aula 12 - probabilidade (parte i)

aula 12 - probabilidade (parte i)

(Parte 7 de 7)

Observemos que o que virá após o dado que será sempre o fato fornecido pelo enunciado!

Utilizando a nomenclatura própria da matemática, reduziremos a pergunta acima ao seguinte: P(A dado B)=?

Esta é a pergunta da probabilidade condicional. Para respondê-la, teremos que aplicar a seguinte fórmula:

Aplicando a fórmula acima à nossa questão, teremos: Æ P(avião dado atrasado) = P(avião & atrasado) / P(atrasado)

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Vejamos que o numerador desta fórmula P(avião & atrasado) é exatamente a resposta da “pergunta b”, que foi analisado há pouco por nós, e em que concluímos que: P(avião & atrasado)=0,006.

Vejamos ainda que o denominador da fórmula P(atraso) corresponde, por sua vez, à resposta da “pergunta c” , vista acima, com o que concluímos que: P(atrasado)=0,04.

Pronto! Dispondo dos elementos todos da fórmula da probabilidade condicional, chegaremos ao seguinte:

Æ P(avião dado atraso) = P(avião & atraso) / P(atraso) Æ P(avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 15% Æ Resposta!

Passemos a outro exemplo, cobrado na prova do Analista do MPU, ainda recente!

Exemplo 07) (Analista MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?

Sol.: Convém relermos o enunciado, tentado já ver se é possível estabelecermos aquela divisão em partes! Será que é possível. Vejamos:

“Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?”

A primeira parte é aquela que usaremos para desenhar a árvore de probabilidades, observando as situações excludentes, e construindo, se for o caso, os caminhos de probabilidade.

A segunda parte (em vermelho) é um informação adicional que nos revela um fato. Algo que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato dado!

A terceira parte é a pergunta da questão!

Trabalhando a primeira parte do enunciado, chegaremos à seguinte árvore de probabilidades:

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JOÃO (40%)

sopa salgada (10%) sopa normal (90%) sopa salgada (5%) JOSÉ (40%) sopa normal (95%) sopa salgada (20%) MARIA (20%) sopa normal (80%)

Agora temos que formular a pergunta completa da questão!

O que está sendo questionado na última parte do enunciado? A pergunta é qual a probabilidade de João ter feito a sopa?

Existe dentro do enunciado uma informação adicional, que nos dá a conhecer um fato?

Sim! Qual é esse fato? É que a sopa ficou salgada! Ora, que a sopa ficou salgada é um fato dado pela questão. É algo do qual agora temos conhecimento.

Daí, a pergunta completa desta questão é a seguinte:

“Qual a probabilidade de João ter feito a sopa, dado que a sopa ficou salgada?”

Estamos diante de uma probabilidade condicional. Na linguagem da probabilidade, teremos: P(João dado salgada)=? Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos: Æ P(João dado salgada)= P(João & salgada) / P(salgada)

O numerador P(João & salgada) será a probabilidade resultante de um único caminho de probabilidade. O primeiro deles! Vejamos:

JOÃO (40%)

sopa salgada (10%) ⇒ 0,04 sopa normal (90%) sopa salgada (5%) JOSÉ (40%) sopa normal (95%) sopa salgada (20%) MARIA (20%) sopa normal (80%)

Já no tocante ao denominador P(salgada), teremos que somar as probabilidades resultantes de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:

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JOÃO (40%)

sopa salgada (10%) ⇒ 0,04 sopa normal (90%) sopa salgada (5%) ⇒ 0,02 JOSÉ (40%) sopa normal (95%) sopa salgada (20%) ⇒ 0,04 MARIA (20%) sopa normal (80%)

Daí, jogando os dados na fórmula da probabilidade condicional, teremos que: Æ P(João dado salgada)= 0,04 / 0,10 = 0,40 = 40% Æ Resposta!

Por hoje, já temos teoria bastante!

Na seqüência, apresentamos as questões do nosso Dever de Casa de hoje, todo composto por questões extraídas de provas recentes! Algumas bem interessantes! Vale a pena vocês tentarem resolvê-las! (Lembrem-se: o mais importante de tudo é tentar!)

Na aula seguinte, prosseguiremos este nosso estudo das Probabilidades, acrescendo alguns outros conceitos não vistos aqui nesta presente aula, e resolvendo outra bateria de exercícios!

Seguem as questões! Um forte abraço a todos e fiquem com Deus!

01. (MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: a) 1/7d) 5/7 b) 1/3e) 4/7 c) 2/3

02. (MPU/2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624d) 0,568 b) 0,064e) 0,784 c) 0,216

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03. (MPU/2004) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a: a) 0,62d) 0,80 b) 0,60e) 0,56 c) 0,68

04. (MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,1 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus é igual a: a) 0,25d) 0,15 b) 0,35e) 0,65 c) 0,45

05. (MPOG 2001 ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo {X ∈ Ν 1 ≤ X ≤ 3}; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo {Y ∈ Ν 1 ≤ Y ≤ 4}, onde Ν representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a: a) 7/18d) 1/27 b) 1/2 e) 2/9 c) 3/7

06. (AFC-STN-2000 ESAF) Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota de produção é a) 1,70% b) 27,40% c) 35% d) 83% e) 85%

07. (AFC-SFC 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: a) 10% b) 30% c) 40% d) 70% e) 82,5%

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08. (SERPRO 96) Uma clinica especializada trata apenas de três tipos de doentes: dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que tem calculo renal e dos hipertensos. Temos que 50% dos pacientes que procuram a clinica são cardíacos, 40% são portadores de calculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacos são curados em 80% das vezes, os problemas de calculo renal em 90% das vezes e os hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curado da clinica. Qual a probabilidade de ele sofresse de calculo renal? a) 43,1% b) 42,1% c) 45,1% d) 4,1% e) 46,1%

GABARITO: 1. b 2. e 3. c 4. e 5. a 6. b 7. b 8. b

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