A matemática e a arte da guerra

A matemática e a arte da guerra

(Parte 1 de 3)

As Matemáticas e a Arte da Guerra

Resumo: O presente trabalho apresenta uma interrelação entre a Matemática e a arte das Guerras. Trataremos aqui sobre os vestígios militares e seus efeitos na história da Matemática e ainda sobre as mudanças no caráter da guerra induzida pelo pensamento matemático, os resultados obtidos através dessa matemática, da tecnologia matemática e ainda apresenta uma ligação da Matemática, ou da Educação Matemática, com a construção de um mundo de paz.

Os engenhos bélicos de Arquimedes:

(218 - 201 a.C)

Plutarco, um dos mais úteis e cativantes prosadores gregos do período Greco-Romano, conta um episódio relativo à participação de Arquimedes no terrível conflito armado que opôs Roma a Cartago entre os anos 218 - 201 a.C.  Ele conta que Hipócrates lançou um boato sobre Marco Claudio Marcelo, General romano, para se tornar tirano de Siracusa.

Marcelo, sentindo-se insultado e não podendo provar que o boato era falso, atacou Siracusa por terra e por mar.

As máquinas de Arquimedes iriam revelar-se muito poderosas e decisivas para atrasar a conquista de Siracusa.

Arquimedes não dava muita importância às máquinas que construía, para ele eram meros divertimentos. Estas máquinas foram construídas a pedido do rei Hierão e fizeram com que Arquimedes fosse muito estimado por parte da população em geral.

Eudoxos e Archytas foram os primeiros a fabricar mecanismos semelhantes aos de Arquimedes.

Estes mecanismos serviam para sustentar verdades geométricas que pareciam intrigantes.

 

Platão considera que estas construções eram mera adulteração da boa geometria. Para Platão os elementos da matemática não são realidades do mundo físico, são permanentes, preexistentes, estão fora do sujeito e são independentes dele. Para Platão conhecemos os seres Matemáticos através da contemplação e não necessitamos de experiências físicas.

Os mecanismos foram repudiados pelos filósofos e passaram a fazer parte da arte militar e não da geometria. Foi aqui que surgiu a separação entre ciência purae a ciência aplicada.

Em carta enviada ao Rei Hierão Arquimedes escreveu a sua célebre frase onde diz que conseguiria mover este mundo:   “ Dá-me um ponto de apoio e eu moverei o mundo”.

Para demonstrar ao Rei Hierão o poder da sua teoria, Arquimedes moveu, sem grande esforço, um grande navio carregado com a carga habitual.

 

O Rei, apercebendo-se das potencialidades desta descoberta, pediu a Arquimedes que construísse mecanismos para serem usados em situações de guerra.

Quando os Romanos atacaram Siracusa, a população não acreditava que pudessem evitar a conquista de Siracusa. Mas Arquimedes começou a lançar pedras enormes e hastes de âncoras. Vários navios foram afundados e muitas pessoas foram mortas.

  Arquimedes destruiu a sambuca (Máquina de guerra da Idade Média, espécie de ponte de assalto)de Marcelo arremessando pedras com dez toneladas.

Arquimedes demonstra aqui a sua perspicácia. Os mecanismos que havia construído serviam, não só para alcançar alvos a longas distâncias, mas, também, para combater o inimigo quando este se encontra a curtas distâncias (ao contrário do que os Romanos pensavam).

Os mecanismos de Arquimedes eram tão poderosos que davam aos Siracusanos uma força quase divina.

Marcelo conseguiu escapar afirmando que não conseguiria vencer os Siracusanos e a sua geometria.

Podemos notar que, para Plutarco, não foram os Siracusanos que derrotaram Marcelo e as suas tropas, mas sim o gênio geométrico de Arquimedes.

Uma das frases de Plutarco: "O corpo é o instrumento da alma e a alma o instrumento de Deus”. Neste caso, Arquimedes é a alma do Siracusanos e será, portanto, um instrumento de Deus.

Mais uma vez, é referido o fato de Arquimedes não dar grande importância aos mecanismos que construía e ter dedicado o seu espírito e a sua sabedoria à investigação da geometria pura.

Fica bem claro, nesta parte do texto, que Plutarco era um platonista e que considerava ser mais digno estudar geometria pura que aplicá-la a finsvulgares.

Podemos também ver o fascínio de Plutarco pela demonstração (devido à sua exatidão e poder). A geometria é mais uma vez valorizada por tratar as questões em termos puros e simples.

 

São aqui relatados alguns episódios da vida de Arquimedes: constantemente enfeitiçado por uma sereia que seria a geometria, Arquimedes se esquecia da sua higiene pessoal e até de comer.

Mesmo quando arrastado para o local de banhos, continuava a desenhar figuras geométricas.

Arquimedes terá pedido que, sobre a sua sepultura, colocassem simplesmente um cilindro incluindo uma esfera e uma inscrição sobre a proporção dos seus volumes (Arquimedes provou que o volume da esfera é exatamente dois terços do volume do cilindro).

 Durante este combate Arquimedes foi morto. 

 Na 2.ª Guerra Púnica, contra o ataque violento do exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marcelo, Arquimedes criou aparatos, como:

Catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras (galera = Navio mercante de dois ou três mastros a remos e à vela) inimigas. Durante quase três anos, as máquinas de guerra inventadas por Arquimedes que lançavam dardos e pedras de até 150 quilogramas teriam sido as principais responsáveis pelas derrotas impostas pelos gregos ao exército de Marco Cláudio Marcelo, general romano que sitiava Siracusa.

Catapultas que se encontram na Bateria Histórica Cap. Cunha Matos, Museu do Exército Brasileiro em Santa Maria – RS

Idealizou os célebres "espelhos ustórios" (ustório = que queima, que facilita a combustão), espelhos curvos com os quais os defensores de Siracusa teriam queimado a distância - pela concentração dos raios solares - os navios romanos que sitiavam a região.

Espelhos curvos queimam navios romanos

Gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios romanos, afundando-os pela popa.

Plutarco conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado uma artimanha diabólica de Arquimedes. Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assalto e infligiu-lhe um cerco de 3 anos. Em 212 a.C. a cidade rendeu-se.

A evolução da arte da guerra no final do século XV e XVI possibilitaram outra saída para a geometria, e os matemáticos foram rápidos a responder através da elaboração de técnicas, concepção de instrumentos e escrita de livros. Heavy guns manufactured in single metal castings were longer, capable of more accurate fire, and were adjustable in elevation. Fortes armas fabricadas com a fundição de metal eram mais simples, capaz de disparos mais precisos, e foram reguláveis em elevação. Consequently, gunners needed instruments to measure both the inclination of the barrel and the distance to the target, together with a means of relating these two measurements. Por conseguinte, instrumentos de artilharia eram necessários para medir tanto a inclinação do tambor e a distância até o destino, quanto um meio de relacionar estas duas medidas. Geometers offered a variety of solutions to these problems, as well as designs for fortifications to withstand attack from the new artillery. Geômetras ofereciam uma variedade de soluções para esses problemas, bem como desenhos de fortificações para suportar o ataque da nova artilharia.

A Geometria da Guerra

The mathematicians of the Renaissance applied their geometry to all manner of practical disciplines - from navigation and surveying to cartography, perspective and dialling. Os matemáticos da Renascença tinham sua geometria aplicada a todos os tipos de disciplinas práticas - a partir de navegação e de vigilância à cartografia, de perspectiva e de marcação. They aimed to demonstrate the usefulness of geometry as well as its ingenuity and certainty, and to associate it with action, achievement and progress. Tiveram como objetivo demonstrar a utilidade e a segurança da geometria, bem como a sua capacidade de ação e realização associada ao progresso. Many new instruments were designed in this context, as the collections of the Museum of the History of Science amply demonstrate. Muitos novos instrumentos foram concebidos nesse contexto.

The speed with which the mathematicians responded to the novel set of problems thrown up by changes in the conduct of war is striking. A velocidade com que os matemáticos responderam ao novo conjunto de problemas colocados pela mudança na condução da guerra é surpreendente. It was in the sixteenth century that cannon came to be used in large numbers and their effect became critical to the outcome of military engagements; in the same period the geometry of war became a major branch of practical mathematics. To harness the capabilities of the new weaponry, gunners needed instruments to measure both the inclination of the barrel and the distance to the target, together with a means of relating these two measurements; the geometers offered a variety of solutions, as well as designs for fortifications to withstand attack from the new artillery. Foi no século XVI que o canhão veio a ser usado em grande escala e seus efeitos se tornaram decisivos para o resultado de batalhas e, no mesmo período, a geometria da guerra tornou-se um ramo importante da matemática prática. As guerras freqüentes na Europa do século XVI acrescentando a urgência do seu trabalho ajudou a justificar o protesto para a seriedade da sua ciência. As in other areas of practice, such as cartography or surveying, the mathematicians were quick to recognize an opportunity and they responded with enthusiasm - perhaps with over-enthusiasm, in view of the instruments and images on view in this exhibition. Em outras áreas de prática, como na cartografia ou agrimensura, os matemáticos foram rápidos em reconhecer uma oportunidade e eles responderam com entusiasmo.

Artilharia

The art of gunnery was complex and dangerous and the gunner's ability to fire reliably and accurately was frequently criticized. A arte do tiro era complexo e perigoso e a capacidade de fogo era freqüentemente criticada. Although mathematicians could not remedy variations in powder or in the form of individual guns, they did seek to improve gunnery by devising instruments for the measurement of shot, the elevation of guns and mortars, and the calculation of the range of fire. Embora os matemáticos não pudessem diminuir variações em pó ou sob a forma de armas individuais, eles procuravam melhorar o tiro pela elaboração de instrumentos para a medição de tiro, elevação dos canhões e morteiros e para o cálculo do intervalo de fogo. <>Calipers and gauges were devised to measure diameters and indicate weights. <>Sights and levels enabled the gunner to set appropriate elevations, and there was an enormous range of forms and styles for such instruments, including exotic combinations which could never have served in warfare. Instruments for these operations include calipers, gauges, quadrants, sights, levels and specialized rules. Instrumentos para essas operações incluem pinças, medidores, quadrantes e níveis e regras especializadas. Two or more of these elements were often combined in a single design, in a marketing initiative typical of mathematical instrument makers. Dois ou mais desses elementos foram muitas vezes combinados em um único projeto, em uma iniciativa de marketing típica de fabricantes de instrumentos matemáticos. Other mathematical instruments such as sundials were also incorporated in the more exotic hybrids, which typically date from the sixteenth or earlier seventeenth centuries.

A previsão de intervalo em relação à elevação de uma arma foi considerada o auge da artilharia como uma ciência matemática, e também seu problema mais difícil. <>From Galileo and Newton to the humble compilers of tables, mathematicians demonstrated the value of their art by studying the fleeting path of the shot through the air. A partir de Galileu e Newton, matemáticos demonstraram o valor de sua arte, estudando o percurso através do ar. Although heavy guns were often fired for maximum destructive effect at point blank range (with the barrel horizontal), greater range could be achieved by elevating the gun.

These instruments were constructed in an enormous variety of forms and styles, with their scales diversely graduated in degrees, inches or 'gunner's points'. Estes instrumentos foram construídos em uma enorme variedade de formas e estilos, com suas escalas medidas em graus, polegadas ou 'pontos de artilharia. In his text of 1537 inaugurating the 'new science' of artillery, Niccolò Tartaglia described a quadrant which was inserted into the muzzle of the gun. Em seu texto de 1537 na inauguração da "nova ciência" da artilharia, Niccolò Tartaglia apresentou um quadrante que foi inserido no cano da arma.

Linha de mira mais atual, mas mostrando a idéia de Tartaglia

Subsequent authors noted that this exposed the gunner to enemy fire and they offered alternative instruments which could be set up at the gun's breech. The many surviving styles of levels and sights fall into this safer category of instrument. Os muitos estilos de níveis e pontos se enquadram nessa categoria de instrumentos mais seguros. Levels measure the inclination of the barrel using a plumb line or a rigid plummet and a graduated arc. Níveis de medir a inclinação do cano usando um fio de prumo ou prumo rígido e um arco graduado.

To determine appropriate elevations for his cannons and mortars, a gunner had to know the distance of the target and also be able to relate this range to the elevation of the piece. Para determinar altitudes apropriadas para os seus canhões e morteiros, um atirador tinha que saber a distância do alvo e também ser capaz de relacionar este intervalo para a elevação da peça. The question of determining the correct elevation necessary to fire a shot a given distance (and its inverse, the prediction of range at a given elevation) was the most taxing problem of gunnery as a mathematical art. A questão de determinar a altitude correta necessária para disparar um tiro de uma determinada distância foi a maior dificuldade da tributação de tiro como uma arte matemática. Gunners had their own rules of thumb, and instruments were used to embody rules relating range and elevation. Artilharias tinham as suas próprias regras de ouro, e os instrumentos foram usados para incorporar as regras relativas à distância e altitude. But questions of ballistics also engaged the most prominent mathematicians. Tartaglia set the terms of the debate by seeking to portray the geometry of a projectile's trajectory based on the opposed natural and violent motions of Aristotelian physics. Mas as questões de balística também anuíram os matemáticos mais relevantes.

Tartaglia definiu os termos do debate, procurando retratar a geometria da trajetória de um projétil com base nos movimentos de oposição a física aristotélica. His work provided the basis for many subsequent accounts in textbooks and manuals. Galileo offered a new foundation in his Discorsi of 1638, demonstrating the parabolic path of projectiles and reinforcing the military relevance of his work with a complete table of ranges. Seu trabalho serviu de base para muitos relatos posteriores nos livros didáticos e manuais. Galileu ofereceu um novo fundamento em seu Discorsi de 1638, demonstrando o trajeto parabólico de projéteis e reforçou a importância militar do seu trabalho com uma tabela completa de escalas.

Through the seventeenth and eighteenth centuries mathematicians of the highest stature, such as Newton, sought more accurate depictions of projectile trajectories by attempting to take into account disturbing factors such as air resistance. Através dos séculos XVII e XVIII matemáticos de maior dimensão, como Newton, procuraram descrições mais precisas da trajetória do projétil, tentando levar em conta fatores preocupantes, como a resistência do ar. Their sophisticated efforts may have eluded the grasp of the average gunner, but do demonstrate that the study of projectile motion was a point of intersection for the art of war, the mathematical sciences and contemporary natural philosophy. Seus esforços sofisticados podem ter escapado das garras da artilharia média, em demonstrar que o estudo do movimento de um projétil era um ponto de intersecção da arte da guerra, das ciências matemáticas e da filosofia natural contemporânea.

Frontispício de Niccolò Tartaglia, Nova scientia (1537)

A figura acima se trata do frontispício da Niccolò Tartaglia's Nova scientia , Venice, 1537. Scientia Niccolò Tartaglia's Nova, Veneza, 1537. Today in our math history Hoje na nossa história, nos livros de matemáticabooks, Tartaglia is mostly remembered for his solution of the algebraic equation, Tartaglia é mais lembrado por sua solução da equação algébrica of third degree. de terceiro grau. But on top we read his Latin "welcome to what is proved by fire Mas na figura acima lemos seu latim "bem-vindo ao que é provado pelo fogo and mathematical ingenuity". Under the philosophers' (a little desolate) garden e engenhosidade matemática”. Sob “os filósofos” Platão e Aristóteles, (um pouco desolados) e o jardim with the door keepers Plato and Aristotle, preventing the entrance to all not com os detentores de porta, impedindo a entrada a todos que não tinhamknowledgeable in geometry, we see the mathematised world, the door kept open conhecimento em geometria e, aos que vêem o mundo matematizado, tem a porta mantida aberta por Euclides, com todas as Musas e artes liberais.

Nicolo Fontana de Brescia - Tartaglia

(1499 – 1557)

Niccolò Tartaglia foi um matemático italiano, cujo nome está ligado a tabela triangular mais conhecida como “Triângulo de Pascal”.

Nicolo Fontana de Brescia, mais conhecido por Tartaglia, nasceu em Brescia por volta de 1500 e morreu em Veneza em 1557.

Procedente de uma família muito humilde, e com poucos recursos financeiros, tornou-se autodidata, onde só aos catorze anos e pelos próprios meios aprendeu a escrever, mas isso não foi obstáculo para que viesse a ser, engenheiro agrimensor, guarda-livros e a ensinar matemática em cidades italianas como Verona, Veneza, Piacenza e Brescia, Foi professor de Galileu Galilei em Florença -. Além disso, criou importantes trabalhos, onde demonstrou muito dos conhecimentos adquiridos nas áreas de aritmética, geometria, álgebra, balística e estática.

Sendo possivelmente, o único professor de matemática em Veneza, Tartaglia aos poucos foi adquirindo uma fama promissora como matemático, devido às suas bem sucedidas participações em inúmeros debates públicos e concursos matemáticos onde ganhou diversos prêmios.

Foi pioneiro na aplicação da matemática à artilharia bélica, e em 1537, foi impressa a sua primeira obra “Nova scientia inventa” que se refere à balística, no qual considerou que os movimentos aristotélicos eram compatíveis; desse modo, utilizou-os para explicar o movimento oblíquo de projéteis cuja trajetória seria, então, composta de uma parte retilínea seguida de uma parte circular e, por fim, de uma parte vertical (correspondente ao aspecto natural do movimento). Para Tartaglia, o efeito mais longínquo, ou seja, o alcance máximo é medido entre o ponto de partida e o ponto onde começa a vertical e que, tal distância, pode corresponder a duas inclinações diferentes do canhão lançador do projétil, sendo mínima para 90° e máxima para 45°.

Antes de Tartaglia, Leonardo da Vinci havia estudado a ciência da balística, mas seu trabalho não era tão abrangente. Em sua análise da dinâmica dos corpos em movimento, Tartaglia diferenciou vários tipos de movimentos distintos.

Desenhos criados por Tartaglia sobre o estudo de peças de artilharia. Este estudo dizia respeito às várias formas das peças e dos diferentes materiais usados em projéteis de artilharia usados na época. O livro foi escrito em italiano por Tartaglia, e traduzido para o idioma inglês por Cipriota Lucar. 

Balança usada na época. (Trapézio)

Como havia vários tipos e tamanhos de materiais envolvidos nos estudos de Tartaglia foi necessário construir uma balança para pesar as peças de artilharia – Neste caso canhões-.

Ele escreveu o tratado sobre balística – citado anteriormente- para determinar que o intervalo máximo de uma peça de artilharia D corresponde a um ângulo de disparo de 45 °.

Seguiu-se em 1546, o “Quesiti et inventioni diverse “ , que tem a forma dialogada e inúmeras notas autobiográficas de caráter geral, no qual modificou algumas explicações tratadas sobre o movimento oblíquo de projéteis, passando a defender uma trajetória totalmente curvilínea, que já havia sido considerada por Leonardo da Vinci.

Para explicar essa trajetória, Tartaglia admitiu a hipótese de que quanto mais rapidamente o projétil se desloca, mais pesado se torna e, portanto, mais fortemente é puxado pela Terra. Ainda nesse livro, Tartaglia deu continuidade aos estudos de corpos em queda livre e em planos inclinados, iniciados na obra  “Nova scientia inventa” de 1537.  Nesses estudos afirmou que, “Todos os corpos graves semelhantes e iguais partem do início de seu movimento natural com a velocidade igual, mas aumentam suas velocidades de maneira tal que, aquele que atravessar um espaço maior, se deslocará mais rapidamente". Afirmou também que, “Quanto mais um corpo grave se afasta do princípio ou se aproxima do fim do movimento violento, mais lentamente ele se desloca". Com relação ao movimento de um corpo em um plano inclinado, observou que a gravidade natural do corpo colocado em tal plano age tanto menos, quanto maior for sua inclinação. É também de Tartaglia a afirmação de que um corpo em movimento circular, uma vez solto, tomará a direção da tangente, considerando questões que lhe tinham sido colocadas. A obra, na sua maior parte, tratava de questões de engenharia e arte militar, mas abundavam também questões matemáticas.

Telemetria e agrimensura

Telêmetro = Instrumento para medir distâncias rapidamente entre um ponto e o observador. Agrimensura = Medição de terras.

How was the gunner to determine the distance of his targGeômetras do século XVI foram procurar introduzir a técnica de triangulação, e telemetria, para uma nova geometria do levantamento. Distant stations could be located by sighting from either end of a measured baseline; their distances were found by measuring the angles formed with the baseline and by subsequent calculation, or by a more straightforward graphical method. As distâncias foram encontradas através do cálculo da medição do ângulo formado com a base, ou por um simples método gráfico. In ordinary surveying, the possibility of triangulating as many features as were required from a single linear measurement was presented as an innovation that would greatly improve efficiency and convenience. Range-finding offered a particularly appropriate application, since access to the target feature was not simply inconvenient, but impossible. A possibilidade de triangulação a partir de uma única medição linear foi apresentada como uma inovação que iria melhorar muito a eficiência do tiro.

A telemetria ofereceu, em particular, uma adequada aplicação, já que o acesso ao alvo não era simplesmente difícil, mas era impossível. Further it gave the designers of new surveying instruments an immediate and telling example of the value of the novel method, so that relevant instruments - particularly the universal instruments, with all manner of claimed uses - were frequently illustrated in dramatic and urgent action. Além disso, deu aos projetistas de novos instrumentos de levantamento um imediato e eloqüente exemplo do valor do novo método.

(instrumento de Levantamento e tiro) Instrumento de topografia

Quadrante de agrimensura com nível de artilharia.

Such instruments were made relevant to military life not only through the range-finding of the gunners. It was claimed that they were generally helpful to the military surveyor, either when laying out a new fortification, or when measuring and representing an existing one. Esses instrumentos foram feitos relevantes para a história militar, não só através da telemetria dos artilheiros. Accounts of the instruments show them being used in such contexts and point to the particular advantage of being able to survey from a safe distance. Cálculos dos instrumentos a serem utilizados em tais contextos apontam para a vantagem de poder fazer um levantamento a partir de uma distância segura.

Fortificações

A further relevant aspect of military surveying is the design of fortifications. Outro aspecto relevante da ascensão militar é o projeto de fortificações. If guns precipitated new branches of the mathematical sciences dealing with projectile motion and with range-finding, they also created the conditions for a new military architecture. Just as contemporary civil architecture was founded on geometry, expressed through the classical style, so too the new genre of fortification rested on a geometrical formalism. As armas levaram novos ramos das ciências matemáticas lidarem com o movimento de projéteis e estudo do intervalo, também criou as condições para uma nova arquitetura militar. Assim como a arquitetura civil contemporânea foi fundada em geometria, e expressa através do estilo clássico, o novo gênero de fortificação também repousava sobre um formalismo geométrico.

The high walls of the medieval fortress were good for repelling attack from beneath, but were vulnerable to heavy guns: they presented large targets without providing suitable platforms for defensive fire. Os altos muros da fortaleza medieval eram bons para repelir o ataque por baixo, mas eram vulneráveis à artilharia pesada: eles proporcionaram grandes objetivos, mas sem fornecimento de plataformas adequadas para o fogo defensivo. Yet if walls were to be low and stout, so as to withstand artillery bombardment, how were they to be defended against direct infantry assault? The new style of fortification emerged as a response to this problem. The solution was to create squat, thick walls that were defended by sidelong or flanking fire aimed from projecting gun emplacements or bastions. O novo estilo de fortificação surgiu como uma resposta a este problema. A solução foi criar paredes espessas visando projetar posições de artilharia ou apoios de acompanhamento de fogo que auxiliavam lateralmente. These bastions had to offer protection to the adjoining walls on either side and the whole fort had to be enclosed, resulting in polygonal outline plans. Esses apoios ofereciam proteção às paredes adjacentes de cada lado e o forte conjunto teve que ser fechado, resultando em planos de contorno poligonal. The angled shape of the bastions was progressively refined so that each bastion offered covering fire to its neighbours and no 'dead space' remained hidden from defensive fire. A forma angulada das fortalezas foi progressivamente aperfeiçoada de modo que cada fortaleza oferecia cobertura de fogo para os seus vizinhos e o "espaço morto" não permaneceu oculto do fogo defensivo. Beyond the primary wall and bastions, further positions and defensive structures could be extended outwards. Além da parede primária e baluartes, as posições mais defensivas e as estruturas poderiam ser estendidas para o exterior. These limits and rules set the conditions for the development of elaborate geometrical designs, not always constrained by the features of actual sites and the limited budgets of genuine commissions. Estes limites e as regras fixadas eram a condição para o desenvolvimento de elaborados desenhos geométricos.

Such celebrated practical geometers of the Renaissance as Francesco di Giorgio, Filippo Brunelleschi, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer and Simon Stevin were concerned with the solutions to these problems, as were artists who might not be immediately associated with a programme of this kind, such as Bramante and Michelangelo. Célebres geômetras práticos do Renascimento como Francesco di Giorgio, Filippo Brunelleschi, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer e Simon Stevin estavam preocupados com as soluções para estes problemas, assim como os artistas que não puderam ser imediatamente associados a um programa deste tipo, tais como Bramante e Michelangelo. A species of practical geometry that began in Italy in the later fifteenth century, spread to other parts of Europe in the sixteenth, supported by the design of instruments and the publication of books. Uma espécie de geometria prática, que começou na Itália no século XV e, mais tarde, se espalhou para outras partes da Europa no século XVI, apoiada pelo design dos instrumentos e da publicação de livros. The general recommendation was for arrow-headed bastions projecting from the corners of a walled polygon, but beyond this there was plenty of scope for individual styles and schools. A recomendação geral era para apontar uma seta nos cantos de um polígono murado, mas, além disso, havia uma abundância de possibilidades de estilos. In practice the basic polygon often had to accommodate the natural conditions of the site or its existing structures. The French school took the lead in the development of such systems in the second half of the seventeenth century, with the practice and theory of Sébastien le Prestre de Vauban dominant into the eighteenth. Na prática, o polígono de base, muitas vezes teve que se adequar às condições naturais do local ou às estruturas existentes. A escola francesa assumiu a liderança no desenvolvimento de tais sistemas, na segunda metade do século XVII, The outcome was a vast programme of work and a thriving specialist geometrical discipline. o resultado foi um vasto programa de trabalho e uma próspera disciplina geométrica especializada.

Geometers had to consider not only the plan of an ideal fortification: the section offered them further possibilities. Geômetras tiveram em conta não apenas o plano de uma fortificação ideal: o setor lhes ofereceu novas possibilidades. Fortress defenders wanted both to impede the progress of any attackers and to oblige them to present an advantageous target for their guns. Os defensores das fortalezas queriam tanto impedir o progresso de qualquer ataque quanto obrigá-los a apresentar uma meta vantajosa para suas armas. A large ditch in front of the rampart was fundamental to defence, and the earth from the ditch provided an embankment on the outer border that both obscured the walls and provided a sloping approach, angled so as to be swept by defensive fire. Uma grande vala em frente à muralha foi fundamental para a defesa, e a terra da vala formava um aterro na fronteira externa que tanto ocultava as paredes quanto proporcionava uma abordagem inclinada, de modo a ser varrida pelo fogo defensivo. Other features could be incorporated, such as the covered way on the outer side of the ditch, for patrols shielded from fire.

Uma ciência prática ou Teórica?

As a new branch of mathematical science, the geometry of war was ambiguously positioned in a number of respects and these ambiguities deserve attention from historians. Como um novo ramo da ciência matemática, a geometria da guerra foi ambiguamente posicionada em vários aspectos e estas ambigüidades merecem a atenção dos historiadores. Was this a practical science or a polite one? Did it belong at war or at court? Foi esta uma ciência prática ou teórica? Será que pertencem à guerra ou a um conselho? Was it driven by practice or by theory? Foi incentivada pela prática ou pela teoria? Was it characterized by action or by rhetoric? Foi marcado pela ação ou pela retórica? Was it part of mathematics or of natural philosophy? Era parte da matemática ou da filosofia natural? Answers to each of these questions fall somewhere between the two respective alternatives, and their positions on each of these ranges of possibilities change over time. As respostas a cada uma dessas questões caem em algum lugar entre as duas alternativas respectivamente e várias possibilidades de mudança ao longo do tempo. It is within these ambiguities and changes that some of the most interesting aspects of the subject are to be found. É dentro destas ambigüidades e das mudanças que alguns dos aspectos mais interessantes sobre o assunto podem ser encontrados.

The tension between the practical and the polite is perhaps most obvious in the contemporary literature. A tensão entre o prático e o teórico é talvez mais evidente na literatura contemporânea. Instruments are illustrated in use where conflict is imminent or already begun, and the coolness of the practitioners who apply their geometry in the heat of battle can seem improbable. Instrumentos são ilustrados em uso, onde o conflito é iminente ou já começou, e a frieza dos profissionais que aplicam a sua geometria, no calor da batalha pode parecer improvável. Such examples of purported use initially served to stress the potential importance of the practitioners' geometrical techniques. Tais exemplos de uso das técnicas geométricas serviram para sublinhar a importância do potencial dos profissionais. With the acceptance that aspects of warfare were amenable to geometry, the association could be used to justify a group of mathematical problems that in practice would remain confined, for the great majority of readers, to textbook instruction.

The same can be observed in the progress of popular interest in fortification. Both gunnery and fortification become established in general encyclopaedic works aimed at the gentle market, and polygonal scales are included in a conventional way on a variety of instruments whose links to professional military surveying seem implausible. A matemática militar teve grande destaque no meio acadêmico. David Gregory propôs um novo curso de matemática em Oxford em 1700, que incluiu uma palestra sobre fortificações. O próprio edifício do museu testemunhou instruções sobre fortificações na sala onde a exposição foi montada, quando John Whiteside introduziu o assunto em seu curso de matemática em 1723. Ao mesmo tempo destas atividades acadêmicas e populares, houve a nível prático, um programa ativo de construção de fortificações em toda a Europa, e isso deu credibilidade e status para o negócio.

It is probably the surviving instruments that most eloquently address the tension between the courtly context and the battlefield. É, provavelmente, os instrumentos de sobrevivência que mais eloqüentemente abordam a tensão entre o contexto da corte e do campo de batalha. Elegant and ingenious instruments, perhaps in gilt brass and accompanied by tooled leather cases, were far beyond the material and probably the educational resources of the ordinary gunner. Elegantes e engenhosos instrumentos, talvez em bronze dourado e acompanhado de coisa de couro trabalhado, foram muito além do material e, provavelmente, foram os recursos da artilharia. They could, however, enhance the image of an active officer abreast of the finer points of contemporary warfare. The maker offered a rare accessory to enhance a courtly posture and in exchange the patron offered a valuable and perhaps prominent commission. Instrumentos matemáticos são feitos para assemelhar-se, ou mesmo para atuar como as armas.

The geometry of war sits ambiguously too between practice and theory. A geometria da guerra fica muito ambígua entre a prática e a teoria. It is an ambiguity characteristic of the mathematical sciences and one from which they derived their potential for influential development in the Renaissance. É uma característica das ciências matemáticas e da qual se deriva o seu potencial para o desenvolvimento influente na Renascença. Leonard Digges points clearly to this in his Pantometria of 1571, where he asserts that the perfection of gunnery is beyond both the mathematical novice, 'though hee turmoile in powder and shot all the dayes of his life', and equally the geometer, 'leaning onely to discourse of reason', who 'shall fall into manifolde errors, or inextricable Laberinthes.'The tension between deeds and words, between action and rhetoric, is particularly evident in contributions from the practitioners themselves, or at least from writers who present themselves as practitioners. Leonard Digges, o novato, aponta claramente para isso em sua Pantometria de 1571, onde ele afirma que a perfeição da artilharia está além da matemática. Finally there is the changing position of gunnery between mathematical science and natural philosophy. The former of these separate branches of Renaissance learning dealt with mathematics and its practical applications, while the latter was concerned with causal explanations of natural phenomena. Norton again was bullish and provocative: gunnery, he said, was a profound study, 'euen able to spose the knowne parts of Naturall Philosophy, Arithmetick, Geometry, and Perspectiue, each of which her handmayd is'. Finalmente, há a mudança de posição de tiro entre a ciência matemática e filosofia natural. O primeiro destes ramos é o tratado de aprendizagem com a matemática e suas aplicações práticas da Renascença enquanto o segundo estava preocupado com explicações das causas dos fenômenos naturais. In reality the relationship was much more ambiguous, but the fact that this aspect of practical geometry raised questions pertinent to natural philosophy may be relevant to the emergence of a new relationship between the two - one where mathematics, experiment and instruments are all recruited to a reformed explanatory programme for the natural world. Na realidade, a relação era muito mais ambígua, mas o fato de que este aspecto da geometria prática suscita questões pertinentes à filosofia natural pode ser relevante para o surgimento de uma nova relação entre os dois - em que a matemática, a experiência e os instrumentos são recrutados para um aperfeiçoado programa.

The exhibition concludes with one such connection. Galileu começou sua carreira como um cientista matemático, um professor de matemáticas práticas, incluindo as fortificações, e um designer de instrumentos de matemática. His ambitions, however, were towards the higher science of natural philosophy and one instrument he was involved with - the telescope - though it began as an instrument of warfare, became in his hands a reforming tool of natural philosophy. Sua ambição, no entanto, foi para a maior ciência da filosofia natural e um instrumento em que ele tinha se envolvido - o telescópio - que começou como um instrumento de guerra, e se tornou em suas mãos uma ferramenta de reforma da filosofia natural. AReform was foreshadowed in two ways - through the telescopic observations Galileo marshalled in support of Copernicus, and through his use of an instrument as a means of investigating the natural world. reforma foi prenunciada em duas formas - por meio das observações telescópicas de Galileu empacotado em apoio de Copérnico, e através da utilização do instrumento como meio de investigar o mundo natural

(Parte 1 de 3)

Comentários