos dois resultados parciais obtidos acima: 56 – 1 = 5 Æ Resposta: (Letra D)!

7. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que nenhum membro seja matemático?

Sol.:

Novamente, temos uma questão de combinação! A comissão é formada por 10 pessoas! Quem pode participar da composição dessa comissão? Segundo o enunciado, das 20 pessoas que formam o grupo, somente os não matemáticos poderão participar da comissão. Como há cinco matemáticos no grupo dos 20, isto significa que há um total de 15 (=20–5) não matemáticos. O número de comissões diferentes com 10 pessoas que podem ser formadas a

partir de 15 não matemáticos é: C15,10Æ Resposta: (Letra B)!

Combinação de 3 diretores para 1 vaga na comissão.

Combinação de 5 gerentes para o restante das vagas (4) na comissão.

Combinação de 3 diretores para 2 vagas na comissão.

Combinação de 5 gerentes para o restante das vagas (3) na comissão.

Combinação de 3 diretores para 3 vagas na comissão.

Combinação de 5 gerentes para o restante das vagas (2) na comissão.

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8. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão? c) C20,15 Sol.:

Na questão anterior os matemáticos não podiam participar da comissão, já nesta questão todos os matemáticos devem fazer parte da comissão!

E temos os seguintes dados fornecidos: - Grupo consta de 20 pessoas, dos quais 5 são matemáticos.

- A comissão é de 10 pessoas.

Ora, se os matemáticos devem fazer parte da comissão, então cinco lugares da comissão vão ficar reservados para os cinco matemáticos, restando cinco vagas ainda a serem preenchidas. Estas vagas serão disputadas pelos não matemáticos, que são um total de 15. Assim, para obtermos o número de comissões diferentes que podem ser formadas, faremos uma combinação de 15 pessoas para 5 lugares, ou seja: C15,5. Resposta: (Letra D)!

9. (AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420d) 240 b) 480e) 60 c) 360

Sol.:

Temos os seguintes dados fornecidos pelo enunciado: 1°) Há sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise. 2°) Serão formadas filas com exatamente quatro modelos. 3°) A última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. 4°) Denise não poderá ser a primeira da fila.

(1ª da fila, 2ª da fila,), então a ordem é relevante, e, assim, não resta dúvidas que

Como se trata de formar uma fila de pessoas, onde teremos que ordenar as posições podemos utilizar o princípio fundamental da contagem.

Primeiramente, desenharemos as quatro posições da fila:

1ª da fila2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila

A última posição da fila só pode ser ocupada por quatro das sete modelos, as quais são:

Ana, Beatriz, Carla ou Denise. Agora, calcularemos o número de diferentes filas que podem ser formadas tendo cada uma dessas modelos na última posição da fila.

1. Número de diferentes filas com Ana sendo a última da fila:

1ª da fila2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila

Vamos calcular o número de possibilidades de ocupação para cada uma das três primeiras posições:

Ana

CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos a) A 1ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem por Denise (devido a restrição feita no enunciado), assim há cinco modelos que podem ocupar a 1ª posição. b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem pela modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há cinco modelos que podem ocupar a 2ª posição. c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem pelas modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posições, daí há quatro modelos que podem ocupar a 3ª posição.

O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja: 5 x 5 x 4 = 100 filas diferentes.

2. Número de diferentes filas com Beatriz sendo a última da fila:

1ª da fila2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila

O procedimento é idêntico ao anterior, só muda o nome de Ana para Beatriz. Por isso, o resultado será o mesmo: 100 filas diferentes.

3. Número de diferentes filas com Carla sendo a última da fila:

1ª da fila2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila

O procedimento também é idêntico ao primeiro caso, só muda o nome de Ana para Carla. Por isso, o resultado será o mesmo: 100 filas diferentes.

4. Número de diferentes filas com Denise sendo a última da fila:

1ª da fila2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila

Esse caso é um pouco diferente dos outros, conforme mostraremos abaixo. Vamos calcular o número de possibilidades de ocupação para cada uma das três primeiras posições:

a) A 1ª posição da fila só não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posição e também pela restrição feita no enunciado), assim há seis modelos que podem ocupar a 1ª posição. b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posição) e nem pela modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há cinco modelos que podem ocupar a 2ª posição. c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem pelas modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posições, daí há quatro modelos que podem ocupar a 3ª posição.

O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja: 6 x 5 x 4 = 120 filas diferentes.

A resposta da questão é dada pela soma dos resultados obtidos para cada um dos quatro casos acima: 100 + 100 + 100 + 120 = 420 Æ Resposta: (Letra A)!

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