aula 16 - trigonometria

aula 16 - trigonometria

(Parte 1 de 8)

w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos

Olá, amigos!

Novamente pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 16 na semana passada. Este final de ano está muito corrido e atribulado!

Daremos hoje início a um novo assunto: Trigonometria!

Como de praxe, apresentaremos muitas questões de concursos passados que servirão no nosso aprendizado, e também para sabermos qual é a profundidade exigida deste assunto dentro das provas de Raciocínio Lógico.

Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto de Matrizes e Sistemas Lineares e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência. Vamos a elas!

DEVER DE CASA 01. (AFC/97) Considerando-se as matrizes

eB = 

A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a) -10 b) -2 c) I d) 2 e) 10

Sol.:

Simbolicamente a matriz D é dada por: D = AtB-1, onde At é a transposta de A, e B-1 é a inversa de B. 1º passo) Cálculo da matriz transposta de A.

42 e queremos a sua transposta.

Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna, e só! Teremos, pois, que a matriz At será a seguinte:

2º passo) Cálculo da matriz inversa de B.

1 e queremos a sua inversa B-1.

Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz B pela sua inversa B-1 é igual a matriz identidade. Portanto, teremos:

B-1 x B = IÆ 

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2 Após a multiplicação das matrizes, teremos:

dcdc baba 2

Para que as duas matrizes acima sejam iguais é necessário que: a+b = 1 (I) a+2b = 0 (I) c+d = 0 (I) c+2d = 1 (IV)

Æ a+b = 1Æ -2b + b = 1 Æ b = -1
Æ a+b = 1Æ a + (-1) = 1 Æ a = 2
Æ c+2d = 1Æ -d + 2d = 1 Æ d = 1
Æ c+d = 0Æ c + 1 = 0 Æ c = -1

Encontraremos os valores de a, b, c e d. De (I), temos que: a = -2b. Substituindo esse resultado em (I), teremos: De (I), obtemos o valor de a: De (I), temos que: c = -d. Substituindo esse resultado em (IV), teremos: De (I), obtemos o valor de c: Daí, a inversa da matriz B será a seguinte matriz:

3º passo) Cálculo da matriz D = At B-1

Multiplicando as duas matrizes, teremos como resultado:

A questão solicita a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, daí: 1 + (-3) = -2 (Resposta: alternativa B!)

a) 5b) 10 c) 20 d) 40 e) 80

02. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a:

Sol.: Usaremos a seguinte propriedade dos determinantes:

Æ Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M. det (k.M) = kn det(M) w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos

Aplicando a propriedade acima para calcular o determinante da matriz 2A, teremos: det (2A) = 23 det(A)

Daí: Æ det (2A) = 8 det(A)

Æ det (2A) = 8 x 5 E, portanto: det (2A) = 40 (Resposta: alternativa D!)

03. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10

Sol.:

Na solução desta questão usaremos a propriedade usada na solução da questão anterior e também a seguinte propriedade:

Æ Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M)

Designaremos a matriz qualquer comentada no enunciado por M.

Segundo o enunciado, M é uma matriz de segunda ordem e det(M)=2, e ele deseja o cálculo do determinante do dobro de sua matriz transposta, ou seja, o determinante da matriz 2Mt.

Æ det(2Mt) = 2 . det(Mt) = 4 . det(M) = 4 . 2 = 8(Resposta: alternativa D!)

Vamos ao cálculo do determinante da matriz 2Mt.

04. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

Sol.:

A solução desta questão é praticamente idêntica a da anterior, e usaremos as mesmas duas propriedades.

Solicita-se no enunciado o determinante da matriz Y = 3Z = 3Xt

Segundo o enunciado, X é uma matriz quadrada de terceira ordem e det(X)=3.

Vamos ao cálculo do determinante da matriz Y = 3Xt. Æ det (Y) = det(3Xt) = 3 . det(Xt) = 27 . det(X) = 27 x 3 = 81 Resposta: alternativa E!

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4 05. (Oficial de Chancelaria 2002) Dada a matriz:

e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a: a) -1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 Sol.:

Na solução dessa questão, usaremos a seguinte propriedade:

Æ Seja A-1 a matriz inversa de A, então a relação entre os determinantes de A-1 e A é dado por:

Segundo o enunciado, o determinante da matriz inversa de A é igual a 1/2, ou seja, det(A-1) = 1/2.

Aplicando a propriedade descrita acima, obteremos o determinante da matriz A. Teremos:

1 – X = 2Æ X = -1 (Resposta: Alternativa A)

Æ det(A) = 1 . 1 – X . 1 Æ det(A) = 1 – X Mas já sabíamos que det(A)=2, daí podemos obter o valor de X. Teremos: 06. (BNB 2002 FCC) Dadas as matrizes c ba

, de determinantes não nulos, para quaisquer valores de “a”, “b” e “c”, temos

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