Curso Fundamentos de Vibração

Curso Fundamentos de Vibração

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Figura 2.6 – Suspensão veicular simplificada e DCL correspondente.

O diagrama de corpo livre do sistema mostrado na Fig. 2.6 foi elaborado a partir da seguinte consideração, sem perda de generalidade: x2 > x1 > x0. Aplicando a 2a Lei de Newton a cada corpo rígido, tem-se:

dois graus de liberdade:

o qual pode ser colocado na forma matricial, permitindo a identificação dos vetores e matrizes:

01 xkxx k kx c cxm &&

Exemplo 2.2 – Determinar, pelo método do sistema equivalente, o modelo matemático para o sistema da Fig. 2.7, usando como coordenada generalizada o deslocamento do centro do disco, x(t). Desprezar a massa da polia. Dado: momento de inércia do disco = 2 1mr.

Figura 2.7 – Sistema constituído de disco, polia, mola e amortecedor.

Determinação de meq:

meqmmmeqm r xmrxmxeqm

CJxmxeqm sistemaTeqT

Determinação de keq:

keqk kxxeqk sistemaUeqU

Determinação de ceq:ceq = 0
Determinação de Feq:Feq = 0

Substituindo na Eq. (2.10), fornece o modelo matemático do sistema, expresso pela seguinte EDOL:

Exemplo 1.3 – Deduzir o modelo matemático para o instrumento da Fig. 2.8, usando o método de energia.

Figura 2.8 – Instrumento de medição de vibração.

Determinamos as energias cinética e potencial elástica do sistema, conforme as seguintes expressões:

bkakU maTamxmT

Então, usamos as Eq.’s (2.12) e (2.13) para escrever: () ()

bkakma bkakma bkakma bkakmadt d

CAPÍTULO I – TEORIA DOS SISTEMAS COM 1 GDL

3.1 – Introdução

O estudo de sistemas vibratórios deve começar por sistemas simples que apresentem características básicas capazes de permitir a análise de uma série de fenômenos presentes em sistemas mais complexos. Sistemas de um grau de liberdade são sistemas ideais, capazes de representar uma reduzida parte dos sistemas reais presentes no mundo físico, assim mesmo com grande simplificação. Por outro lado, entretanto, estes mesmos sistemas apresentam características que fundamentam o entendimento da maioria dos aspectos básicos que estão presentes em sistemas mais complicados. Problemas como ressonância, transmissibilidade, balanceamento e isolamento podem ser devidamente equacionados em sistemas de um grau de liberdade com posterior extensão dos conceitos para problemas de ordem maior. Por outro lado estimativas de comportamento podem ser estabelecidas com relativa facilidade e simplicidade matemática quando se cria um modelo simples para um sistema complexo. Razões como estas justificam a introdução do estudo de sistemas de um grau de liberdade em cursos de vibrações em engenharia.

3.2 - Vibrações Livres Não Amortecidas

A vibração livre, como já foi conceituada no Capítulo 1, ocorre quando o movimento resulta apenas de condições iniciais, não havendo nenhuma causa externa atuando durante o mesmo. A Fig. 3.1 (a) mostra um modelo simples de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento, o conhecido sistema massa-mola.

A partir da elaboração do DCL da massa meq mostrado na Fig. 3.1 (b), pode-se aplicar a Segunda Lei de Newton e obter a equação do movimento como:

Figura 3.1 – Sistema massa-mola em posição vertical.

Por outro lado, pela condição de equilíbrio estático quando o movimento não existe, sabe-se que esteqkgeqmΔ=, podendo-se escrever a equação diferencial do movimento em sua forma conhecida, ou seja:

estg eqm

nwcomxnwxouxeqkxeqmΔ===+=+020&&&&(3.1)

eqk

A equação 3.1 é uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem (derivada de maior ordem), linear (todos os termos estão linearmente relacionados com x e suas derivadas), de coeficientes constantes (meq e keq não variam com o tempo) e homogênea (o termo independente é igual a 0). A solução desta equação é dada por:

)(2)cos(1)(tnwsenAtnwAtx+=(3.2)

As constantes A1 e A2 dependem das condições iniciais do movimento, ou seja, dos valores do deslocamento e da velocidade da massa meq no instante de tempo em que se começa a quantificar o movimento (t = 0), em relação à posição de equilíbrio estático. Se os valores iniciais do deslocamento e da velocidade (que representam a energia total introduzida para gerar o movimento livre), são conhecidos e dados por x0 e v0, respectivamente, tem-se:

de forma que a Eq. (3.2) torna-se:

tnwxtx+=(3.3)

O movimento representado em (3.3) é um movimento harmônico de freqüência igual a wn. Esta é a freqüência com que o sistema oscila quando está livre sem amortecimento. Por este motivo é chamada de freqüência natural de oscilação. Esta freqüência natural terá muita importância quando se estudar a vibração forçada sendo ela uma das características mais importantes de um sistema do ponto de vista dinâmico.

Tratando-se de uma oscilação harmônica, é importante representar a expressão (3.3) em uma forma mais simples, contendo um seno ou coseno apenas. Com o auxílio de relações trigonométricas (3.3) pode ser escrita como:

(a) Forma Senoidal - )()(ϕ+=tnwXsentx(3.4)

0 v nwxarctge nw vxXϕ

(a) Forma Cossenoidal - )cos()(ϕ−=tnwXtx(3.5)

v arctge

A Fig. 3.2 ilustra as duas formas de onda para os mesmos dados. Notemos que a diferença reside no ângulo de fase φ, sendo a amplitude X e a freqüência wn as mesmas para as duas formas de onda descritas pelas Eq.’s (3.4) e (3.5).

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