Provas de Estruturas

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(Parte 1 de 4)

Provas de Introducao a Algebra

Manuel Ricou

Departamento de Matematica Instituto Superior Tecnico

19 de Janeiro de 2008

Conteudo

1.1 1o Teste: 12/4/20003
1.2 2o Teste: 18/5/20003
1.3 3o Teste: 15/6/20004
1.4 1o Teste: 5/4/20014
1.5 2o Teste: 10/5/20015
1.6 3o Teste: 12/6/20016
1.7 1o Teste: 10/4/20026
1.8 2o Teste: 15/5/20027
1.9 3o Teste: 7/6/20027
1.10 1o Teste: 18/3/20038
1.1 2o Teste: 29/4/20039
1.12 3o Teste: 27/5/20039
1.13 1o Teste: 30/3/200410
1.14 2o Teste: 27/4/200410
1.15 3o Teste: 25/5/20041
1.16 1o Teste: 31/3/200512
1.17 2o Teste: 28/4/200512
1.18 3o Teste: 25/5/200513
1.19 1o Teste: 27/3/200613
1.20 2o Teste: 8/5/200614
1.21 3o Teste: 5/6/200615

1 Enunciados de Testes 3

2.1 1o Exame: 1/7/200217
2.2 2o Exame: 24/7/200218
2.3 1o Exame: 4/7/200319
2.4 2o Exame: 21/7/200320
2.5 1o Exame: 9/7/20042
2.6 2o Exame: 24/7/200423
2.7 1o Exame: 1/7/200524
2.8 2o Exame: 18/7/200525
2.9 1o Exame: 7/7/200626

2 Enunciados de Exames 17 i

2.10 2o Exame: 21/7/200627

i CONTEUDO

3.1 1o Teste: 10/4/200229
3.2 2o Teste: 15/5/200231
3.3 3o Teste: 7/6/200234
3.4 1o Teste: 18/3/200337
3.5 2o Teste: 29/4/200340
3.6 3o Teste: 27/5/200343
3.7 1o Teste: 30/3/200447
3.8 2o Teste: 27/4/200451
3.9 3o Teste: 25/5/20045
3.10 1o Teste: 31/3/200560
3.1 2o Teste: 28/4/200562
3.12 3o Teste: 25/5/200564
3.13 1o Teste: 27/3/200667
3.14 2o Teste: 8/5/200670
3.15 3o Teste: 5/6/200672

3 Testes Resolvidos 29

4.1 1o Exame: 1/7/20027
4.2 2o Exame: 24/7/200282
4.3 1o Exame: 4/7/200385
4.4 2o Exame: 21/7/200390
4.5 1o Exame: 9/7/200491
4.6 2o Exame: 24/7/200496
4.7 1o Exame: 1/7/2005100
4.8 2o Exame: 18/7/2005104
4.9 1o Exame: 7/7/2006108

Capıtulo 1 Enunciados de Testes

1. Considere a permutacao sao as suas orbitas? Qual e a sua paridade?

2. Sejam G e H grupos. Demonstre as seguintes afirmacoes:

a) Se f : G → H e um homomorfismo de grupos, e I e a identidade de G, entao f(I) e a identidade de H.

b) Se A e B sao subgrupos do grupo G, A ∩ B e tambem subgrupo de G.

3. Seja A um anel com identidade I. Diga se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas com uma demonstracao ou um exemplo.

a) Se B e subanel de A entao B tem identidade I. b) A equacao x2 = I tem no maximo as solucoes x = I e x = −I.

4. Sendo G = {1,i,−1,−i} o grupo formado pelas raızes quartas da unidade, quais sao os homomorfismos f : G → G? Quais sao os automorfismos f : G → G? Sugestao: Determine f(i).

1. Seja d o maximo divisor comum de 663 e 969.

a) Determine uma solucao da equacao 969x + 663y = d.

4 CAPITULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES c) Determine todas as solucoes da equacao 969x + 663y = d. 2. Os numeros 1.234.567 e 1.234.572 sao primos entre si? Porque? 3. Seja n ∈ N. As seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas? a) Existe pelo menos um numero primo p > n. b) Existem n naturais consecutivos que nao sao primos.

4. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivo em A.

b) Mostre que N(A) e finito e tem m elementos se e so se m ∈ N e a menor solucao da equacao nI = 0. Sugestao: Considere o nucleo do homomorfismo f : Z → A dado por f(n) = nI.

1. Considere o anel Z55.

a) Quais sao os divisores de zero neste anel? b) Resolva a equacao x2 = 4 em Z55.

c) Suponha que h : Z5 → Z55 e um homomorfismo de aneis. Quais sao os valores possıveis para h(1)?

2. Suponha que o anel A e um anel com caracterıstica 0. Prove que:

a) A tem um subanel isomorfo ao anel dos inteiros.

b) Se A e um corpo, entao A tem um subcorpo isomorfo ao corpo dos racionais.

3. Esta questao refere-se a polinomios com coeficientes em Z3.

a) Diga se cada uma destas particoes e par ou ımpar.

b) Quais sao as orbitas de piρ? 2. Sendo (G,∗) um grupo, demonstre as seguintes afirmacoes:

a) Se N e H sao subgrupos de G entao N∩H e um subgrupo de G. b) Se G e abeliano, qualquer subgrupo de G e normal.

c) O elemento neutro de qualquer subgrupo de Ge o elemento neutro de G.

3. Seja A um anel unitario, com identidade I 6= 0.

a) Mostre que o produto de dois elementos invertıveis de A e um elemento invertıvel de A.

b) Um subanel de A pode ter uma identidade distinta da identidade de A? Porque? c) Se A tem 3 elementos, podemos concluir que A e isomorfo a (Z3,+,×)? Porque?

a) Determine uma solucao da equacao 2093x + 483y = d.

b) Determine todas as solucoes da equacao 2093x + 483y = 0. (Exprima a solucao na forma (x,y) = k(a,b),k ∈ Z.) c) Determine todas as solucoes da equacao 2093x + 483y = d.

2. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivo em A. Prove que N(A) = {nI : n ∈ N}.

3. Determine todos os naturais x que satisfazem simultaneamente as duas congruencias x ≡ 2 (mod 17) e x ≡ 5 (mod 13).

de Fermat”.

a) Demonstre que se Gn e o produto dos numeros de Fermat Fk, 0 ≤ k ≤ n, ou seja, se Gn = F0 × F1 × · × Fn, entao Fn+1 = Gn + 2, para qualquer n ≥ 0.

b) Prove que se n 6= m entao Fn e Fm sao primos entre si.

6 CAPITULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES

1. Considere neste exercıcio o anel Z216.

a) Quantos subaneis tem o anel Z216? Quantos geradores tem este anel?

2. Seja h : Zn → Zm um homomorfismo. Demonstre as seguintes afirmacoes:

a) Se h e injectivo entao n e um factor de m. b) Se h e sobrejectivo entao n e multiplo de m.

a) Determine o inverso de x2 + 1 em A/I. b) Existem elementos nao-invertıveis no anel A/I? c) Os elementos do anel A/I podem ser representados na forma

d) Na notacao da alınea anterior, quais sao os factores irredutıveis do polinomio x3 + x + 1 no anel dos polinomios com coeficientes em A/I?

a) Mostre que H com o produto usual de matrizes e um grupo.

b) Sendo G o grupo formado por todas as matrizes invertıveis, com a mesma operacao, mostre que H e um subgrupo normal de G.

3. Sendo J e K ideais de um dado anel A, prove que L = {x + y : x ∈ J,y ∈ K} e um ideal de A.

4. Suponha que x e y pertencem a um anel A.

a) Mostre que x2 −y2 = (x−y)(x+y) para quaisquer x,y ∈ A se e so se A e um anel abeliano.

b) Supondo que A e abeliano e x2 = y2, temos necessariamente x = ±y? produto usual de complexos, e o grupo (Z2,+). Quais sao os homo- morfismos h : G → Z2? Sugestao: Comece por recordar que o nucleo de h e um subgrupo de G.

1. Esta questao refere-se ao anel dos inteiros Z. Seja J =< 24 > o conjunto dos multiplos de 24, e K =< 36 > o conjunto dos multiplos de 36.

a) Qual e o menor elemento positivo de J ∩ K? Quais sao os elementos de J ∩K? b) Qual e o menor ideal de Z que contem os ideais J e K?

a) Qual e o menor natural d para o qual a equacao acima tem solucoes? Resolva a equacao para esse natural d.

b) O elemento 105 tem inverso no anel Z154? Quantos elementos tem < 105 >? c) O subanel < 105 > tem identidade? Caso afirmativo, qual e essa identidade?

4. Prove que se n e natural entao n∑

5. Sejam n,m ∈ N, D = mdc(n,m) e M = mmc(n,m). Prove que nm=DM.

Sugestao: Supondo que n = aD e m = bD, mostre que qualquer multiplo comum de n e m e multiplo de abD.

a) Determine o maximo divisor comum de p(x) e q(x). b) Qual e menor multiplo comum de p(x) e q(x)?

8 CAPITULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES a) Quantos elementos tem o anel A/I? b) Determine a tabuada da multiplicacao em A/I.

4. Seja α ∈ R um numero irracional algebrico sobre Q. Seja ainda J o conjunto dos polinomios p(x) ∈ Q[x] tais que p(α) = 0.

b) Prove que Q[α] e um corpo.

tais que 1

a) Mostre que S1 com o produto usual de complexos e um grupo.

c) Seja R = ∪∞ n=1Rn. R e igualmente um subgrupo de S1? grupo das permutacoes em {1,2,3}, e Z2 o grupo aditivo com dois elementos).

3. Sejam A e B aneis, e f : A → B um homomorfismo de aneis.

a) Prove que f(O) = O∗, onde O e O∗ sao os zeros de respectivamente A e B.

b) Prove que f(−x) = −f(x) para qualquer x ∈ A. c) Se x e invertıvel em A, temos sempre f(x) invertıvel em B? d) Mostre que f(nx) = nf(x), para quaisquer n ∈ Z e x ∈ A.

Sugestao: Deve recordar a definicao de na, para n ∈ Z e a ∈ G, onde G e um qualquer grupo aditivo. Para n > 0, deve proceder por inducao.

1. a) Quantos divisores naturais tem 2.0?

3. Determine todas as solucoes da equacao x2y = 108, onde x e y sao inteiros. Sugestao: Recorde o teorema fundamental da Aritmetica.

4. Suponha que a,b e m sao inteiros fixos. Prove que a) ax ≡ b (mod m) tem solucoes inteiras x se e so se b e multiplo de mdc(a,m).

b) ax ≡ 0 (mod m) tem solucoes x 6≡ 0 (mod m) se e so se ax ≡ 1 (mod m) nao tem solucoes (supondo m 6= 0).

a) Quantos elementos tem J? Quantos geradores tem J? b) J tem identidade? Se J tem identidade, qual e a sua identidade?

a) Quais dos polinomios p(x) e q(x) sao irredutıveis em Q[x]?

a) Supondo que m(x) tem grau n, prove que o espaco vectorial Q[α] tem dimensao n sobre o corpo Q.

b) Prove que Q[α] e um corpo, e uma extensao algebrica de Q.

3. Suponha que p(x),q(x) ∈ Z[x]. Diga (com a correspondente justificacao!) se cada uma das seguintes afirmacoes e falsa ou verdadeira.

a) Se p(x) e irredutıvel em Q[x] entao p(x) e irredutıvel em Z[x]. b) Se p(x) e q(x) sao primitivos, entao p(x)q(x) e primitivo.

10 CAPITULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES

4. Suponha que G e H sao grupos finitos, respectivamente com n e m elementos, e seja f : G → H um homomorfismo de grupos.

a) Prove que se f e injectivo entao n e factor de m. b) O que pode concluir sobre f se n e m sao primos entre si?

1. Diga, em cada caso, se a afirmacao e verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstracao, ou um contra-exemplo. Nesta questao, (G,∗) e um grupo, e (A,+,×) e um anel unitario.

a) Qualquer subgrupo de G contem a identidade de G.

b) Se H e K sao subgrupos de G, e H e um subgrupo normal de G, entao H ∩ K e um subgrupo normal de K.

f) Se a ∈ A, a equacao x2 = a2 tem um numero finito de solucoes em A.

2. Recorde que o grupo diedral Dn e o grupo de simetria do polıgono regular de n lados, e tem 2n elementos (n reflexoes e n rotacoes).

Designamos por R2 o grupo multiplicativo das raızes quadradas da unidade.

a) Seja f : Dn → R2 dada por

−1, se σ e uma reflexao.

Mostre que f e um homomorfismo de grupos. Podemos concluir daqui que as rotacoes em Dn formam um subgrupo normal de Dn? b) Determine todos os subgrupos de D5. Quais destes subgrupos sao normais? sugestao: Pode ser conveniente verificar que qual- quer subgrupo que contenha uma rotacao r 6= 1 contem todas as rotacoes em D5.

1. Esta questao refere-se a equacoes ax ≡ b (mod 216), com a,b,x ∈ Z. a) Determine as solucoes da equacao homogenea 10x ≡ 0 (mod 216).

b) Determine as solucoes da equacao 10x ≡ 6 (mod 216). c) Quantos naturais a ≤ 216 tem inverso (mod 216)?

2. Nesta questao, A e um anel unitario, com identidade I 6= 0, e φ : Z → A e o homomorfismo de aneis dado por φ(n) = nI.

a) Prove que φ(Z) e o menor subanel de A que contem I.

b) Mostre que se A e ordenado e A+ = φ(N) entao A e isomorfo a

Z. sugestao: Verifique primeiro que se A e ordenado entao φ e injectiva, i.e., a caracterıstica de A so pode ser 0.

3. Designamos aqui por S(n) a soma dos divisores naturais de n ∈ N.

c) Resolva a equacao S(n) = 399 = 3 × 7 × 19. sugestao: Quais podem ser os factores pk na decomposicao de n em produto de potencias de primos?

1. Este grupo refere-se ao anel A = Z1155.

a) Determine uma solucao particular da equacao 60x = 15, com x ∈ Z1155. Quantas solucoes tem esta equacao? b) O subanel B =< 60 >⊂ A tem identidade? Em caso afirmativo, qual e essa identidade?

2. Neste grupo, p(x) ∈ Z3[x], e F e o anel das funcoes f : Z3 → Z3. Designamos por φ : Z3[x] → F o homomorfismo de aneis que transforma cada polinomio na respectiva funcao polinomial, e g : Z3 → Z3 e a funcao dada por g(0) = g(1) = 2, e g(2) = 1.

a) Determine p(x) tal que φ(p(x)) = g. b) Qual e a solucao geral da equacao φ(p(x)) = g?

3. Este grupo refere-se ao anel dos inteiros de Gauss Z[i].

a) Suponha que n,m ∈ Z, e p = n2+m2 e um inteiro primo. Mostre que n + mi e um elemento irredutıvel de Z[i].

b) Considere o inteiro de Gauss z = 15(2 + 3i)2. Quantos divisores de z existem em Z[i]? sugestao: Como calcula o numero de divisores k ∈ N de um dado n ∈ N?

4. Seja K um corpo e A = K [[x]] o anel das series de potencias com coeficientes em K.

12 CAPITULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES a) Mostre que os elementos invertıveis de A sao as series da forma∑∞ n=0 anxn, com a0 6= 0.

b) A e um d.i.p. e/ou um d.f.u.?

1. Diga, em cada caso, se a afirmacao e verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstracao, ou um contra-exemplo. Nesta questao, (G,∗) e um grupo, e (A,+,×) e um anel unitario.

a) Qualquer subgrupo de G contem a identidade de G. b) Qualquer subanel unitario de A contem a identidade de A. c) Se x ∈ G e x2 = e, onde e e a identidade de G, entao x = e. d) Se x ∈ A e x2 = 0 entao x = 0.

2. O grupo GL(2,R) e formado pelas matrizes 2 × 2, invertıveis, com entradas em R, com o produto usual de matrizes. Para cada um dos seguintes exemplos, diga se H e um subgrupo de GL(2,R), e, caso afirmativo, se H e um subgrupo normal de GL(2,R).

quartas da unidade, e Z2 = {0,1} e o usual grupo aditivo com dois elementos.

a) Determine todos os homomorfismos de grupo f : Z2 → G.

b) Suponha que H e um grupo, e g : G → H e um homomorfismo sobrejectivo. Classifique o grupo H.

1. Diga, em cada caso, se a afirmacao e verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstracao, ou um contra-exemplo.

a) Todos os grupos nao abelianos com 8 elementos sao isomorfos entre si.

b) No grupo diedral Dn (grupo de simetria do polıgono regular de n lados), as rotacoes formam um subgrupo normal de Dn.

2. Neste grupo, x,y e z0 sao numeros inteiros.

a) Qual e o menor natural z0 para o qual a equacao 2279x+731y = z0 tem solucoes? b) Sendo z0 o natural determinado na alınea anterior, qual e o menor natural x que e solucao da equacao 2279x + 731y = z0?

3. Suponha que n 6= 4 e um natural, e mostre que n|(n − 1)! se e so se n nao e primo. sugestao: Considere sucessivamente os casos

1. Esta questao refere-se ao anel Z808.

a) Quantos subaneis existem em Z808? Quantos elementos de Z808 sao invertıveis? Quantos elementos de Z808 sao divisores de zero? b) Quantos elementos tem o subanel < 303 >? Quais sao os seus geradores? Qual e a sua identidade?

2. Diga, em cada caso, se a afirmacao e verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstracao, ou um contra-exemplo.

c) Exactamente um dos subaneis de Z808 e um corpo.

3. Recorde que, se p ∈ N e primo, entao todos os elementos a ∈ Z∗ p satisfazem ap−1 = 1. Recorde igualmente o Teorema do Resto.

a) Quais sao os factores irredutıveis do polinomio xp−1−1 em Zp[x]? b) Use a factorizacao acima para concluir que (p−1)! ≡ −1 mod p.

1. Diga, em cada caso, se a afirmacao e verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstracao, ou um contra-exemplo. Nesta questao, (G,∗) e um grupo, e (A,+,×) e um anel unitario.

a) A equacao x2 = x tem uma unica solucao em G, que e a identidade de G.

14 CAPITULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES b) Se f : G → G e um homomorfismo de grupos, entao o nucleo de f e um subgrupo normal de G.

c) Se B e um subanel de A, entao B e tambem um ideal de A.

d) Se f : A → A e um homomorfismo de aneis, entao f(nx) = nf(x), para quaisquer x ∈ A e n ∈ N.

2. Designamos aqui por Rn = {z ∈ C : zn = 1} o grupo das raızes-n da unidade com o produto usual de complexos.

a) Mostre que se n e multiplo de m entao Rm e subgrupo de Rn. b) O grupo R2 ⊕ R4 e isomorfo a R8? c) Considere o homomorfismo de grupos f : R12 → C∗ dado por

1. Diga, em cada caso, se a afirmacao e verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta convenientemente.

2. Considere nesta questao o anel A = Z75, e seja B o subanel de A com 15 elementos.

a) Quais sao os ideais de A? Quantos elementos tem cada um desses ideais? b) Quantos divisores de zero existem em A? Quantos elementos tem A∗? c) O anel B e isomorfo ao anel Z15? Quais sao os geradores de B, i.e., quais sao os elementos x ∈ B tais que B =< x >? d) Determine todas as solucoes da equacao x2 = 1 em A.

3. Numa aplicacao do algoritmo de criptografia RSA, sabe-se que a chave publica e r = 49, e o modulo e N = 10.403. Observando que 10.403 e o produto dos primos 101 × 103, qual e o valor da chave privada?

1. Diga, em cada caso, se a afirmacao e verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstracao, ou um contra-exemplo.

a) Existem polinomios p(x) ∈ Z[x] que sao irredutıveis em Q[x] e redutıveis em Z[x].

b) Se D e um domınio integral, entao qualquer elemento x ∈ D que seja primo e irredutıvel.

d) Se K e um corpo, e m(x) ∈ K[x] e um polinomio irredutıvel com grau ≥ 2, existe um corpo L que e uma extensao de K onde m(x) tem pelo menos uma raız.

3. Suponha que G e um grupo com 14 elementos, e recorde que G tem pelo menos um elemento de ordem 2.

b) Mostre que G = HK. Teremos sempre G ' H ⊕ K? sugestao: Observe que H ⊕ K e comutativo.

(Parte 1 de 4)

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