aula 14 - matrizes e determinantes (parte i)

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AULA QUATORZE: Matrizes & Determinantes (Parte I)

Olá, amigos!

Daremos hoje início ao estudo de Matrizes e Determinantes. Pelo histórico das últimas provas elaboradas pela Esaf, este assunto tem sido exigido amiúde, tanto em certames de nível médio, quanto de nível superior.

Embora seja uma matéria (em tese) já vista por todos no ensino médio (antigo 2º grau), e que, por isso mesmo, possa causar algum tipo de mal-estar, convém sabermos logo que sua exigência em concursos se restringe a certos estilos de questão, muito fáceis de serem trabalhados.

Dito isto, iniciemos a resolução do dever de casa passado, para após falarmos em Matrizes. Adiante!

Dever de Casa

probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é:

01. (AFCE TCU 9 ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a a) 1/5 d) 3/5 b) 3/10 e) 7/10 c) 2/5

Sol.: Aqui há dois eventos envolvidos: o lançamento de um dado e o lançamento de uma moeda.

Foi dado que a probabilidade de se obter um número par é 3/5. Vamos escrever de maneira mais simplificada: P(par) = 3/5.

Ao lançar um dado só podemos obter dois resultados: par ou ímpar. Daí, P(par) + P(ímpar) = 1

E: Æ P(ímpar) = 1 – P(par)Æ P(ímpar) = 1 – 3/5 Æ P(ímpar) = 2/5

Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma moeda “não viciada”? Dois: {cara, coroa}.

Quantos resultados possíveis de “coroa”? Apenas um. Logo, a probabilidade de, ao lançarmos uma moeda, dar coroa é de:

Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda, estará falando, obviamente, da união entre esses dois eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos:

P(ímpar ou coroa) = P(ímpar) + P(coroa) – P(ímpar e coroa)

Nós já dispomos das probabilidades P(ímpar) e P(coroa), mas ainda temos que calcular a probabilidade: P(ímpar e coroa).

Os eventos “ímpar no dado” e “coroa na moeda” são independentes? A questão não afirma nada sobre isso, então podemos fazer a seguinte pergunta para descobrir se eles são independentes: o resultado obtido no lançamento do dado influencia no resultado do lançamento da moeda? Facilmente concluímos que não, podemos jogar um dado e ele pode dar par ou ímpar, mas isto não influencia no resultado cara ou coroa da moeda.

Assim, como são dois eventos independentes, podemos dizer que: P(ímpar e coroa) = P(ímpar) x P(coroa)

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Substituindo essa probabilidade na expressão de probabilidade que devemos calcular, teremos: P(ímpar ou coroa) = P(ímpar) + P(coroa) – P(ímpar) x P(coroa)

Só precisamos substituir os valores de probabilidades que já dispomos para obter a resposta da questão: P(ímpar ou coroa) = 2/5 + 1/2 – 2/5 x 1/2

Daí,P(ímpar ou coroa) = 6/10 – 2/10

E, P(ímpar ou coroa) = 4/10 Æ Resposta!

02. (Anal. Orçamento MARE 9 ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas.

Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas? a) 25% b) 37,5% c) 42% d) 4,5% e) 50%

Sol.: O evento é o lançamento de uma moeda. Ele se repetirá por quatro vezes.

Os resultados possíveis para esse evento são apenas dois: cara ou coroa. E são resultados excludentes!

Finalmente, a questão pergunta pela probabilidade de que nos quatro lançamentos obtenha-se cara por exatamente duas vezes e coroa exatamente duas vezes. Não havia necessidade de dizer que o resultado coroa deve ocorrer exatamente duas vezes, pois como já está se dizendo que nos quatro lançamentos ocorre exatamente duas caras é claro que vai ocorrer duas coroas.

Novamente, aqui, estão presentes todas as características de uma questão de Probabilidade Binomial.

Vamos encontrar os elementos que lançaremos na fórmula da Probabilidade Binomial. Como são quatro lançamentos, então N=4.

A questão pede exatamente dois resultados “cara”, então podemos considerar que “cara” é o evento sucesso, e S=2.

Conseqüentemente, “coroa” é o evento fracasso, e F=2.

Certo?

Daí, calcularemos a probabilidade de um evento sucesso e a de um evento fracasso. Teremos:

Æ P(cara)=(1/2) (São dois resultados possíveis, e somente um satisfaz a exigência que seja “cara”). Segundo o mesmo raciocínio, teremos: Æ P(coroa)=(1/2) Finalmente, aplicando a equação da Probabilidade Binomial, teremos:

P(de “s” eventos sucesso)=[Combinação N, S]x [P(sucesso)S] x [P(fracasso)F] Æ P(de 2 caras)=(C4,2) x [P(cara)2] x [P(coroa)2]

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Daí:6

Chegamos a: Æ P(de 2 caras) = 3/8 = 37,5% Æ Resposta!

a) 3/8 b) 1/2 c) 6/8d) 8/6 e) 8/3

03. (TFC 1995) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é:

Sol.:

O evento é o nascimento de uma criança. Ora, para esse evento só há dois resultados possíveis: ou será menino ou será menina. Além disso, um resultado exclui o outro. Observem que o enunciado está desconsiderando a possibilidade de gêmeos. Assim, se for um menino é porque não foi uma menina, e vice-versa. (Resultados excludentes!)

Por fim, o evento se repetirá por quatro vezes, e a questão pergunta pela probabilidade de o resultado nascer um menino se repita por exatamente duas vezes. Obviamente, se nascem exatamente dois meninos entre as quatro crianças, é porque as outras duas crianças são duas meninas.

Como podemos verificar, esse enunciado traz todas as características de uma questão de Probabilidade Binomial. Ficou entendido?

Vamos encontrar os elementos que lançaremos na fórmula da Probabilidade Binomial. Como são quatro crianças, então N=4.

A questão pede exatamente dois meninos, então podemos considerar que “menino” é o evento sucesso, e S=2.

Conseqüentemente, “menina” é o evento fracasso, e F=2. Certo?

Pois bem! Sabendo disso, nosso próximo passo será calcular duas probabilidades: a de ocorrência de um evento sucesso, e a de ocorrência de um evento fracasso! Faremos:

Æ P(menino)=? Ora, se vai nascer uma criança, então são dois os resultados possíveis!

Queremos que seja menino. Quantos resultados satisfazem essa exigência? Somente um, claro! Daí, teremos:

Æ P(menino)=(1/2) Com isso, já encontramos a probabilidade do evento sucesso! Resta-nos calcular a probabilidade do outro resultado. Teremos: Æ P(menina)=? Seguindo o mesmíssimo raciocínio acima, encontramos que: Æ P(menina)=(1/2) Finalmente, aplicando a equação da Probabilidade Binomial, teremos:

P(de “s” eventos sucesso)=[Combinação N, S]x [P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]

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