Transformações Lineares

Transformações Lineares

Geometria & Álgebra Transformações Lineares.

José Fernando Santiago Prates 1

1. Transformações Lineares2
1.1. Definição (Transformações Lineares)2
1.2. Ilustração2
1.2.1. Exemplos3
1.3. Núcleo de Transformações Lineares5
1.3.1. Exemplos5
1.4. Imagem de Transformações Lineares6
1.4.1. Exemplos6
1.5. Operações com Transformações Lineares7
1.5.1. Adição7
1.5.2. Multiplicação de número real por uma transformação linear7
1.5.3. Exemplos7
1.6. Composição entre Transformações Lineares8
1.6.1. Exemplos8
1.7. Matriz de uma Transformação Linear9

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1. Transformações Lineares 1.1. Definição (Transformações Lineares)

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais. Uma aplicação T: E1 E2 é uma transformação linear de E1 em E2 se, e somente se, T(v) satisfaz as seguintes condições:

( i ) T (u + v) = T (u) + T (v);u, v E1
( i ) T (k v) = k T (v)v E1 e k R

1.2. Ilustração

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1) Verificar se F: R2 R3 tal que F(x, y) = ( x, x - y, x + y) é uma transformação Linear

Solução: Devemos mostrar que:

F(u) + F(v)u = (u1, u2) e v = (v1 , v2) R2

= (u1 + v1, u1 + v1 - u2 - v2 , u1 + v1 + u2 + v2 )

Portanto, F(u + v) = F(u) + F(v)

aF(u)u = (u1, u2) R2 e a R
F(au) = F(a(u1, u2)) = F(au1 , au2 )

aF(u) = aF(u1, u2) = a(u1, u1 - u2, u1 + u2 )

= (au1, au1 - au2, au1 + au2 ) Portanto, aF(u) = F(au)

Logo F é uma transformação Linear x y

Iguais Iguais e r i f i a r

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2) Verificar se F: R2 R3 tal que F(x, y) = ( 2x, 0, x + y) é uma transformação Linear

Solução: Devemos mostrar que:

(c) F(u + v) = F(u) + F(v)u = (u1, u2) e v = (v1 , v2) R2

= ( 2u1 + 2v1, 0 , u1 + v1 + u2 + v2 )

= ( 2u1 , 0 , u1 + u2 ) + (2v1 , 0 , v1 + v2 ) = F(u) + F(v)

(d) F(au) = aF(u)u = (u1, u2) R2 e a R

= ( 2au1 , 0 , au1 + au2 )

= a( 2u1 , 0 , u1 + u2 ) = aF(u)

Logo F é uma transformação Linear --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m

3) Sabendo que T: R2 R2 é uma transformação Linear e que T(1, 2) = (3, 1) e T(0, 1) = (1, 2). Determine T(x, y).

Solução:

Admitindo que B={(1, 2), (0, 1)} seja uma base de R2, então gera qualquer elemento do R2. Determinando as coordenadas de (x, y) em relação a essa base temos:

(x, y) = a(1, 2) + b(0, 1)temos que a = x e b = y – 2x.
(x, y) = (x)(1, 2) + (y – 2x)(0, 1)

Aplicando a transformação linear temos:

Logo,T(x, y) = (x + y, 2y – 3x)

e r i f i a r

O b t e r

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Solução:

1.3. Núcleo de Transformações Lineares

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T: E1 E2 uma transformação linear de E1 em E2.

Denominamos núcleo da Transformação T ao conjunto Ker(T)={u E1 tal que T(u) = 0}

1) Obter o núcleo de T: R2 R3 tal que T(x, y) = ( 2x, 0 ).

Solução:

Pela definição, Ker(T) = {u = (x, y) R2 tq T(u) = 0}, ou seja; T(u) = (x, y) = 0 T(u) = ( 2x, 0 ) = (0, 0) x = 0 e y qualquer.

2) Obter o núcleo de T: R3 R3 tal que T(x, y, z) = ( 2x, 0, y - z ).

Solução:

3) Obter o núcleo de T: R3 R2 tal que T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ). 4) Obter o núcleo de T: R5 R4 tal que T(a, b, c, d, e) = ( 2a - b, c, d, 3d + e ).

5) Obter o núcleo de T: R2x2 R2x2 tal que db

T= R d c, b, a, tq dc0

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1.4. Imagem de Transformações Lineares

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T: E1 E2 uma transformação linear de E1 em E2.

Denominamos Imagem da Transformação T ao conjunto Im(T) = { T(u) tal que u E1}

1) Obter a Imagem de T: R2 R3 tal que T(x, y) = ( 2x, 0 ). Solução:

Pela definição, Im(T) = { T(u) tal que u E1}, ou seja; Im(T) = { (2x, 0) tq x R },

2) Obter a Imagem de T: R3 R3 tal que T(x, y, z) = ( 2x, 0, y - z ). Solução:

Pela definição, Im(T) = { T(u) tal que u E1}, ou seja; Im(T) = { ( 2x, 0, y - z ).tq x, y, z R },

3) Obter a Imagem de T: R3 R2 tal que T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ).

4) Obter a Imagem de T: R2x2 R2x2 tal que db ca T=

R d c, b, a, tq dc0

0ba Solução:

5) Sabendo que T: R3 R2 é uma transformação Linear e que T(1, 0, 0) = (2, 3) e T(0, 1, 0) = (-1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, -3). Determine Im(T).

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1.5. Operações com Transformações Lineares 1.5.1. Adição

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e sejam T1: E1 E2 e T2: E1 E2 transformações lineares de E1 em E2.

A adição de T1 com T2, representada por T1 + T2 : E1 E2 é definida por (T1 + T2)(u) = T1(u) + T2(u), u E1

1.5.2. Multiplicação de número real por uma transformação linear

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T : E1 E2 transformação linear de E1 em E2.

A multiplicação de T com k R, representada por kT : E1 E2 é definida por (kT)(u) = kT(u), u E1 e k R.

1) Sejam T1: R3 R2 tq T1(x, y, z) = (x, y + z) e T2: R3 R2 tq T2(x, y, z) = (x + y, z). Determine:

b). 2T1 + 3T2 Solução:

= (5x + 3y, 2y + 5z)

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1.6. Composição entre Transformações Lineares

Sejam E1, E2 e E3 espaços vetoriais sobre os reais e sejam F: E1 E2 e G: E2 E3 transformações lineares. A composição de F e G, representada por (G 0 F)(u): E1 E3 é definida por (G 0 F)(u) = G( F(u) ) u E1

1. Sejam F: R3 R2 tq F(x, y, z) = (x, y + z) e G: R2 R2 tq G(x, y) = (x + y, y). Determine;

2. Sejam F: R3 R3 tq F(x, y, z) = (x, 0, y + z) e G: R3 R3 tq G(x, y, z) = (0, x + y + z, 0). Determine:

b) (F 0 G)(u).

3. Sejam F: R2 R3 tq F(x, y) = (x, x + y, y) e G: R3 R4 tq G(x, y, z) = (x + y, x, y, z + y). Determine (G 0 F)(u).

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1.7. Matriz de uma Transformação Linear

Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais com Dim(E1) = n e Dim(E2) = m respectivamente. Consideremos T: E1 E2 a transformação linear de E1 em E2.

Dada as bases B = {u1, u2, u3,,un) de E1 e C = {v1, v2, v3,....,vm) de E2, então cada
transformação T(u1), T(u2), T(u3),, T(un) pode ser escrito como uma combinação linear dos

elementos da base C, ou seja;

T(u1) = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3 + a41 v4 ++ am1 vm
T(u2) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + a42 v4 ++ am2 vm
T(u3) = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3 + a43 v4 ++ am3 vm
T(u4) = a14 v1 + a24 v2 + a34 v3 + a44 v4 ++ am4 vm
T(un) = a1n v1 + a2n v2 + a3n v3 + a4n v4 ++ amn vm

A matriz A = (aij) é chamada de matriz da transformação linear de E1 em E2 em relação às bases B e C.

1) Seja T: R3 R2 tq T(x, y, z) = (z, x + y). Determine a matriz da transformação linear de T em relação às bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e C = {(1,0), (0, 1)}.

Solução: Devemos encontrar A = 232221 a tq

T(u1) = a11 v1 + a21 v2
T(u2) = a12 v1 + a22 v2
T(u1) = a13 v1 + a23 v2

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3) Seja T: R2 R3 tq T(x, y) = (y, x + y, y). Determine a matriz da transformação linear de T em relação às bases B = {(1, 1), (1, 0)} e C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}

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