Coordenadas Polares ou Cilíndricas

Coordenadas Polares ou Cilíndricas

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Coordenadas Polares

Mauri C. Nascimento – Dep. De Matemática – FC – Unesp/Bauru 10/1/2004

Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P=(a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo y. Podemos também descrever a localização de P a partir da distância de P à origem O do sistema e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento

OP, caso P≠O. Denotamos P=(r,θ) onde r é a distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso P≠O. Se P=O, denotamos P=(0,θ), para qualquer θ. Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares.

Exemplo.

Ponto Coordenada cartesiana Coordenada polar

E (1,1) (2,π/4) F (-2,2) ( 2,3π/4)

Para representar pontos em coordenadas polares, necessitamos somente de um ponto O do plano e uma semi–reta com origem em O. Representamos abaixo um ponto P de coordenadas polares (r,θ), tomando o segmento OP com medida r.

O ponto fixo O é chamado polo e a semi–reta, eixo polar.

Denotamos um ponto P por (r,–θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário.

Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar.

Exemplo. (1,–π/4) = (1, 7π/4)

Denotamos P por (–r,θ), para r positivo, se P=(r,π + θ), ou seja, consideramos (–r,θ)=(r,θ+π). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao polo.

Exemplo. (3,π/2) = (–3,3π/2)

(r,θ) = (r,θ+2π) = (r,θ+4π) = (r,θ – 2π) = (r,θ – 4π) =

Dado um ângulo θ, temos θ = θ+2kπ, para todo k inteiro. Assim, Exemplo. (5,π/2) = (5, π/2 + 10π) = (5, 21π/2)

Mudança de coordenadas

Um ponto P do plano pode ser representado em coordenadas cartesianas por (x,y) ou em coordenadas polares por (r,θ). Para facilidade de comparação entre os dois sistemas, consideramos o ponto O coincidindo com a origem do sistema cartesiano e a semi-reta, a parte do eixo x, à direita de O.

a) Mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas

Seja P um ponto com coordenadas polares (r,θ). Considerando inicialmente 0<θ<π/2, do triângulo retângulo OPx obtemos as seguintes relações:

Se θ=0, temos P no eixo das abcissas. Logo, P tem coordenadas cartesianas (x,0) e coordenadas polares (x,0) (r=x e θ=0). Assim, x = x×1 = r cos θ e y = 0 = r×0 = r sen θ.

Para os casos onde θ≥π/2, fica como exercício mostrar que também x = r cos θ e y = r sen θ.

b) Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares

Seja P um ponto com coordenadas cartesianas (x,y). Como vimos acima, considerando P com coordenadas (r,θ), temos as relações x=rcosθ e y=rsenθ.

Se r = 0, isto é, x = y = 0 então podemos tomar θ qualquer. Se r ≠ 0, θ é tal que cosθ = x/r e senθ = y/r.

Exemplo. Se P tem coordenadas polares (–2,π/3), então x=–2cos(π/3) e y=–2sen(π/3). Logo, x=–1 e y=−3, logo, P tem coordenadas cartesianas (–1, −). 3

1= então θ = 3π/4.

Podemos também transformar equações cartesianas em polares e vice-versa.

Exemplo. A circunferência de centro na origem e raio 3 tem equação cartesiana x2+y2=9.

Como x = r cos θ e y = r sen θ então r2 = 9, ou seja, r=3 é a equação polar dessa circunferência.

Exemplo. Se uma curva tem equação polar r = cos θ + sen θ, multiplicando ambos os membros da igualdade por r, obtemos r2 = rcos θ + rsen θ. Logo, x2 + y2 = x + y. Manipulando essa equação chegamos em (x-½)2 + (y-½)2 = ½, ou seja, na equação de uma circunferência.

Exercícios. 1) Transforme coordenadas cartesianas em coordenadas polares:

a) (1,π/2) b) (–2,49π/6)c) (3,−5π/3) d) (0,π/9) e) (7,π)
a) (x-1)2 + y2 = 1b) (x+2)2 + (y-3)2 = 13 c) x = -2 d) y = 3 e) y = x

2) Transforme coordenadas polares em coordenadas cartesianas: 3) Encontre a equação polar para cada uma das seguintes equações cartesianas. 4) Encontre a equação cartesiana para cada uma das seguintes equações polares.

a) r = 5b) r = 2sen θ c) r = 2cos θ - 4sen θ d) θ = π/3 e) sen θ = cos θ

f) r = 5cosθθsen32− 5) Encontre as equações polares das seguintes curvas:

Respostas. 1) a) (2,π/4)b) (2, 7π/4) c) (2,π/6) d) (4,0) e) (3,3π/2)
2) a) (0,1)b) (−1,−3) c) (
)d) (0,0) e) (−7,0)

5) a)

b)

r = tg(θ)sec(θ)

Gráficos em coordenadas polares

O uso de coordenadas polares simplifica, em alguns casos, equações de curvas. Apresentaremos alguns exemplos abaixo.

Exemplo 1. r=c, c uma constante positiva. Esta equação representa os pontos do plano, cuja distância ao polo é igual a c, isto é, representa a circunferência de raio c e centro no polo. Observe que r=-c representa a mesma circunferência.

Exemplo 2. θ=θ 0 onde θ 0 ≥ 0. Esta equação representa os pontos P=(r,θ 0) onde r é um número real qualquer. Logo, θ=θ 0 representa uma reta passando pelo polo e que forma um ângulo de θ 0 com o eixo polar.

Exemplo 3. r=θ, θ≥0. Representa os pontos P=(r,r) onde r≥0, ou seja, os pontos P tais que a distância de P ao polo é igual ao ângulo, em radianos, entre o eixo polar e o

temos os gráficos de r=θ e r=–θ, para 0≤θ≤4π

segmento OP. A equação geral da espiral é dada por r=aθ, considerando θ≥0. Abaixo

Procedimentos para traçar gráficos

1) Simetrias. Se a equação não se altera ao trocar: a) θ por –θ: temos simetria em relação à reta θ=0 (eixo x) b) θ por π–θ: temos simetria em relação à reta θ=π/2 (eixo y) c) θ por π+θ: temos simetria em relação ao polo. É equivalente a trocar r por −r, pois

(−r,θ)=(r,θ+π). Logo (r,θ)=(−r,θ) ⇔ (r,θ)=(r,θ+π). 2) Verificar se a curva passa pelo polo (r=0)

3) Determinar os pontos da curva variando θ a partir de θ=0 4) Verificar a existência de pontos críticos (máximos e mínimos)

5) Verificar se r não se altera ao trocar θ por θ+2π. Caso não haja alteração, basta variar θ entre 0 e 2π.

No exemplo 1, temos simetrias em relação aos eixos coordenados e ao polo. No exemplo 2, temos simetria em relação ao polo.

No exemplo 3, não temos nenhum tipo de simetria e ao trocar θ por θ+2π, temos variação no valor de r.

As seguintes relações trigonométricas serão úteis aqui: • cos θ = cos (–θ), cos θ = –cos (π–θ) e cos θ = cos (θ+2π)

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