aula 12 - probabilidade (parte i)

aula 12 - probabilidade (parte i)

(Parte 3 de 7)

Beatriz

Carla Denise

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10. (MPU 2004 ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a a) 20. d) 120. b) 30. e) 360. c) 24.

Sol.: A questão envolve os seguintes quadros: 3 quadros de Gotuzo e 4 de Portinari.

Solicita-se o número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita.

Os quadros de Gotuzo são três, que designaremos por: G1, G2 e G3. Os quadros de Portinari são três, que designaremos por: P1, P2 e P3.

O número de diferentes maneiras na qual os 6 quadros podem ser expostos, em qualquer ordem, é: Permutação de 6 = 6! = 720

Dentro dessas 720 maneiras em que os seis quadros aparecem, os 3 quadros de

Gotuzo se apresentam em seis (= permutação de 3) diferentes ordens, que são ilustradas abaixo.

Na ilustração acima, os quadros de Gotuzo não estão necessariamente um ao lado do outro!

Qualquer que seja a exposição dos seis quadros, uma das seqüências acima dos quadros de Gotuzo estará presente. Pergunto: qual é das sequências dos quadros de Gotuzo que mais se repetirá entre as 720 maneiras de se expor os seis quadros? É claro que todas as sequências dos quadros de Gotuzo se repetirão a mesma quantidade de vezes. Daí, como temos um total de 720 maneiras diferentes em que os seis quadros podem ser apresentados e 6 possíveis seqüências para os quadros de Gotuzo, então cada uma dessas seqüências aparecerá: 720 / 6 = 120 vezes

A sequência (G1, G2, G3) representa os quadros de Gotuzo em ordem cronológica, e como já sabemos, ela se repetirá 120 vezes. Æ Resposta: (Letra D)!

1ª sequência: 2ª sequência:

3ª sequência:

4ª sequência: 5ª sequência:

6ª sequência:

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Agora, sim, passemos a falar em Probabilidade!

Pelo exame das últimas questões de concurso (sobretudo da Esaf), percebemos que há sete tópicos relacionados à Probabilidade, os quais, se bem compreendidos, serão a chave para acertarmos qualquer questão de prova. Senão, vejamos!

Esses referidos tópicos são os seguintes: Æ Conceito de probabilidade; Æ Árvore de probabilidades; Æ Situações excludentes; Æ “Caminho de probabilidades” Æ Eventos independentes; Æ Probabilidade da união de dois eventos; e Æ Probabilidade condicional.

Aprenderemos esses tópicos, um a um, por meio da resolução de exercícios diversos.

# Conceito de Probabilidade:

Exemplo 01) Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azuis e seis vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela seja vermelha?

Sol.:

O conceito de Probabilidade é facílimo. Trata-se de uma divisão!

Haverá no enunciado sempre a pergunta: Qual a probabilidade de? No máximo, a questão

Antes de mais nada, convém saber que a questão de Probabilidade é inconfundível. trocará a palavra probabilidade pela palavra chance. (Mas isso também não é algo comum de ocorrer)!

Daí, procuraremos saber qual é a probabilidade de realização de um determinado evento! Teremos, então, que o conceito que buscamos é o seguinte:

Probabilidade = possíveisresultadosden favoráveisresultadosden °

Pois bem! Vejamos como é fácil a coisa. Qual é o evento em análise neste exemplo?

Retirar uma bola azul da urna! Ora, a tal urna contém dez bolas. Daí, se quero retirar apenas uma delas, quantos serão os resultados possíveis para essa retirada? Dez, é claro! Já temos o nosso denominador!

Passemos ao numerador, os resultados favoráveis. A pergunta é: favoráveis a quem?

Favoráveis à realização do evento! Ora, se eu pretendo retirar uma bola azul da urna, então quantos serão os resultados que satisfarão essa exigência do evento (bola azul)? Quatro! (Só há quatro bolas azuis na urna!).

De posse dos resultados favoráveis e possíveis para o evento em tela, faremos: Æ P = 4 / 10 = 0,40 = 40% Æ Resposta!

De antemão, convém sabermos que a Probabilidade tem valor máximo de 100%. Neste caso (P=100%), estaremos diante do chamado evento certo!

Por exemplo: qual a probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lançamento de um dado? Ora, trata-se de um evento certo! Há aqui uma certeza matemática! A probabilidade será, portanto, de 100%.

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A idéia oposta ao do evento certo é a do evento impossível: aquele cuja probabilidade de ocorrência é de 0% (zero por cento)! Exemplo: qual a probabilidade de eu ganhar na loteria sem jogar? Nenhuma! Qualquer criança acerta essa resposta!

Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são as possibilidades (e as probabilidades!).

Este é, pois, o conceito de probabilidade! Façamos outro exemplo:

Exemplo 02) Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um número par?

Sol.: Retomemos o nosso conceito:

Probabilidade = possíveisresultadosden favoráveisresultadosden °

O evento agora é retirar uma bola da urna, e queremos que ela seja par!

Daí, para retirar uma bola de urna que contém dez bolas, haverá – irrefutavelmente – dez resultados possíveis! Concordam? (Já temos o denominador!)

Acerca do numerador, perguntaremos: qual é a exigência do evento? É que a bola retirada tenha um número par. Quantos são os resultados que atendem, que satisfazem, essa exigência? Ora, são cinco (as bolas de números 2, 4, 6, 8 e 10).

# Situações Excludentes, Árvore de Probabilidades e Eventos Independentes: Vejamos esses conceitos, por meio do exemplo seguinte:

Exemplo 03) (TCE-RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:

Sol.:

Vamos analisar a primeira frase do enunciado: “a probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5”.

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