aula 13 - probabilidade (parteii)

aula 13 - probabilidade (parteii)

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AULA TREZE: Probabilidade (Parte I)

Olá, amigos!

Continuaremos (e concluiremos) hoje nosso estudo sobre Probabilidade. Estamos ingressando na segunda metade do nosso Curso! Convém tentarmos manter os estudos em dia, resolvendo sempre o dever de casa, anotando as dúvidas, fazendo resumos etc.

Passemos agora à resolução do dever de casa passado.

01. (MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:

a) 1/7d) 5/7
b) 1/3e) 4/7

c) 2/3

Sol.: Conforme procedemos na aula 12, tentaremos estabelecer uma divisão em partes do enunciado dessa questão! Vejamos:

“Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a?”

A primeira parte (em azul) informa algumas probabilidades, que repetimos abaixo:

P (Ana em Paris) = 3/7 P (Beatriz em Paris) = 2/7 P (Ana em Paris e Beatriz em Paris) = 1/7

A segunda parte (em vermelho) é uma informação adicional que nos revela um fato. Algo que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato dado!

A terceira parte (em verde) é a pergunta da questão! Juntando essa pergunta ao fato dado, teremos a seguinte pergunta completa que a questão tem interesse:

“Qual a probabilidade de

Beatriz estar hoje em Paris, dado que Ana estar hoje em Paris?”

Estamos diante de uma probabilidade condicional! Na linguagem da probabilidade, teremos: P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris)=? Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos:

P(Ana em Paris)

Æ P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = P(Beatriz em Paris e Ana em Paris)

Nós já dispomos das probabilidades que aparecem no numerador e no denominador da fórmula acima, daí, é só nós substituirmos os valores e efetuarmos a divisão:

Æ P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = 1/7 =1_ Æ Resposta!

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02. (MPU/2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624 d) 0,568 b) 0,064 e) 0,784 c) 0,216

Sol.: O enunciado fornece os seguintes dados:

que representaremos por: P(fazer uma venda a um cliente) = 0,4

Æ Probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4,

Æ As decisões de compra dos clientes são eventos independentes. Isso significa que a decisão de compra de um determinado cliente não é influenciada pela decisão de compra de outro cliente. E em termos de probabilidade, a independência significa que:

P(vender para A e vender para B) = P(vender para A) x P(vender para B) e também: P(ñ vender para A e ñ vender para B) = P(ñ vender para A) x P(ñ vender para B)

a probabilidade do evento excludente (é a negação do evento dado)

A questão solicita a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas. A melhor maneira de obtermos o resultado dessa probabilidade é calculando

Temos o evento: o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas. O evento excludente é: o vendedor não faça nenhuma venda em três visitas. A soma das probabilidades desses dois eventos é igual a 1, ou seja:

P(no mínimo uma venda) + P(nenhuma venda) = 1

Daí, se encontrarmos a probabilidade do evento excludente, basta subtrairmos de 1 para obtermos a resposta da questão.

Passemos ao cálculo da probabilidade: P(nenhuma venda) !

Considere que os três clientes sejam: A, B e C. Dessa forma, a probabilidade acima pode ser definida assim:

P(não vender para A e não vender para B e não vender para C)

Como foi dito na questão que as decisões de compra dos clientes são independentes, então essa probabilidade pode ser transformada no produto de três probabilidades:

P(não vender para A) x P(não vender para B) x P(não vender para C)

Foi dado no enunciado que: P(fazer uma venda a um cliente) = 0,4.

Logo, P(não fazer uma venda a um cliente) = 1 – 0,4 = 0,6

Daí, P(não vender para A) x P(não vender para B) x P(não vender para C) será igual a:

Substituindo este resultado na equação:

P(no mínimo uma venda) + P(nenhuma venda) = 1 , teremos:

P(no mínimo uma venda) + 0,216 = 1

E, assim: P(no mínimo uma venda) = 0,784 Æ Resposta!

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a) 0,62d) 0,80
b) 0,60e) 0,56

03. (MPU/2004) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a: c) 0,68

Sol.:

alternativa correta

O André ao tentar resolver uma questão do teste, ele pode saber resolver a questão ou não! Se ele sabe, é claro que acertará a questão, e se ele não sabe, ainda poderá acertar a questão chutando uma das cinco alternativas, com probabilidade de acerto de (1/5). Veja que essa questão apresenta ramificações, caminhos, que darão um resultado final. Logo, podemos utilizar a árvore de probabilidades para traçar os possíveis caminhos e nos ajudar a obter a Nossa árvore de probabilidades:

sabe resolver (60%)acerta (100%)

acerta (1/5) não sabe resolver (40%) erra (4/5)

Qual é a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste?

Há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado acertar uma questão. E são justamente os seguintes:

sabe resolver (60%)acerta (100%) ⇒ 0,6 x 1 = 0,6
acerta (1/5)⇒ 0,4 x 1/5 = 0,08

não sabe resolver (40%) erra (4/5)

Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos portanto que somar essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos, pois, que:

questão qualquer do teste questão qualquer do teste

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