aula 12 - probabilidade (parte i)

aula 12 - probabilidade (parte i)

(Parte 5 de 7)

Æ P(Paulo participar & Roberto não participar) = (3/5) x (4/5) = 12/25 Æ Resposta!

# Caminho de Probabilidades:

Conheceremos esse conceito por meio do exemplo seguinte:

EXEMPLO 05) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:

Sol.:

Começaremos analisando a questão dos cartões que o juiz tem no bolso. São três, e o enunciado disse que o juiz irá tirar qualquer um deles, de forma aleatória! Ora, se a retirada é feita de forma aleatória, a probabilidade de ser retirado qualquer dos três cartões será a mesma e igual a 1/3 (um cartão favorável em três possíveis)!

Daí, já podemos começar a desenhar nossa árvore de probabilidades! Teremos: Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)

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Só que a questão não pára por aí. Segue com a seguinte pergunta: qual a probabilidade de, ao retirar o cartão do bolso, a face vermelha fique voltada para o juiz e a face amarela fique voltada para o jogador?

Ora, para que fique uma cor voltada para o juiz e outra cor voltada para o jogador, é óbvio que o cartão retirado do bolso terá que ser o de duas cores! De outra forma, seria impossível. Concordam?

Ocorre que, ao retirar o cartão de duas cores do bolso, surgem aqui duas novas situações, as quais deverão ser acrescidas à nossa árvore de probabilidades! São as seguintes:

Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)

Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)

Face Vermelha p/ o juiz e Face Amarela p/ o jogador

Face Amarela p/ o juiz e Face Vermelha p/ o jogador

Observemos que essas duas novas situações são também situações excludentes! Claro!

Se ocorrer a de cima, é porque não ocorreu a de baixo, e vice-versa! Como são apenas duas situações excludentes, as probabilidades de cada uma ocorrer é 1/2.

Concluindo, portanto, nossa árvore de probabilidades, teremos: Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)

Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)

Amarelo p/ o juiz e (1/2) Vermelho p/ o jogador

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Aqui, olhando para essa árvore acima, veremos que surge um novo conceito!

Estamos falando do caminho de probabilidades! O que é isso? É tão-somente um caminho em que há duas (ou mais) probabilidades que se sucedem! Ou em outras palavras, é um caminho em que há mais de um evento, de modo que um é posterior ao outro.

Olhando para o desenho acima, vemos que existem dois caminhos de probabilidade. Vou destacar primeiro um, e depois o outro. Vejamos:

Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)

Vermelho p/ o juiz e(1/2)

Cartão (amarelho-amarelo) (1/3) Amarelo p/ o jogador

Amarelo p/ o juiz e(1/2)

Cartão (amarelo-vermelho) (1/3) Vermelho p/ o jogador

Está em azul nosso caminho de probabilidades. Nele, vemos que um evento se sucede ao outro. O primeiro é a escolha do cartão de duas faces; o segundo é o fato de a face vermelha ficar voltada para o juiz, e a amarela para o jogador!

O que interessa saber acerca de um caminho de probabilidade é que quando estivermos diante de um, não nos interessará mais a probabilidade individual de um evento ou do outro: interessar-nos-á a probabilidade de todo o caminho!

E para descobrirmos a probabilidade que é o resultado de um caminho de probabilidades, teremos sempre que multiplicar as probabilidades individuais de cada evento que compõe aquele caminho.

Daí, para chegarmos à probabilidade que resulta deste caminho azul acima, faremos (1/3)x(1/2), e chegaremos ao seguinte:

Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)

Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)

Vermelho p/ o juiz e (1/2) ⇒ (1/6) Amarelo p/ o jogador

Cartão (amar.-verm.) (1/3)

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Essa probabilidade que encontramos (1/6) é o resultado deste caminho de probabilidade e representa a ocorrência dos dois eventos que compõem este caminho.

Ou seja, (1/6) é justamente a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela. É exatamente isso o que a questão está perguntando!

Daí, nossa resposta, encontrada apenas pelo resultado de um caminho de probabilidades, é igual a (1/6).

Observemos que para acertar essa questão, tivemos que usar os seguintes conhecimentos: 1º) saber o que são situações excludentes; 2º) saber desenhar uma árvore de probabilidades; 3º) saber o que é um caminho de probabilidades, e como se chega a sua probabilidade resultante!

Passemos a mais um exemplo!

EXEMPLO 06) (SERPRO 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:

Sol.:

Numa leitura calma deste enunciado, vemos que ele é todo muito propício para que façamos o desenho da árvore de probabilidades, observando atentamente as situações excludentes que nos são apresentadas!

Senão, vejamos: a primeira coisa que nos diz a questão é que o Genésio só pode viajar de dois modos: navio ou avião. E diz também que estes dois modos de ele viajar são mutuamente excludentes! Ora, aqui foi dito de forma expressa: são duas situações excludentes!

Foi dito ainda quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião. Daí, já podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades! Teremos:

Navio (40%)

Só uma observação: na hora que o enunciado falou que viajar de navio e viajar de avião são situações excludentes, e acrescentou que a probabilidade de o Genésio ir de navio é de 40%, então não seria necessário ter informado que a probabilidade de ele ter ido de avião é de 60%. Já seria nossa obrigação saber disso, uma vez que a soma das probabilidades de situações excludentes é sempre 100%. Não é verdade?

Pois bem! Só que o enunciado não parou por aí! Surgem, na seqüência da leitura, mais duas outras situações. Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião, ele poderá chegar com atraso ao congresso! Isso é dito pelo enunciado!

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E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente, ele pode também chegar em tempo, ou seja, sem atraso. É evidente que se Genésio chegar em tempo é porque não atrasou; e se atrasar, é porque não conseguiu chegar em tempo. Concordam? Ou seja, essas duas situações – chegar atrasado e chegar em tempo – são situações excludentes! O enunciado traz quais são as probabilidades de Genésio chegar atrasado nos dois casos (tendo ido de navio e tendo ido de avião), de modo que já teremos como completar a nossa árvore de probabilidades, da seguinte forma:

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