Transformações Lineares

Geometria & Álgebra Transformações Lineares.

José Fernando Santiago Prates 1

1. Transformações Lineares	2
1.1. Definição (Transformações Lineares)	2
1.2. Ilustração	2
1.2.1. Exemplos	3
1.3. Núcleo de Transformações Lineares	5
1.3.1. Exemplos	5
1.4. Imagem de Transformações Lineares	6
1.4.1. Exemplos	6
1.5. Operações com Transformações Lineares	7
1.5.1. Adição	7
1.5.2. Multiplicação de número real por uma transformação linear	7
1.5.3. Exemplos	7
1.6. Composição entre Transformações Lineares	8
1.6.1. Exemplos	8
1.7. Matriz de uma Transformação Linear	9

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1. Transformações Lineares 1.1. Definição (Transformações Lineares)

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais. Uma aplicação T: E1 E2 é uma transformação linear de E1 em E2 se, e somente se, T(v) satisfaz as seguintes condições:

( i ) T (u + v) = T (u) + T (v);	u, v E1
( i ) T (k v) = k T (v)	v E1 e k R

1.2. Ilustração

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1) Verificar se F: R2 R3 tal que F(x, y) = ( x, x - y, x + y) é uma transformação Linear

Solução: Devemos mostrar que:

F(u) + F(v)

u = (u1, u2) e v = (v1 , v2) R2

= (u1 + v1, u1 + v1 - u2 - v2 , u1 + v1 + u2 + v2 )

Portanto, F(u + v) = F(u) + F(v)

aF(u)	u = (u1, u2) R2 e a R
F(au) = F(a(u1, u2)) = F(au1 , au2 )

aF(u) = aF(u1, u2) = a(u1, u1 - u2, u1 + u2 )

= (au1, au1 - au2, au1 + au2 ) Portanto, aF(u) = F(au)

Logo F é uma transformação Linear x y

Iguais Iguais e r i f i a r

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2) Verificar se F: R2 R3 tal que F(x, y) = ( 2x, 0, x + y) é uma transformação Linear

Solução: Devemos mostrar que:

(c) F(u + v) = F(u) + F(v)

u = (u1, u2) e v = (v1 , v2) R2

= ( 2u1 + 2v1, 0 , u1 + v1 + u2 + v2 )

= ( 2u1 , 0 , u1 + u2 ) + (2v1 , 0 , v1 + v2 ) = F(u) + F(v)

(d) F(au) = aF(u)

u = (u1, u2) R2 e a R

= ( 2au1 , 0 , au1 + au2 )

= a( 2u1 , 0 , u1 + u2 ) = aF(u)

Logo F é uma transformação Linear --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m

3) Sabendo que T: R2 R2 é uma transformação Linear e que T(1, 2) = (3, 1) e T(0, 1) = (1, 2). Determine T(x, y).

Solução:

Admitindo que B={(1, 2), (0, 1)} seja uma base de R2, então gera qualquer elemento do R2. Determinando as coordenadas de (x, y) em relação a essa base temos:

(x, y) = a(1, 2) + b(0, 1)	temos que a = x e b = y – 2x.
(x, y) = (x)(1, 2) + (y – 2x)(0, 1)

Aplicando a transformação linear temos:

Logo,

T(x, y) = (x + y, 2y – 3x)

e r i f i a r

O b t e r

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Solução:

1.3. Núcleo de Transformações Lineares

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T: E1 E2 uma transformação linear de E1 em E2.

Denominamos núcleo da Transformação T ao conjunto Ker(T)={u E1 tal que T(u) = 0}

1) Obter o núcleo de T: R2 R3 tal que T(x, y) = ( 2x, 0 ).

Solução:

Pela definição, Ker(T) = {u = (x, y) R2 tq T(u) = 0}, ou seja; T(u) = (x, y) = 0 T(u) = ( 2x, 0 ) = (0, 0) x = 0 e y qualquer.

2) Obter o núcleo de T: R3 R3 tal que T(x, y, z) = ( 2x, 0, y - z ).

Solução:

3) Obter o núcleo de T: R3 R2 tal que T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ). 4) Obter o núcleo de T: R5 R4 tal que T(a, b, c, d, e) = ( 2a - b, c, d, 3d + e ).

5) Obter o núcleo de T: R2x2 R2x2 tal que db

T= R d c, b, a, tq dc0

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1.4. Imagem de Transformações Lineares

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T: E1 E2 uma transformação linear de E1 em E2.

Denominamos Imagem da Transformação T ao conjunto Im(T) = { T(u) tal que u E1}

1) Obter a Imagem de T: R2 R3 tal que T(x, y) = ( 2x, 0 ). Solução:

Pela definição, Im(T) = { T(u) tal que u E1}, ou seja; Im(T) = { (2x, 0) tq x R },

2) Obter a Imagem de T: R3 R3 tal que T(x, y, z) = ( 2x, 0, y - z ). Solução:

Pela definição, Im(T) = { T(u) tal que u E1}, ou seja; Im(T) = { ( 2x, 0, y - z ).tq x, y, z R },

3) Obter a Imagem de T: R3 R2 tal que T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ).

4) Obter a Imagem de T: R2x2 R2x2 tal que db ca T=

R d c, b, a, tq dc0

0ba Solução:

5) Sabendo que T: R3 R2 é uma transformação Linear e que T(1, 0, 0) = (2, 3) e T(0, 1, 0) = (-1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, -3). Determine Im(T).

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1.5. Operações com Transformações Lineares 1.5.1. Adição

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e sejam T1: E1 E2 e T2: E1 E2 transformações lineares de E1 em E2.

A adição de T1 com T2, representada por T1 + T2 : E1 E2 é definida por (T1 + T2)(u) = T1(u) + T2(u), u E1

1.5.2. Multiplicação de número real por uma transformação linear

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T : E1 E2 transformação linear de E1 em E2.

A multiplicação de T com k R, representada por kT : E1 E2 é definida por (kT)(u) = kT(u), u E1 e k R.

1) Sejam T1: R3 R2 tq T1(x, y, z) = (x, y + z) e T2: R3 R2 tq T2(x, y, z) = (x + y, z). Determine:

b). 2T1 + 3T2 Solução:

= (5x + 3y, 2y + 5z)

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1.6. Composição entre Transformações Lineares

Sejam E1, E2 e E3 espaços vetoriais sobre os reais e sejam F: E1 E2 e G: E2 E3 transformações lineares. A composição de F e G, representada por (G 0 F)(u): E1 E3 é definida por (G 0 F)(u) = G( F(u) ) u E1

1. Sejam F: R3 R2 tq F(x, y, z) = (x, y + z) e G: R2 R2 tq G(x, y) = (x + y, y). Determine;

2. Sejam F: R3 R3 tq F(x, y, z) = (x, 0, y + z) e G: R3 R3 tq G(x, y, z) = (0, x + y + z, 0). Determine:

b) (F 0 G)(u).

3. Sejam F: R2 R3 tq F(x, y) = (x, x + y, y) e G: R3 R4 tq G(x, y, z) = (x + y, x, y, z + y). Determine (G 0 F)(u).

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1.7. Matriz de uma Transformação Linear

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais com Dim(E1) = n e Dim(E2) = m respectivamente. Consideremos T: E1 E2 a transformação linear de E1 em E2.

Dada as bases B = {u1, u2, u3,	,un) de E1 e C = {v1, v2, v3,....,vm) de E2, então cada
transformação T(u1), T(u2), T(u3),	, T(un) pode ser escrito como uma combinação linear dos

elementos da base C, ou seja;

T(u1) = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3 + a41 v4 +	+ am1 vm
T(u2) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + a42 v4 +	+ am2 vm
T(u3) = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3 + a43 v4 +	+ am3 vm
T(u4) = a14 v1 + a24 v2 + a34 v3 + a44 v4 +	+ am4 vm

T(un) = a1n v1 + a2n v2 + a3n v3 + a4n v4 +

+ amn vm

A matriz A = (aij) é chamada de matriz da transformação linear de E1 em E2 em relação às bases B e C.

1) Seja T: R3 R2 tq T(x, y, z) = (z, x + y). Determine a matriz da transformação linear de T em relação às bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e C = {(1,0), (0, 1)}.

Solução: Devemos encontrar A = 232221 a tq

T(u1) = a11 v1 + a21 v2

T(u2) = a12 v1 + a22 v2

T(u1) = a13 v1 + a23 v2

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3) Seja T: R2 R3 tq T(x, y) = (y, x + y, y). Determine a matriz da transformação linear de T em relação às bases B = {(1, 1), (1, 0)} e C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}